Сума n-перших членів арифметичної прогресії

Про матеріал

Вивести формулу Sn для арифметичної прогресії; навчити учнів обчислювати Sn ; знаходити раціональні способи розв’язування задач; ознайомити учнів з історією математики; застосовувати набуті знання у повсякденному житті. Розвивати логічне мислення. Виховувати цікавість учнів до предмету.

Перегляд файлу

9 клас

Тема: Сума n перших членів арифметичної прогресії.

Мета: Вивести формулу S_n для арифметичної прогресії; навчити учнів обчислювати S_n; знаходити раціональні способи розв’язування задач; ознайомити учнів з історією математики; застосовувати набуті знання у повсякденному житті. Розвивати логічне мислення. Виховувати цікавість учнів до предмету.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу.

Обладнання: таблиця, підручник, портрет К.Гаусса.

Хід уроку

Організаційний момент.
Перевірка домашнього завдання.

Фронтальна бесіда, в процесі якої повторюється означення послідовності, арифметичної прогресії, а також формула n-го члена та основна властивість арифметичної прогресії. Учні шукають відповіді на запитання: чи вірно, що ? Які ще суми рівні між собою? Який висновок можна зробити?

Мотивація навчальної діяльності.

Сьогодні ми на уроці будем розв’язувати задачі на прогресії. Найдавнішою задачею на прогресії є задача про розподіл хліба, записана в єгипетському папірусі Рінда, яка відноситься, можливо, до ІІІ ст..до н. е. Зміст її приблизно такий: «Сто мір хліба слід розділити між п’ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки ж більше від першого, на скільки третій одержав більше від другого, четвертий – більше від третього і п’ятий – більше від четвертого. Крім того, двоє перших повинні одержати в 7 раз менше за трьох інших. Скільки потрібно дати кожному?»

Бачимо, що перші із задач на прогресії, які дійшли до нас, пов’язані із питаннями господарського життя і суспільної практики, як, наприклад, розподіл продуктів, одержання нагороди тощо.

Тепер я розповім епізод із біографії вченого-математика, що вивів формулу суми арифметичної прогресії. (демонструється портрет К. Гаусса)

У 7 років Карл Гаусс пішов до школи. Якось учитель дав учням досить складне завдання: додати всі числа від 1 до 100. Учитель вважав, що учні досить довго шукатимуть відповідь. Але через кілька хвилин Карл написав на своїй грифельній дошці відповідь. Коли вчитель проглянув розв’язання, то побачив, що маленький Гаусс винайшов спосіб скороченого знаходження суми членів арифметичної прогресії.

Як же ти це підрахував? – запитав учитель.
Дуже просто, - відповів хлопчик. – я додав 1 і 100, одержав 101. Потім додав 2 і 99, теж отримав 101 і так 50 доданків по 101 кожний. Помножив 101 на 50. Одержав 5050.

Здивований учитель зрозумів, що зустрів найобдарованішого учня у своєму житті. Отже, К. Гаусс обчислив суму 100 перших членів арифметичної прогресії. І саме суму потрібно знайти в багатьох історичних задачах. Причому для знаходження цих сум математики давно вже користуються безпосереднім додаванням; для цього вони застосовували формули.

Постановка мети уроку.

Сьогодні на уроці ми виведемо формулу суми членів арифметичної прогресії та навчимося її застосовувати в різних випадках.

Вивчення нового матеріалу.

Запишемо суму, яку успішно обчислив юний Гаусс:

Підпишемо під нею цю саму послідовність у порядку спадання і додамо рівності почленно.

Одержимо:

За допомогою аналогічних міркувань можна знайти суму перших членів будь-якої арифметичної прогресії.

Де

Ця формула може бути не зовсім зручною, якщо невідомий член , а тому доведеться його спочатку обчислювати.

Розв’язування вправ.

№1. Знайдіть суму шістдесяти перших членів арифметичної прогресії ( якщо

Розв’язання

Якою формулою суми скористатися зручніше?

У нашому випадку:

Відповідь. 1800

№2. Знайдіть суму восьми перших членів арифметичної прогресії: -23, -20,…

Розв’язання

Оскільки за умовою легко визначити , то зручніше скористатися формулою:

Відповідь. -100

№3. Кулі розміщені у формі трикутника так, що в першому ряді 1 куля, у другому – 2, у третьому – 3 і т.д. У скільки рядів розміщені кулі, якщо всього їх 120?

Розв’язання

знайти n

не задовольняє умову задачі.

Відповідь. У 15 радів.

№4. При вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше. Знайдіть глибину шахти, якщо вільно падаюче тіло досягло її дна через 5 с після початку падіння.

Розв’язання

Запишемо цю фізичну задачу мовою прогресії.

Дано арифметичну прогресію, у якої

Знайти .

Відповідь. глибина шахти 122,5 м.

№5. Задача папірусу Ахмеса. «10 мір ячменю треба розділити між 10тособами так, щоб їхні частини утворювали арифметичну прогресію, різниця якої дорівнює міри».