Тотожні перетворення раціональних виразів

Тема. Тотожні перетворення раціональних виразів

Мета: закріпити знання учнів про загальну схему дій під час пере­творення раціонального виразу на раціональний дріб; доповнити знан­ня учнів деякими спеціальними видами перетворень раціональних ви­разів (способи перетворення відношення двох дробових виразів, способи перетворення раціональних виразів із застосуванням власти­востей арифметичних дій); удосконалювати вміння учнів виконувати тотожні перетворення раціональних виразів за загальною схемою та із застосуванням спеціальних способів перетворень.

Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Тотожні перетворення раціональних виразів».

Хід уроку

I. Організаційний стан

II. Перевірка домашнього завдання

Щоб зекономити час на уроці, вчитель може запропонувати учням роздавальний матеріал — розв'язання домашніх вправ на перетворення раціональних виразів із повним розв'язанням — самостійно опрацюва­ти, у класі перевіряється правильність виконання запропонованих за­вдань; роботи учнів, що не мають помилок, можна оцінити.

Більш ретельно можна перевірити виконання завдання на повто­рення (включивши вправи на повторення до усних вправ (див. ни­жче)).

III. Формулювання мети і завдань уроку

З метою більш глибокого усвідомлення учнями необхідності ви­вчення питання уроку (вивчення деяких прийомів «швидкого» пере­творення раціональних виразів) можна вкотре звернутись до ана­логічних прийомів перетворень числових виразів, вивчених у 6 класі. Для цього пропонуємо учням виконати завдання 1.

Завдання 1

Обчисліть значення виразу найбільш раціональним способом:

а) ; б) ; в) ; г) .

Після обговорення виконуємо дії та знову акцентуємо увагу учнів на тих властивостях, застосування яких дозволило суттєво спростити обчислення; після чого пропонуємо учням завдання 2.

Завдання 2

Спростіть раціональні вирази (подібні за формою до розв'язаних числових виразів).

а) ;  б) ; в) ; г) .

Під час обговорення формулюємо питання: «Чи можна використову­вати під час перетворення раціональних виразів властивості дій над чис­лами та властивості самих раціональних виразів, щоб спростити процеду­ру перетворення раціонального виразу на раціональний дріб?»

Зрозуміло, що пошук відповіді на поставлене питання і є основною дидактичною метою уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 Як і на попередньому уроці, з метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу уроку слід активізувати такі знання і вміння учнів: правила виконання арифметичних дій із раціональними числами та порядок виконання дій у числових виразах, то містять дії різного ступеня; тотожні перетворення цілих виразів; перетворення суми, різниці, добутку і частки двох раціональних дробів на раціональний дріб; знаходження найменшого спільного знаменника для кількох раціональних дробів, а також застосування розподільної властивості множен­ня відносно додавання для спрощення обчислень (значень числових виразів).

Виконання усних вправ

1.   Розкажіть про порядок виконання перетворень виразу

або запишіть цей порядок, якщо взяти в дужки вирази: ; ; . Чому?

2.   Яке число (вираз) слід поставити замість *, щоб утворена рівність
   була тотожністю?

а) ; б) ; в) ; г) .

3.   Знайдіть спільний знаменник для дробів:
   і  ;  , і ;  , і  ;  і ; 1 і  .

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Застосування розподільної властивості множення для перетворень раціональних виразів.
2.   Застосування основної властивості дробу для перетворень раціо­нальних виразів.
3.   Застосування для перетворення раціональних виразів алгоритмів перетворень цілих виразів (формул скороченого множення, роз­кладання на множники тощо).

 Навчальний матеріал цього уроку, як і будь-який інший ма­теріал, пов'язаний із раціоналізацією перетворень, передбачає вільне оволодіння учнями змістом навчального матеріалу попе­редніх уроків і наявності достатнього та високого рівнів умінь учнів щодо застосування цих знань на практиці. Тому, перш ніж переходити до вивчення раціональних способів перетво­рення раціональних виразів, учитель має переконатися, що учні готові сприймати цей матеріал (в іншому випадку він пе­реноситься на наступний урок або дається фрагментарно і ово­лодіння ним не вимагаємо від усіх учнів).

Якщо учні готові до сприйняття цього навчального матеріалу, тоді прийоми «швидких перетворень» краще за все вивчати на конкретних прикладах, супроводжуючи їх коментарем. Особливу увагу слід при­ділити перетворенню так званих «чотириповерхових дробів» (тобто від­ношень двох дробових виразів) та їх особливих випадків, бо, як відомо з досвіду роботи, ці перетворення є найскладнішими для розуміння учнями. Тому дуже важливо перед початком роботи з вивчення перетво­рень такого виду виконати відповідні вправи на повторення (знайти спільний знаменник для дробів та виконати множення раціонального дробу на цілий вираз), що й відбувається під час виконання усних вправ.

VI. Засвоєння вмінь

Виконання усних вправ

1.   Прокоментуйте правильність виконаних дій у виразах:

а) ;

б) .

Виконання письмових вправ

Для реалізації дидактичної мети на цьому уроці слід розв'язати за­вдання такого змісту.

1. Спрощення раціональних виразів із використанням, де це можли­во, розподільної властивості множення відносно додавання (від­німання).

1) Спростіть вираз:

а) ; б).

2) Спростіть вираз:

а) ; б) .

2. Спрощення виразів із використанням (якщо це доцільно) формул
   скороченого множення або інших способів розкладання многочленів на множники.

1) Подайте у вигляді многочлена чи раціонального дробу:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; є) .

3. Спрощення виразів, що мають вигляд відношення двох дробових
   виразів, із використанням основної властивості дробу.

1) Спростіть вираз: а) ; б) .

2) Спростіть вираз: а) ; б) ; в) ; г) .

3) Виконайте підстановку та спростіть здобутий вираз:

а) , якщо ; б) , якщо .

4. Знаходження ОДЗ виразу (або, навпаки, значень змінних, при яких
   дріб не має змісту); знаходження, значень змінних, при яких вираз
   дорівнює нулю.

1) При яких значеннях змінної не мас змісту вираз:

а) ; б) ; в) ; г) ?

5. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.

1) Спростіть вираз:

а) ; б) .

2) Доведіть тотожність: .

3) Доведіть тотожність Л. Ейлера: .

4) Яке число пропущено?

 Формуванню сталих навичок перетворень раціональних виразів із використанням властивостей арифметичних дій та властивостей раціональних дробів сприяє виконання достатньої кількості різних за змістом вправ. Але, крім цього, слід приділити увагу й розгляду питань на повторення (особливо це стосується матері­алу про ОДЗ раціонального виразу та умови, що дріб дорівнює нулю, — цей матеріал необхідно повторити з метою успішного сприйняття питання розділу — «Раціональні рівняння»).

VII. Підсумки уроку

В якому з випадків правильно виконано дію з раціональними дробами?

а) ; б) ;

в) .

VIII. Домашнє завдання

1. Засвоїти зміст вивчених способів перетворень раціональних ви­разів.
2. Розв'язати вправи на застосування цих способів.
3. На повторення: вправи на знаходження ОДЗ виразу та використан­ня умови, що дріб дорівнює нулю, завдання, що передбачають роз­в'язування лінійних рівнянь.