Розробка циклу уроків однієї з навчальних тем курсу алгебри „Системи лінійних рівнянь з двома змінними" для 7 класу. Перший урок із даної теми
1
Тема 1.
Рівняння з двома змінними.
Розв’язок рівняння з двома змінними.
Лінійне рівняння з двома змінними та його графік.
Мета уроку: сформувати в учнів поняття лінійного рівняння з двома змінними, його розв’язку; навчити складати самостійно такі рівняння для розв’язування задач; вміти визначати рівняння даного типу; навчити визначати розв’язки рівнянь за допомогою декартової системи координат; навчити класифікувати типи рівнянь з двома змінними по їх множинах розв’язків; подати учням іторичний матеріал по даній темі; розвивати чіткість та лаконічність думки, логічне мислення.
Тип уроку: урок засвоєння нових знань.
Клас: 3(7) клас
Структура уроку.
Хід уроку.
І. Пивітання. Перевірка учнів.
ІІ. Досі ми розв'язували рівняння з одною змінною. А чи є задачі, розв'язування яких зводиться до розв'язування рівняння з двома змінними?
Ми спробуємо з вами дати відповідь на це запитання з допомогою теми, що буде з вами вчити. А саме: Системи лінйних рівнянь.
ІІІ. Як кожна тема у математиці, яку ми вчимо розбивається на ряд підтем, що дають змогу розкрити зміст навчального матеріалу, що ми вчимо. Тема сьогоднішнього уроку: „Рівняння з двома змінними. Розв’язок рівняння з двома змінними. Лінійне рівняння з двома змінними та його графік.”
У своїй роботі ми будемо викорстовувати комп’ютер. Який замість нас виконуватиме усю рутинну роботу, допомагатиме нам.
На сьогоднішньому уроці ми познайомимся із середовищем «Системи лінійних рівнянь», зареєструємося та здійснимо перші кроки в успішному опануванні темою.
А зараз – прошу уваги.
IV. Нехай відомо, що одне а двох чисел на 5 більше від другого. Якщо перше число позначити буквою х, а друге — буквою y, то співвідношення між ними можна записати у вигляді рівності х - у = 5, яка містить дві змінні. Такі рівності називають рівняннями з двома змінними, або рівняннями з двома невідомими.
Наведемо інші приклади рівнянь з двома змінними:
5x + 2у = 10, -7x+y=5, х2 + у2 = 20, ху = 12. З цих рівнянь перші два мають вигляд
ах + by =c де а, b i с — числа. Такі рівняння називають лінійними рівняннями з двома змінними.
Означення. Лінійним рівнянням з двома змінними— називається рівняння виду
ах + bу = с, де x і у — змінні, a, b і с — деякі числа.
Якщо та , то це рівняння називають рівнянням першого степеня.
Якщо х = 8, у = 3, рівняння х - у = 5 перетворюється у правильну рівність: 8 - 3 = 5. Говорять, що пара значень змінних x=8, у=3 є розв'язком цього рівняння.
Означення. Розв'язком рівняння з двома змінними називається пара значень змінних, що перетворює це рівняння у правильну рівність.
Неважко перевірити, що розв'язками рівняння х - у =5 є також пари: х =105, у =100; х=4, у=-1; x=3,5, у=-1,5. Пари значень змінних записують іноді коротше. Наприклад, перелічені пари можна записати так: (105,100), (4;-1), (3,5; -1,5). При такому запису необхідно знати: значення якої із змінних стоїть на першому міcці, а якої – на другому. В запису розв’язків рівняння із змінними х і у умовимося на першому місці записувати значення х, а на другому — значення у.
Означення. Рівняння з двома змінними, які мають одні й ті самі розв'язки, називаються рівносильними.
Рівняння з двома змінними, які не мають розв'язків, також вважають рівносильними.
Рівняння з двома зміннимі мають такі самі властивості, як і рівняння з однією змінною:
1) якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то дістанемо рівняння рівносильне даному;
2) якщо обидві частини рівняння помножити або поді-лиги на одне й те саме число, відмінне від нуля, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Розглянемо рівняння: 5x+2y=12
Скориставшись властивостями рівнянь, виразимо з цього рівняння одну змінну через другу, наприклад у через x.
y=-2,5x+6. Утворене рівняння рівносильне даному.
Користуючись формулою y=-2,5x+6 можна знайти скільки завгодно розв’язків.
V. Розглянемо для прикладу задачі.
Задача 1. Ви повинні купити 7 кг яблук. Чи можна за наявності гир 1 кг і 2 кг зважити яблука?
Запитання задачі зводиться до того, щоб взнати, скільки гир треба взяти по 1 кг і по 2 кг, щоб зважити 7 кг яблук. Невідомих у задачі два:
х — число гир по 1 кг,
у — число гир по 2 кг.
Тоді 1х — маса гир по 1 кг,
2у — маса гир по 2 кг.
З умови задачі випливає рівняння х + 1у = 7.
Легко здогадатись, що х і у в рівнянні х + 2у = 7 може набувати тільки натуральних значень: 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7, які в математиці називають допустимими.
Надаючи змінній х одного зі семи допустимих значень, дістаємо відповідне значення у. Усі можливі розв'язки можна подати у вигляді такої таблиці:
Кількість гир по 1 кг |
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Кількість гир по 2 кг |
y |
3 |
? |
2 |
? |
1 |
? |
0 |
Маса яблук |
x+2y |
7 |
- |
7 |
- |
7 |
- |
7 |
Оскільки х і у повинні набувати тільки натуральних значень, то дістанемо чотири пари чисел: (1;3), (3;2), (5;1) і (7;0).
Візьмемо прямокутну систему координат хОy. Побудуємо відповідні точки з координатами (1;3), (3;2), (5;1) і (7;0). Легко зауважити, що всі чотири точки належать прямій, координати яких є розв'язками задачі 1.
Задача 2. Два куски міді мають масу 7 кг. Яка маса кожного куска?
Позначимо масу одного куска міді через x, іншого — через у. За умовою задачі маємо рівняння х + у = 7.
Виникають запитання:
1. Яких значень можуть набувати змінні х і у?
2. Чи має розв'язок рівняння?
3. Скільки розв'язків має рівняння?
Зауважимо, що у рівнянні х + 2у = 7 першої задачі допустимими значеннями для х і у є тільки натуральні числа, причому не більші від 7(за змістом задачі маса яблук повинна дорівнювати 7 кг), а y другій задачі х і у можуть набувати будь-яких додатних (цілих і дробових) чисел, менших від семи.
Надаючи одному з невідомих, наприклад х, довільного допустимого значення, знаходимо відповідне значення у. Кожна пара цих чисел є розв'язком рівняння. Частина цих розв'язків наведена в таблиці.
Маса першого куска
|
х
|
0,1
|
5
|
6
|
6,1
|
6,9
|
6,98
|
/// |
Маса другого куска
|
y
|
6,9
|
2
|
1
|
0,9
|
0,1
|
0,02
|
...
|
Маса обох кусків
|
х + у
|
7
|
7
|
7
|
7
|
7
|
7
|
…
|
Легко побачити, що кількість розв'язків цього рівняння нескінченно велика, але не виходить за межі 0<х<7 і 0<у<7.
Побудуємо на координатній площині точки, координати яких є розв'язками рівняння. Неважко зауважити, що розв'язком задачі є координати точок відрізка.
Задача 3. Учень задумав два числа, сума яких дорівнює 7. Які числа задумав учень?
Позначимо задумані учнем числа через х і у. За умовою задачі маємо рівняння х + у = 7. Тут знову два невідомі числа х і у, а тому й рівняння х + у = 7 є рівнянням з двома змінними. Проте допустимими значеннями для змінних х і y будуть вже будь-які раціональні числа (додатні, від'ємні та нуль).
Якщо надамо х довільного значення і підставимо його в дане рівняння, то знайдемо відповідне значення у. Частину цих розв'язків можна подати у вигляді такої таблиці:
Перше число
|
х
|
0
|
1
|
1,01
|
9
|
100
|
-1
|
-4,5
|
-100
|
-1000
|
…
|
Друге число |
y |
7 |
6 |
5,99 |
-2 |
-93 |
8 |
11,5
|
107
|
1007
|
…
|
Сума чисел |
x+y |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
… |
Як бачимо, це рівняння також має безліч розв'язків. Однак розв'язками є координати точок прямої, а не відрізка.
Змінні х і у можуть набувати як додатних, так і від’ємних значень.
Отже, в усіх трьох задачах рівняння вигляду ах + bу = с не дало певної однозначної відповіді на запитання задачі. Воно лише засвідчило відповідну залежність між двома змінними величинами. За цією залежністю, знаючи значення однієї змінної, можемо визначити значення іншої.
З розглянутих прикладів можна зробити такі висновки:
Зауважимо, що графіком рівняння з двома змінними не завжди є пряма. Наприклад, на малюнках зображено:
Ми вивчатимемо тільки лінійні рівняння з двома змінними. На сьогодні в алгебрі розроблені різні методи розв'язування подібних задач, які називають неозначеними, бо вони завжди мають багато розв'язків. Увів їх в алгебру знаменитий математик давнини Діофант. Тому ці рівняння часто називають "діофантовими".
VI. ПРО МЕТОД КООРДИНАТ
Ідея координат зародилася в давнину в зв'язку з потребами астрономії, географії, живопису. Так на стіні однієї а давньоєгипетських поховальних камер було знайдено квадратну сітку (палетку), якою користувалися для збільшення зображень. Давньогрецький астроном Клавдій Птолемей (II ст.) застосував географічні координати (довготу і широту) для визначення місцезнаходження мореплавця. Ідеєю координат користувалися в середні віки для визначення положення світил на небі, для визначення місця на поверхні Землі. Прямокутною сіткою користувалися художники епохи Відродження.
Застосовувати координати у математиці першими почали П. Ферма І Р. Декарт. У 1637 році вийшла книжка Р. Декарта «Міркування про метод», в якій поряд із загальними філософськими міркуваннями про матерію значну увагу приділено «універсальній математиці». У розділі цієї книжки «Геометрія» Р. Декарт запропонував новий метод — метод координат, який дав можливість переходити від точки (у координатній площині) до пари чисел, від лінії до рівняння, від геометрії до алгебри. Це була нова геометрія, яку зараз називають аналітичною геометрією. Заслуга Р. Декарта полягала у тому, що він увів змінні координати. Так у рівнянні ах + bу = с букви х і у почали розглядатися не як невідомі, а як змінні. Завдяки цьому кожній прямій у координатній площині відловідяи лінійне рівняння ах + bу = с (а i b — відмінні від нуля числа).
Метод координат дає змогу будувати графіки рівнянь, зображати геометрично різні залежності, виражені аналітично за допомогою рівнянь і формул, розв'язувати різні геометричні задачі за допомогою алгебри.
Термін «абсциса» і «ордината» і назву «координати» запровадив Г. Лейбнід у 70—80-ті роки XVII ст.
VII. Розглянемо графік лінійного рівняння з двома змінними. Для цього спершу повторимо деякі поняття пов’язані з координатною площиною.
Проведемо на площині дві перпендикулярні координатні прямі x та y, які перетинаються в початку відліку - точці О.
Означення. Площину, на якій задано такі координатні прямі, називають координатною площиною, пряму х - віссю абсцис, пряму у - віссю ординат, точку О — початком координат.
Кожній точці координатної площини відповідає пара чисел. Наприклад, точці А відповідав пара (3;2) бо пряма Ах, перпендикулярна до осі х, перетинає її в точці з координатою 3, а пряма Ау, перпендикулярна до осі у, перетинає її в точці з координатою 2. Говорять, що точка А має координати З і 2. Записують: А(3; 2). Тут 3 - абсциса, 2 - ордината точки А. Першою завжди пишуть абсцису.
Кожній парі чисел на координатній площині відповідав єдина точка.
Координати точок першим вико-ристонунни французький математик Рене Декарт (1596—1650). Тому їх часто називають декартовими координатами.
Тепер повернемось до рівнянь. Для прикладу розглянемо рівняння Зх - 2у=6. Надавши змінній х значень -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., знайдемо відповідні значення змінної у. Матимемо розв’язки даного рівняння: (-2;-6), (-1;-4,5), (0;-3), (1;-1,5), (2;0), (3;1,5)...
Якщо на координатній площині позначити точки, що відповідають цим парам, виявиться, що всі вони розміщені на одній прямій. Цю пряму називають графіком даного рівняння.
Означення. Графік кожного рівняння першого степеня з двома змінними – пряма. Щоб побудувати графік рівняння першого степеня з двома змінними, досить знайти два його розв'язки, позначити на координатній площині відповідні їм точки і провести через них пряму.
Розглянемо різні випадки розміщення прямої у прямокутній системі координат.
ax+by=c, by=c – ax, - лінійне рівняння. Його графік – пряма лінія.
VIII.
1. Запитання і вправи для самоперевірки(усні відповіді учнів на теоретичні запитання).
2. Розв’язування вправ.
№1
Назвіть рівняння з двома змінними:
Зх—у=5; х2+4у=9; у-28=3; 2у-х=0; 0,7х=8у+5; х-2(3-у)=5.
№2
Чи задовольняють значення х=5 та у=-2 рівняння 5х – 2у=10
Які з пар (3;2),(4;-3),(-1;4) є розв’язками рівнянь:
2х+7у=20
-2х+3у=0
х – 4у=16
№3
Замініть зірочки числами так, щоб пари (1;*), (2;*), (3;*), (*;2), (*;0), (*;-5) задовольняли рівняння х+3у=10
№4
На графіку рівняння 3х – 5у=6,2 взято точку з абсцисою 0,4. Яка ордината цієї точки?
№5
Побудуйте графіки рівнянь:
х+у=4;
2х+у=6
-Зх+2у=5;
-х-7у=7.
№6
Побудуйте в обній координатній площині графіки рівнянь х – у =3 та 3х+у=1. Знайдіть координати точки перетину графіків. Переконайтесь, що знайдена пара чисел є розв’язком кожного з даних рівнянь.
№7
Знайдіть координати точок перетину з осями координат графіків рівнянь 3х+2у=6; х – 5у =12
№8
Побудуйте в одній координатній площині графіки рівнянь х—у=3 і Зх – у=1. Знайдіть координати точки перетину графіків.
№9
Побудуйте в одній координатній площині графіки рівнянь
х+у=4, якщо
х – у =4, якщо
х+у=-4, якщо
х – у =-4, якщо
Яку фігуру ви одержали внаслідок побудови графіків?
№10
З дроту завдовжки 4 дм потрібно виготовити прямокутник? Яких розмірів може бути прямокутник? Складіть рівняння з двома змінними та побудуйте графік. Що відображають координати точок цього графіка?
№11
Виразіть:
у через х з рівняння 6х – у =12
х через у з рівняння 10х+7у=0
№12
Не виконуючи побудови, визначте, в яких координатних чвертях розміщений графік рівняння: 12х – 8у =25, 1,5у=150, 0,2х=43
№13
Скільки розв’язків має рівняння: 0,002х+0,0006у=5000
3х+0у=0; 0х – 7у=4; 0х+0у=23; 0х – 0у=0; 3х – 11у+10=0
№14
Складіть рівняння, розв’язком яких була б пара чисел:
(-3;1), (0;7), (-2;2), (10,0), (-1;1).
№15
Серед розв’язків рівняння 3х – у =10 знайдіть таку пару чисел, щою ордината була вдвічі менша від абсциси.
№16
Розвяжуть рівняння:
,
3. Написання самостійної роботи
В-І |
7 балів
|
В-ІІ |
|
1. Скласти лінійне рівняння з двома змінними, що має розв'язок: |
|||
(5;-1). |
(3;2). |
||
2. Побудувати графік рівняння. |
|||
Зх-4у = 6. |
2х+5у = -10. |
||
В-ІІІ |
9 балів
|
В-IV |
|
1. Побудувати графік рівняння. |
|||
2х+у = 7. |
у-Зх = 5. |
||
2. Чи належить графіку цього рівняння точка: |
|||
A(-100, -207) |
M(-20,55) |
||
3. Чи є розв'язком цього рівняння пара чисел: |
|||
(0;7) і (-20;-13)? |
(0;5) і (10;35)? |
||
4. Скільки розв'язків має рівняння? |
|||
2x+0y=0 |
0x+0y=10 |
||
B-V |
12 балів |
B-VI |
|
1. Побудувати графік рівняння. |
|||
х – у = 10. |
-2x+3y=6 |
||
2. Знайти абсцису точки k, якщо: |
|||
графік рівняння 2у-3х =7 проходить через точку К, ордината якої дорівнює 5. |
графік рівняння 5x – 2y =-11 проходить через точку К, ордината якої дорівнює 3. |
||
3. Скільки розв'язків має рівняння? |
|||
а) 0у-0х = 0; б) 0х-7у = 4. |
а) 5х+0у= 0; б) 0х-0у = -3 |
||
IX. Знайомство із ППЗ „Програмне середовище «Системи лінійних рівнянь».”
Запуск програми здійснюється за допомогою пункту Програми головного меню (що відкривається за допомогою натиснення кнопки Пуск), в якому послідовно оберіть KSPU Software, група програм "Системы линейных уравнений", Рабочее место учителя або скористайтеся ярликом, що міститься на робочому столі.
Після активізації ПЗ Системи лінійних рівнянь відкривається головне вікно програми, у якому учень:
Модулі ПЗ СЛР:
Задачник;
Середовище для розв’язування задач;
Зошит;
Тест;
Персоніфікація.
X. Підбиття підсумків уроку.
№1
Побудуйте в одній координатній площині графіки рівнянь х+у=4, 2х – у =6
№2
Знайдіть координати точок перетину з осями координат графіків рівнянь:
х+у=5, 3х – 2у =4
№3
Із труб завдовжки 6м та 8 м потрібно пркласти трубопровід завдовжки 84 метри скільки розв’язків може мати задача? Який із розв’язків бажано використати, прокладаючи труби?