Штучні прийоми розв’язування раціональних рівнянь

Про матеріал
Довузівська підготовка Тема: Штучні прийоми розв’язування раціональних рівнянь Мета: Забезпечити первинне засвоєння учнями штучних методів розв’язування раціональних рівнянь. Ліквідувати прогалини в знаннях учнів при розв’язуванні квадратних і лінійних рівнянь та рівнянь, що зводяться до них. Розвивати в учнів вміння застосовувати свої знання в новій ситуації.
Перегляд файлу

Довузівська підготовка

 

Тема: Штучні прийоми розв’язування раціональних рівнянь

 

Мета: Забезпечити первинне засвоєння учнями штучних методів розв’язування раціональних рівнянь.

Ліквідувати прогалини в знаннях учнів при розв’язуванні квадратних і лінійних рівнянь та рівнянь, що зводяться до них.

Розвивати в учнів вміння застосовувати свої знання в новій ситуації.

 

І. ах = в

1) а ≠ 0; х = (один корінь)

2) а = 0; в ≠ 0;

0 · х = в,  Ø

 

3) а = 0; в = 0

0 · х = 0

безліч коренів,

х є R

 

ІІ. Д = в2 – 4ас

1) Д > 0 х1,2 =

2) Д = 0, х =

3) Д < 0 Ø

 

ІІІ. х2 + вх + с = 0

теорема Вієта економить час

 

ІV.

 

Розв’язування рівнянь

1) х2 – 6х + = ; ОДЗ  х ≠ 5

х2 – 6х + 5 = 0

х = 1; х = 5 сторонній корінь

Відповідь х = 1

2) (√х – 3) (18х2 – 9х – 5) = 0

х ≥ 0

√х – 3 = 0

√х = 3

х = 9

18х2 - 9х – 5 = 0

Д = 81 + 360 = 441

= 21

х = = =

х = = = стор.

 

2. Сума кількох невід’ємних функцій

 

3) + = 0

і      

 

 

f1(x) + f2(x) + … + fn(x) = 0

                                  

f1(x) ≥ 0                

f2(x) ≥ 0

….

fn(x) ≥ 0

 

4) + ‌‌│x2 + 6x – 16│‌= 0

;          х = - 8      Ø

                      х = 2

 

5) + │х2 – 2х│+ (х2 – 4)2 = 0

 

3. Скінченна ОДЗ

+ х = 1 +

ОДЗ х2 = 1, х =

Перевірка: х = 1;    0 + 1 = 1 + 0

                                      1 = 1

                   х = - 1;  0 – 1 = 1 + 0

сторонній корінь – 1 ≠ 1

Відповідь: х = 1

 

4. Оцінка лівої і правої частин рівняння

1) 1 – х2 =                          x2 = 0;

f(x) = 1- x2;  E (f(x) = ( - ∞; 1]                                  x = 0                                  

g(x) =                                                     перев. 1= 1

                                                               Відповідь: х = 0

 

2) 12 sin x + 5 cos x = 2y2 – 8y + 21

Знайти х і у

a sin x + b cos x = ( )

() = 2y2 – 8y + 21

13 (sin x cos + cos x sin ) = 2y2 – 8y + 21

13 sin (x + ) = 2y2 – 8y + 21, де  = arccos ;

f(х) = 13 sin (x + )                   g(y) = 2y2 – 8y + 21

- 1 sin (x + ) 1                    y0 = ; g(y0) = 2

- 13 13 sin (x + ) 13          E (g(y)) = [ 13 ; + )

і          

                                              2y2 – 8y + 8 = 0

                                               y2 – 4 y + 4 = 0

                                               (y – 2)2 = 0 ; y = 2

sin (x + ) = 1

x + = є z

x = - + + 2 , n є z

= arccos

 

3) х4 + = 2 – (х – 1)2

а + 2;   х4 + 2        2 – (х – 1)2 2          (х – 1)2 = 0

                                                                                                         х = 1

                                                                                                         перевірка 2 = 2

5. Використання зростання і спадання функції

На основі теореми про корені

  1.      якщо в рівняння (х) = а функція зростає (спадає) на деякому проміжку

+ 2х3 = 3 – стала

     х = 1,     3 = 3

2) + х3 = 3 – х             х = 1     один корінь, інших немає

                                  1 + 1 = 3 – 1

                                          2 = 2

 

3) Розв. систем     ОДЗ

Розглянемо функцію f(t) = , t зростаюча

Перше рівняння має вигляд f(x) = f(y) х = у на ОДЗ система

           4у2 = 36

                                  у2 = 9

                                  у = 3, у = 0.  у = 3  отже, х = 3

                                 Відповідь: (3; 3)

 

Якщо функція f(x)  є зростаючою (або спадаючою) на певній множині, то на цій множині f() = f()

                      f(t) = t3 + t5 – зр.

                                                                    2 = 1; х2 = ; х =

                                                                     (; ) (- ; - )

 

6. Рівняння вищих розрядів

1) х4 – 5х2 +4 = 0

 

2) = ; х ≠ - 3

х2 – 9х = 36

х2 – 9х – 36 = 0

х = 12; х = - 3 – стор.

Відповідь: х = 12

 

3) х4 – 4х3 – 7х2 + 22х + 24 = 0

 

4) 4х 4+ 12х3 – 47 х2 + 12х + 4 = 0 : х2 зворотно симетричне х ≠ 0

2 + 12х – 47 + + = 0

( 4х2 + ) + ( 12х + ) – 47 = 0

4(х2 + ) + 12 (х + ) – 47 = 0

Нехай х + = t;

(x + )2 = x2 + 2 · x · + = x2 + + 2 = t2

x2 + = t2 – 2

4(t2 – 2) + 12 t – 47 = 0

4t2 – 8 + 12t – 47 = 0

4t2+ 12t – 55 = 0

Д = 144 + 880 = 1024 = = 32

t = = =

t = = =

х + =            або х + =

=                    =

2 + 2 = 5х                2х2 + 2 = - 11х

2 - 5х + 2 = 0           2х2 + 11х + 2 = 0

Д = 25 – 16 = 9           Д = 144 – 16 = 128

х = = 2                = = 2· 4 = 8

х = =                     х = ;

                                    Відповідь: 2; ;

 

ax4 + вх3 + сх2 + dx + e = 0

= ()2 – зворотно симетричне

3 – 7х2 – 7х +3 = 0 – симетричне

ах3 + вх2 + вх + а = 0        х = -1 завжди

                                           (х + 1) один множник

Ділимо 3х3 – 7х2 – 7х + 3   на   3х2 – 10х + 3

2 – 10х + 3 = 0

Д = 100-36 = 64

х = = 3;   х = =

Відповідь: х = - 1; ; 3

 

ах4 + вх3 + сх2 + dx + e = 0

a + в = в + с + d = d + e             обов’язково поділити на  х2 – х + 1

Наприклад

х4 + 2х3 + 3х2 – 2х + 5 = 0

1+ 2 = 2 + 3 – 2 = - 2 + 5

3 = 3 = 3

многочлен   х4 + 2х3 + 3х2 – 2х + 5 поділимо кутом на многочлен х2 – х + 1

одержимо х2 + 3х + 5, тому 

2 – х + 1) (х2 + 3х + 5) = 0

х2 – х + 1 = 0           х2 + 3х + 5

Д = 1 – 4 = 0           Д = 9 – 20 < 0

        Ø                             Ø

Відповідь:  Ø

 

№ 347  (х – 4) (х – 5) ( х – 6) (х – 7) = 1680

№ 355 (х + 2) (х + 3) (х + 8) ( х + 12) = 4х2

  2 – 7)2 + 6(х2 – 7) – 16 = 0

№ 351  2 + 2х)2 – 11 (х + 1)2 + 35 = 0

№ 350 (2х – 1)2 + (2х – 1) (х + 2) – 2 (х + 2)2 = 0 – однорідне

№ 352 (х -1)2 – 4 (х2 -1 ) + 3 (х + 1)2 = 0

№ 348   + = ;     - =

№ 356  (х + 3)4 + (х + 5)4 = 16

doc
Додав(-ла)
Шульга Наталія
Додано
20 жовтня 2023
Переглядів
85
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку