Тригонометричні рівняння з параметрами

Тригонометричні рівняння з параметром. Алгебра 10 клас

Тригонометричне рівняння з параметром. Тригонометричне рівняння з параметром - це такий тип рівнянь, коли невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій, а в лівій, або правій, або в обох частинах якого є параметр, або параметри. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння sinx = a; cosx = a; tgx = a; ctgx = a. Розв'язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення a тригонометричної функції. Якщо рівняння не э найпростішим, то його треба звести до найпростішого.

Для успішного вирішення тригонометричного рівняння з параметром, слід пам'ятати наступне:1) Всі тригонометричні формули (основні тригонометричні формули, формули подвійних кутів, формули зниження степеню, формули перетворення добуту в суму, формули перетворення суми в добуток, універсальні тригонометричні підстановки тощо);2) Періоди тригонометричних функцій (у функцій sin x, cos x період 2 П, у tg x, ctg x період П;3) Обмеженість функцій (cos x, sin x за модулем одиницею);4) Формули зведення;5) Метод заміни змінної;6) Метод введення допоміжного кута;7) Метод вирішення однорідних тригонометричних рівнянь (поділити обидві частини рівняння на старший аргумент, який не дорівнює нулю).

Приклади

1. За якого найменшого значення параметра a рівняння 2cos(4x)=a-5 має корені?Розв'язання: Рівняння з параметрами одні з найважчих, і це стосується не тільки курсу тригонометрії. Тому їх слід розписувати уважно та враховувати всі можливі обмеження. Запишемо р-ня 2cos(4x)=a-5 у вигляді cos(4x)=(a-5)/2. Згідно з обмеженнями на область допустимих значень функції косинус, задане тригонометричне рівняння матиме корені, якщо параметр лежатиме в інтервалі Отже, при a[min]=3 рівняння 2cos(4x)=a-5 має корені. Відповідь: при a[min]=3 рівняння 2cos(4x)=a-5 має корені

2.  Знайти всі значення параметра a, за яких рівняння (a+2)sin(x)=a^2-4 має корені. Розв'язання: Розпишемо праву частину рівняння з параметром за формулою різниці квадратів. Очевидно, що при a=-2 рівняння матиме безліч коренів, оскільки маємо тотожність 0=0. Розглянемо випадок: sin(x)=a-2. З обмежень на область допустимих значень функції синус виписуємо умову, що параметр повинен знаходитися в межах -1≤a-2≤1. Спрощуємо систему нерівностей: Отримали, що при тригонометричне рівняння (a+2)sin(x)=a^2-4 має корені. Відповідь:при тригонометричне рівняння (a+2)sin(x)=a^2-4 має корені.

3. За яких значень параметра a рівняння sin4x+cos4x=a має розв'язки? У відповідь записати суму найбільшого та найменшого значень a. Розв'язання: Маємо тригонометричне рівняння четвертого порядку з параметром. Щоб понизити степінь в кожному з доданків квадрат синуса та косинуса замінимо, використавши основну тригонометричну тотожність. Далі ще кілька спрощень і прийдемо до синуса подвійного кута в лівій частині від знаку рівності та кореня квадратного від параметричної функції в правій частині:

Добре запам'ятайте наведену тут схему пониження степенів, вона повторюється в багатьох завданнях і достатньо проста в реалізації. Враховуючи область допустимих значень функції sin(2x), отримаємо систему нерівностей. Беручи до уваги, що підкоренева функція не може бути від'ємною, дану систему замінюємо еквівалентною з трьох нерівностей та розв'язуємо їїВ підсумку маємо, що при значеннях параметра з проміжку a∈[0,5;1] рівняння sin4x+cos4x=a має розв'язки.a[min]=0,5 - найменше значення, a[max]=1 - найбільше значення. Знаходимо суму крайніх значень проміжку. Відповідь: 1,5.

4

Домашнє завдання: Більше інформації можна знайти за посиланням https://yukhym.com/uk/tryhonometriia/tryhonometrychni-rivniannia-z-parametrom.html. Опрацювати конспект, розв’язати рівняння:при яких значеннях а рівняння tg2 x + tg x +а =0 має корені. Знайти ці корені. Перегляньте відеоурок https://www.youtube.com/watch?v=zvb8 Pkl. BDw. M&ab_channel=%D0%9 C%D0%90%D0%A2%D0%95%D0%9 C%D0%90%D0%A2%D0%98%D0%A7%D0%9 A%D0%90