Швидкі обчислення з математики

Деякі прийоми швидких обчислень

 1. Додавання і віднімання натуральних чисел.

1.1. Якщо один з доданків збільшити на кiлька одиниць, то від  суми треба відняти стільки ж одиниць.

Приклад.

493 + 392 = 493 + (392+8) – 8 = 493 + 400 – 8 = 893 – 8 = 885.

1.2. Якщо один з доданків збільшити на кілька одиниць, а другий зменшити на стільки ж одниць, то сума не змiниться.

Приклад.

992 + 856 =  (992 + 8) + (856 - 8) = 1000 + 848 = 1848.

1.3. Якщо від'ємник збільшити на кілька одиниць і зменшуване збільшити  на стільки ж одиниць, то рiзниця не зміниться 

Приклад.

2451 - 993 = (2451 + 7) - (993 + 7) = 2458 – 1000 = 1458.

1.4. Якщо від суми двох чисел відняти їх рiзницю, то в результаті матимемо подвоєне менше число, тобто

(a + b) - (a - b) = 2b

Приклад.

(43 + 29) - (43 - 29) = 58.

1.5. Якщо до суми двох чисел подати їх різницю, то в результаті матимемо подвоєне більше число, тобто

(a + b) + (a - b) = 2a

Приклад.

(87 + 36) + (87 - 36) = 174.

1.6.Додавання в стовпчик. Суму цифр кожного розряду додають окремо. Цифра десаткiв у сумі попереднього розряду додається до цифри одиниць наступної суми.

Приклади:

 

 

 

1)           358

       +     439

                    746                                                         2)          597

                    932                                                            +      1289

                      25                                                                  67382

                    15                                                                    95895

                 23                                                                             23

                 2475                                                                     34

                                                                                            18

                                                                                         13

                                                                                       15   

                                                                                       165163       

2. Прийоми швидкого множення і ділення натуральних чисел.

2.1. Застосування розподільного закону множення відносно додавання і віднімання до множникiв, один з яких можна подати у вигляді  суми чи різниці.

Приклади.

1. 7 • 313 =7 • (310 + 3) = 2170 + 21 = 2191.
2. 8 • 196 = 8 • (200 – 4) = 1600  -  32  = 1568.

2.2. Множення методом Ферроля.                                                                                                   Щоб знайти одиниці добутку, перемножують  одиниці  множників , цифру одиниць  записують, цифру десятків запам'ятовують; щоб знайти  десятки, множать десятки одного на одиниці другого множника і навпаки, ці результати і десятки з попереднього результату додають, цифру одиниць записують, цифру десятків запам'ятовують і пізніше додають до наступного числа; щоб знайти сотні, перемножують десятки. Цей спосіб множення випливає з тотожності:

(10a+b)(10c + d) = 100ac +10(ad + bc) + bd.

Приклади.

 1) 37 • 48 = 1776.

а) 7 • 8 = 56, пишемо 6, пам'ятаємо 5;

б) 3 • 8 + 4 • 7 + 5 = 24 + 28 + 5 = 57, пишемо 7, пам'ятаємо 5;

в) 4 • 3 + 5 = 17, пишемо 17.

 2) 49 • 24 = 1176.

а) 9 • 4 = 36, пишемо б, пам'ятаємо 3;

б) 4 • 4 + 9 • 2 + 3 = 37, пишемо 7, пам'ятаємо 3;

в) 4 • 2 + 3 = 11, пишемо 11.

Методом Ферроля легко усно множити двоцифровİ числа від 10 до 20.

Приклад.

16•23=368.

Множимо так (підкреслено цифри, які записуємо):

а)6•3=18;

б) 1•3+2•6+1=16;

в) 1•2+1=3.

Можна множити і трицифрове число на двоцифрове.

Приклад.

136•28-3808.

а) 6•8 = 48, пишемо 8, пам'ятаємо 4;

б) (3•8 + 2•6) + 4 = 40, пишемо, пам'ятаємо 4:

в) (8•1 + 3•2) + 4 = 18, пишемо 8, пам'ятаємо 1;

г) 2•1 + 1 = 3, пишемо 3.

2.3. Множення чисел, у яких число десятків однакове, а сума одиниць дорiвнює 10. Число десятків будь-якого множника множать на число, більше на 1, потім множать окремо одиниці даних чисел i до першого результату справа приписують другий. Цей спосіб базується на тотожності:

(10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc, якщо b +с= 10.

Приклад.

302•308=93016.

а) 30•(30+1)=930, пишемо 930;

б) 2•8=16, приписуємо справа 16.

2.4 Множення чисел на 11. Записують останню цифру числа ( цифру з розряду одиниць), потім послідовно справа наліво записують суми двох сусідніх цифр числа, нарешті першу цифру числа.

Приклади.

1. 54•11= 594.

а) Пишемо 4;

б) 5+4= 9, пишемо 9;

в) пишемо 5.

2. 124•11=1364.

Записуємо справа наліво:

4;  6= 2+4;  3=1+2;  1.

3. 236•11=2596.

Записуємо справа наліво:

6;  9=3+6;  5=2+3;  2.

Якщо одна із сум сусідніх цифр  виявиться більшою вiд 9, то на відповідному мiсцi записують цифру одиниць знайденої суми, а до наступної суми додають 1. Додають одиницю і до останньої цифри множника, якщо попередня сума перевищувала 9.

Приклади.

1. 68•11= 748.

А) Пишемо 8;

Б) 6 + 8 = 14, пишемо 4, пам'ятаємо 1;

В) 6 + 1 = 7, пишемо 7.

 2) 4769• 11 =52459.

А) Пишемо 9;

Б) 9 + 6 = 15, пишемо 5, пам'ятаємо 1;

В) (6 + 7) + 1 = 14, пишемо 4, пам'ятаємо 1;

6) (4 + 7) + 1 = 12, пишемо 2,   пам'ятаємо 1;

В) 4 + 1 = 5, пишемо 5.

2.5. Множення одноцифрового або двоцифрового числа на 37. Спосіб побудований на рiвностях: 2•37 = 74, 3•37 =111. Користуючись законами дистрибутивності й цими рiвностями, можна спростити процес множення в усіх згаданих випадках.

Приклади.

1. 6•37= 37•3•2=222.
2.  8•37=(6+2) •37=222 +74= 296.
3. 45•37= (48-3)•37= 48•37-3•37= 16•3•37 - 3•37= 111• (16-1) = =15•111=1665.

2.6. Множення на 5, 25, 125. Ділять дане число вiдповiдно на 2, 4, 8 і результат множать на 10, 100, 1000.

Приклади.

1. 58•5=58 : 2•10 = 290.
2. 36• 25=36: 4•100 = 900.
3. 32•125 =32:8• 1000= 4000.

Якщо множник не ділиться націло на 2, 4 або 8, то дiлення виконується з остачею. Потім частку множать вiдповiдно на 10, 100 або 1000, а остачу на 5, 25 або 125.

Приклади.

1. 23 •5=10• 10 +3•5= 100 + 15=115, (23 : 2 = 10 і 3 в остачі).
2.  43 •25 =10 •100 +3•25= 1000 + 75= 1075, (43 : 4 = 10 і 3 в остачі).
3. 99•125 =12•1000+ 6•125 = 120 000 + 750 = 120 750, (99:8 = 12 i З в остачі).

Інколи зручно змiнювати порядок дій, виконуючи спочатку ділення на 10, 100, 1000, а потім множення.

2.7. Множення на 9, 99, 999. До першого множника дописують стільки нулів, скільки дев'яток у другому множнику, і від результату вiднiмають перший множник.

Приклади.

1. 337•9=3370-337= 3033.
2. 42•99=4200 - 42= 4158.
3. 18• 999 = 18 000 – 18  = 17 982.

2.8. Піднесення до квадрата двоцифрових чисел , які мають 5 десятків. До 25 додають цифру з розряду одиниць і до результату приписують справа квадрат числа одиниць так, щоб утворилося чотирицифрове число. Цей спосіб базується на тотожності:

(50+а)²= 100•(25+а)+а².

Приклади.

1. 51²= 2601.

а) 25+1=26, пишемо 26;

б) 1²=1, дописуємо 01.

2. 57²=3249.

а) 25+7=32, пишемо 32;

б) 7²= 49, дописуємо 49.

3. Добування квадратного кореня.

= 529

а) Запис числа 273529 розбиваємо на групи по дві цифри;

  = 523

 -  25__

       235

  -    204__

          3129

     -    3129

                  0

б) для старшої групи цифр, що утворює число 27, підбираємо таке число, щоб його квадрат був найбільшим, але не перевищував числа 27; таким числом буде 5, його пишемо як першу цифру відповіді;

в) від старшої групи цифр віднімаємо квадрат першої цифри відповіді й до остачі дописуємо наступну групу цифр 35; маємо число 235;

г) подвоюємо записане у відповіді число 5 (10), приписуємо справа таку цифру , щоб добуток отриманого в результаті числа на цю цифру був найбільшим, але не перевищував числа 235; такою цифрою буде 2 ( бо        102 • 2 = 204 ≤ 235);

ґ) від числа 235 віднімаємо знайдений добуток 204 і до остачі приписуємо наступну групу цифр 29;

д) подвоюємо відповідь ( 52 • 2 =104), приписуємо справа таку цифру, щоб добуток отриманого в результаті числа на цю цифру був найбільшим, але не перевищував 3129; такою цифрою буде 3 ( бо 1043 • 3 = 3129), її записуємо у відповідь.