Диференціювання функцій однієї та декількох змінних(15-17)2варіант

Границя відношення двох нескінченно малих функцій дорівнює границі відношення їх значень , якщо остання границя існує.

Границя відношення двох нескінченно малих або двох нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання границя існує.

Границя відношення двох нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їх значень, якщо остання границя існує.

Границя відношення двох функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання границя існує.

Якщо функція f(x)1) неперервна на відрізку [a;b],

2) має рівні значення f(a)=f(b) на кінцях цього відрізка,

3) диференційовна в усіх точках інтервалу (a;b),

то в цьому інтервалі існує принаймні одна точка x=ξ, ξ∊(a;b),

в якій похідна функції дорівнює нулю.

Якщо функція f(x)1) неперервна на відрізку [a;b],

2) диференційовна в усіх точках інтервалу (a;b),

то в цьому інтервалі існує принаймні одна точка x=c, c∊(a;b),

що має місце рівність:(f(b)- f(a))/(b-a)=f´(c)

Для того, щоб диференційовна на проміжку  функція 

 не спадала (не зростала) на цьому проміжку, необхідно і достатньо, щоб її похідна в усіх точках цього проміжку була невід’ємна (недодатна)

Якщо функція f(x) визначена в деякому околі точки x₀,досягає в цій точці екстремуму і має скінчену похідну,

то вона дорівнює нулю, тобто f´(x₀)=0

Теорема Ферма

Теорема Коші

Теорема Лагранжа

Теорема Ролля

2; 1; 0

-2; 1; 0

2; -1; 0

-2;- 1; 0

f(x)>f(x₀)

f(x)≤f(x₀)

f(x)<f(x₀)

f(x)≥f(x₀)

х₁,х₂,х₇,х₈

х₃,х₄

х₄,х₅,х₉

визначити неможливо

1/12

-0,8

1

0

достатня умова екстремуму

достатня умова існування критичної точки

необхідна умова екстремуму

необхідна умова існування критичної точки

точки , в яких перша похідна або дорівнює нулю, або нескінченна,або не існує

внутрішні точки області визначення функції, в яких перша похідна або дорівнює нулю, або нескінченна,або не існує

точки, в яких перша похідна дорівнює нулю

внутрішні точки області визначення функції, в яких перша похідна дорівнює нулю