Тема: Дослідження функцій на монотонність
Мета: Ознайомити студентів з поняттям зростання (спадання) функції, розуміти проміжки монотонності, користуючись графіком. Навчити досліджувати функцію на парність та монотонність і неперервність на заданому відрізку. Розвивати просторову уяву, логічне мислення, виховувати акуратність та зосередженість при виконанні досліджень та побудові графіків.
Теоретична частина
Функція та її властивості. Функцією називається залежність змінної у від змінної х, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.
Позначення: , де х – незалежна змінна (аргумент); у – залежна змінна (функція) .
Множина значень, яких набуває змінна х називається областю визначення функції. Позначення
№ |
Функція |
Область визначення |
1 |
(Многочлен n-го степеня) |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
Множина значень залежної змінної у, яких вона набуває при всіх значеннях х називається областю значень функції. Позначення:
а) Яка область визначення функцій, графіки яких зображено на рис. ?
Область визначення функції - це проміжок
, тому, що вираз
має зміст при
, тобто
.
Область визначення функції - вся координатна пряма
.
б) Яка область значень функцій, графіки яких зображено на рис. ?
Область значень функції множина
.
Область значень функції множина
.
Зростання, спадання, парність та непарність функції.
Якщо для будь-яких двох значень аргументу більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, то таку функцію називають зростаючою.
( ). Рис 1.
Якщо для будь-яких двох значень аргументу більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, то таку функцію називають спадною.
( ). Рис 2
Функція називається парною, якщо для будь-яких двох протилежних значень аргументу отримуємо рівні значення функції, тобто . Графік парної функції симетричний відносно осі Оу.
Приклад. Функція є парною:
. Рис 3
Функція називається непарною, якщо для будь-яких двох протилежних значень аргументу отримуємо протилежні значення функції, тобто . Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
Приклад. Функція є непарною:
. Рис 4
Велика кількість функцій не належить ні до парних ні до непарних. Прикладом такої функції є функція . Рис 5
.
Приклад. Знайти область визначення функцій: .
Розв'язання. Арифметичний корінь існує лише для невід'ємних чисел, дріб
існує при
. Маємо
Відповідь: .
Завдання для самоконтролю
Знайти область визначення функцій |
|||
|
|
|
|
Дослідити на парність і непарність функції |
|||
|
|
|
|
Побудувати графіки функцій |
|||
|
|
|
|