Задачі з геометрії за власними розробками

Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині довжини гіпотенузи

Задача 1.  ВD- медіана прямокутного трикутника АВС (<В=90°). Нехай К – точка дотику сторони АD трикутника АВD з колом, вписаним у цей трикутник. Знайти кути трикутника АВС, якщо К ділить АD навпіл.

Задача 2. Знайти основи АВ і СD трапеції АВСD, в якої АВ=2СD=2АD, АС=а, ВС=b.

Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику

Задача 3. Визначити висоту  рівнобедреної трапеції, якщо її діагональ перпендикулярна до бічної сторони, а різниця квадратів основ дорівнює 25.

Задача 4. В коло вписано трапецію, бічна сторона якої дорівнює 15, середня лінія 16 і більша сторона є діаметром кола. Визначити площу  трапеції.

Задача 5. Діагоналі прямокутної трапеції взаємно перпендикулярні, і більша з них точною перетину ділиться на відрізки, які дорівнюють 36 і 34. Визначити основи трапеції.

Хорда кола дорівнює добутку діаметра і синуса вписаного кута, який спирається на цю хорду (a=2Rsin ά)

Задача 6. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 36 і 12. Визначити радіус кола, описаного навколо трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 16.

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності

Задача 7. У прямокутному трикутнику катети відносяться як 3:4, а висота, проведена до гіпотенузи, ділить площу трикутника на частини, різниця яких дорівнює 84 см². Знайти площу всього трикутника.

Властивості бісектриси кута трикутника

Задача 8. У рівнобедреному трикутнику основа і бічна сторона відповідно дорівнюють 5 і 20. Знайти бісектрису  кута при основі трикутника.

Застосування осьової симетрії

1. Точки А і А₁ називаються симетричними відносно прямої l, якщо пряма l перпендикулярна до відрізка АА₁ і проходить через його середину.
2. Перетворення фігури, при якому кожній точці цієї фігури відповідає точка, симетрична їй відносно заданої прямої l, називають осьовою симетрією з віссю l.
3. Осьова симетрія є рухом, отже, симетричні фігури рівні.

Задача 9. У прямокутному трикутнику АВС (<С=90°) медіана АМ=m проведена до меншого катета й утворює з більшим кут 15°. Знайти площу трикутника.