Сума n перших членів геометричної прогресії

Тема уроку: Формула суми n перших членів геометричноїпрогресії

Задача-легендаІндійсий цар Шерам покликав до себе винахідника шахів, свого підданого Сету, щоб нагородити його за винахід. Сета, знущаючись з царя, став вимагати покласти на першу клітинку шахової дошки 1 зернятко, на другу — 2 зернини, на третю — 4 зерна і т. д. Цар зрадів, сміючись над Сетой і наказав видати йому таку просту винагороду. Чи повинен був сміятися цар?

1 12 23 4 8…………………………….27 67 108 86428 134 217 72829 268 435 45633 4 294 967 29634 8 589 934 59262 2 305 843 009 213 693 95263 4 611 686 018 427 387 904 9 223 372 036 854 775 808 Загальна кількість зернин:18 446 744 073 709 551 615.

(Вісімнадцять квінтильйонів чотириста сорок шість квадрильйонів сімсот сорок чотири трильйони сімдесят три мільярди сімсот дев’ять мільйонів п’ятсот п’ятдесят одна тисяча шістсот п’ятнадцять)

Якщо маса 1 зернини становить 0,065 г, то загальна маса пшениці на шахівниці становить 1,2 трильйонів тонн. Таку кількість зернин можна зібрати з площі, яка приблизно у 2000 разів більша від площі усієї поверхні Землі.

Встановимо формулу для обчислення суми n перших члeнів геометричної прогресії (bn), позначивши цю суму Sn. Отже, Sn = b1 + b2 + b3 +... + bnb2 = b1q, b3 = b2q, b4 = b3q, … bn-1 = bn-2q, bn = bn-1qb2 + b3 + b4 +… + bn-1 + bn == (b1 + b2 + b3 + b4 +… + bn-1)⋅ q;

b2 + b3 + b4 +… + bn-1 + bn= Sn - b1b1 + b2 + b3 + b4 +… + bn-1= Sn – bn. Sn - b1 = (Sn – bn)⋅q. Sn - b1 = Sn ⋅q – bn⋅q. Sn - Sn ⋅q = b1 – bn⋅q; Sn (1- q) = b1 – bn⋅q;Sn=b1 – bn⋅q1- q×q

Sn=b1 – bn⋅q1- q. Sn=bn⋅ q – b1q - 1 Sn=b1⋅ q n – b1q - 1 Sn=b1⋅(q n – 1)q - 1,,,.

Приклад. Знайти суму семи перших члeнів геометричної прогресії (bn), якщо b2 = 54, b5 = 1458. Розв’язуваня. Використаємо: S7 = b1q𝟕 − 1q − 1. Знайдемо q та b1.q𝟑=b5b2 = 145854 = 27, q = 3,b1 = b2 : q = 54 : 3 = 18. S7 = 183𝟕 − 13 − 1 = 19674. 

Виконуємо самостійно:§ 7, п. 34, № 34.1(1), № 34.3(1), № 34.5(1), № 34.11, № 34.13.

Домашня робота:§ 7, п. 34, № 34.2(1), № 34.4(1), № 34.6, № 34.10, № 34.12.

Дякую за увагу!