Теорема синусів і косинусів

Розв'язування трикутників. Теорема синусів та косинусів

Актуалізація опорних знань. Ви вже знаєте співвідношення між сторонами і кутами прямокутноготрикутника. 

Актуалізація опорних знань 

Теорема синусів

Наслідки з теореми синусів. Наслідок 1. У будь-якому  відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, опосаного навколо цього . Увага! а=2 Rsin. A, b=2 Rsin. B, c=2 Rsin. CНаслідок 2. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти більшого кута лежить більша сторона. Наслідок 3. (властивість бісектриси) Бісектриса кута  ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін. KC – бісектриса, тодіNKCM

Приклад. У трикутнику ABC дано b = 9см, с = 11 см, B = 50°. Знайти  С,  A. Дано: АВС ( див рис.), АС = 9 см, АВ = 11 см, B = 50°. Знайти:  A,  C. Розв'язання. За теоремою синусів Цьому значенню синуса відповідає два кути 69° і 111°. Тоді A = 180° - (C + B), A = 180°- (50° + 69°) = 61° або A =180°-(50° + 111°)= 19°. Відповідь. 69°, 61° або 111°, 19°. Звідси. AВС9 см11 см50Виконання вправ

63'. За даними на малюнку 19:1) запишіть відношення заданої сторони до синуса протилежного кута;2) знайдіть значення цього відношення.64'. За даними на малюнку 20:1) запишіть відношення кожної сторони трикутника до синуса протилежного кута;2) знайдіть значення синусів цих кутів;3) обчисліть кожне з відношень сторони трикутника до значення синуса протилежного кута і зробіть висновок.65'. Яка зі сторін трикутника ABC (мал. 21) найбільша, а яка – найменша?

AВС

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними. Теорема косинусівa2=b2+c2- 2bc cosαb2=a2+c2- 2ac cosβc2=a2+b2- 2ab cosγstyle.colorfillcolorfill.type

Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів : якщо в трикутнику С – прямий, тоді cos. C = 0 Із рівності с2 = а2 + b2 - 2·a·b·cos. C Одержимо: Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є більш узагальненою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доведення, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів. Чому теорему косинусів називають узагальненою теоремою Піфагора ?c2 = a2 + b2style.colorfillcolorfill.type

В7 см. САх Теорема косинусів. Дано : ∆АВС АВ=ВС=7см. Знайти: АС32см 𝐴𝐶2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2−2∙𝐴𝐵∙𝐵𝐶∙𝑐𝑜𝑠𝛽 ∠B=45 ° 𝐴𝐶2=(32)2+72−2∙32∙7∙𝑐𝑜𝑠45° 𝐴𝐶2=25 𝐴𝐶=5см Задача №1

Теорема косинусів. АВС∠ACB =34 DДано : ∆АВСАС=4см. ВС=3см Знайти: АBх ∠B CD( суміжні )∠BCD=60° 𝑨𝑩𝟐=𝑨𝑪𝟐+𝑩𝑪𝟐−𝟐𝐀𝐂∙𝑩𝑪∙𝒄𝒐𝒔∠𝑨𝑪𝑩 Задача №2

В15 см. СА13 смх. Теорема косинусів7 см. Дано : ∆АВС АВ=13 cм ВС=15см АС=7см Знайти:∠С𝑨𝑩𝟐=𝑨𝑪𝟐+𝑩𝑪𝟐−𝟐𝑨𝑪∙𝑩𝑪∙𝒄𝒐𝒔∠𝑪 𝒄𝒐𝒔∠𝑪=𝑨𝑪𝟐+𝑩𝑪𝟐−𝑨𝑩𝟐𝟐𝑨𝑪∙𝑩𝑪 𝒄𝒐𝒔∠𝑪=𝟒𝟗+𝟐𝟐𝟓−𝟏𝟔𝟗𝟐∙𝟕∙𝟏𝟓=0,5 ∠𝑪=𝟔𝟎° Задача №3

В8 см. САx см. Теорема косинусів7 см  Знайти: АBДано : ∆АВСBС=8см. АC=7см∠B=60 ° Задача №5𝑨С𝟐=𝑨В𝟐+𝑩𝑪𝟐−𝟐𝐀В∙𝑩𝑪∙𝒄𝒐𝒔∠𝑨𝑩С 𝟕𝟐=х𝟐+𝟖𝟐−𝟐х∙𝟖∙𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎° х𝟐−𝟖х+𝟏𝟓=𝟎  

ВСАx. Теорема косинусів7 см Знайти: АBДано : ∆АВСВC-АB=3см. АC=7см∠B=60 ° ВC=3+х(3+х) см𝑨С𝟐=𝑨В𝟐+𝑩𝑪𝟐−𝟐𝐀В∙𝑩𝑪∙𝒄𝒐𝒔∠𝑨𝑩С 𝟕𝟐=х𝟐+(𝟑+х)𝟐−𝟐х∙(𝟑+х)∙𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎° х𝟐+𝟑х −𝟒𝟎=𝟎  𝟒𝟗=х𝟐+𝟗+𝟔х+х𝟐−𝟑х−х𝟐 Задача №6 60 ° 

В7 см. САx Теорема косинусів14 см Знайти: АBДано : ∆АВССD=8см. АC=14см. D8 см10 см. АD=10см. DB=7см∆𝑨𝑪𝑫:𝒄𝒐𝒔∠𝑪=𝑨𝑪𝟐+𝑪𝑫𝟐−𝑨𝑫𝟐𝟐𝑨𝑪∙𝑪𝑫 ∆𝑨𝑩𝑪:𝑨𝑩𝟐=𝑨𝑪𝟐+𝑪𝑩𝟐−𝟐𝑨𝑪∙𝑪𝑩∙𝒄𝒐𝒔∠𝑪 Задача №7

Теорема косинусів. Задача №8 АСВDO11 см13см. Дано: АВСD - паралелограм. АВ = 11 см. АD = 13 см. АС = 18 см Знайти: ВD𝟐(𝑨𝑩𝟐+𝑨𝑫𝟐)=𝑩𝑫𝟐+𝑨𝑪𝟐  𝟐(𝟏𝟏𝟐+𝟏𝟑𝟐)=𝑩𝑫𝟐+𝟏𝟖𝟐  𝑩𝑫𝟐=𝟐𝟏𝟐𝟏+𝟏𝟔𝟗−𝟑𝟐𝟒 

Теорема косинусів. Задача №9 Дано : ∆АВСAM=10см. АC=BM=MC Знайти: ABСАx 10 см. M82см 82см AB=BCBD𝑨𝑩𝑫𝑪 −паралелограм (𝐀𝐌=𝐌𝐃, 𝐁𝐌=𝐌𝐂) 𝟐(𝑨𝑩𝟐+𝑨С𝟐)=А𝑫𝟐+В𝑪𝟐  𝟐(х𝟐+(𝟖2 )𝟐)=𝟐𝟎𝟐+х𝟐  

Маючи у трикутнику дві сторони та кут між ними (не прямий), третю сторону можна знайти за теоремою:а) синусів;б) Піфагора;в) косинусів;г) Фалеса;д) тангенсів. Тест «Теореми косинусів та синусів»style.colorfillcolorfill.typefill.on

Знайдіть невідому сторону трикутника АВС, якщо АВ = 5 см, ВС = 8 см, кут В = 60о.а) 7 см;б) 49 см;в) 9 см;г) 81 см;д) 12 см. Тест «Теореми косинусів та синусів»style.color

Яким є трикутник зі сторонами а, b, с, де а - його найбільша сторона, якщо а 2 > b 2+с 2 ?а) гострокутним;б) прямокутним;в) тупокутним;г) не є трикутником;д) гострокутним і прямокутним. Тест «Теореми косинусів та синусів»style.colorfillcolorfill.typefill.on

Яким є трикутник зі сторонами а, b, с, де а - його найбільша сторона, якщо а 2 < b 2+с 2 ?а) гострокутним; б) прямокутним;в) тупокутним;г) не є трикутником;д) гострокутним і прямокутним. Тест «Теореми косинусів та синусів»style.colorfillcolorfill.typefill.on

Яким є трикутник зі сторонами а, b, с, де а - його найбільша сторона, якщо а 2 = b 2 + с 2 ?а) гострокутним;б) прямокутним;в) тупокутним;г) не є трикутником;д) гострокутним і прямокутним. Тест «Теореми косинусів та синусів»style.colorfillcolorfill.typefill.on

Яка теорема пов´язує протилежні сторони і кути трикутника?а) синусів;б) Піфагора;в) косинусів;г) Фалеса;д) тангенсів. Тест «Теореми косинусів та синусів»style.colorfillcolorfill.typefill.on

https://naurok.com.ua/test/teorema-sinusiv-27434.htmlhttps://naurok.com.ua/test/teorema-sinusiv-27958.htmlhttps://naurok.com.ua/test/teorema-sinusiv-i-kosinusiv-24246.htmlhttps://naurok.com.ua/test/teorema-kosinusiv-ta-teorema-sinusiv-26326.html