Урок 3. Ознаки подільності на 4, 7, 8, 11, 13.

ОЗНАКА ПОДІЛЬНОСТІ НА 4,7,8,11,13 :

• Ознака подільності на 4: Натуральне число ділиться на 4, якщо його дві останні цифри – нулі, або складають число, що ділиться на 4.

Наприклад: Число 200 ділиться на 4, оскільки останні дві цифри — 0. Число 12516 ділиться на 4, бо 16 ділиться на 4.

• Двозначне число ділиться на 4 тоді , коли подвоєне число десятків плюс число одиниць ділиться на 4.

Наприклад: Число 76 ділиться на 4, оскільки 7∙2 + 6 = 20 , а число 20 ділиться на 4.

Число 53 не ділиться на 4, бо 5∙2 + 3 = 13 ,а число 13 не ділиться на 4.

Приклад 1. Серед даних чисел назвати ті, які діляться націло на  4 :  45; 124; 2308; 312; 5452; 98; 125; 720; 1181.

Розв’язок

124 (бо 24:4=6) , 2308 (бо 08:4=2) , 312 (бо 12:4=3) , 5452 (бо 52:4=13) , 720 (бо 20:4=5)

Приклад 2. Замість зірочки поставити таку цифру, щоб число ділилося на 4: 652* ; 126*; 43*.

Розв’язок

652* : 6520, 6524, 6528

126* : 1260, 1264, 1268

43* : 432, 436

Приклад 3. Четверо друзів Артем, Остап, Олег та Олена зібрали в лісі жолуді та вирішили поділити їх порівну. Чи вдасться їм це зробити, якщо Остап зібрав 258 шт., Артем — у 2 рази більше, а Олег та Олена — на 132 шт. менше, ніж Артем? Дізнайтесь також, скільки всього жолудів вони зібрали?

Розв’язок

Остап зібрав 258 жолудів

Артем зібрав 2▪258=516 жолудів

Олег та Олена зібрали по 516 – 132 = 384 жолудя

Разом — 258+516+384+384 = 1542

1542 не ділиться на 4 , бо 42 не ділиться націло на 4. Тому дітям не вдасться поділити зібрані жолуді порівну.

• Натуральне число ділиться на 7, якщо потроєна кількість десятків, додана до кількості одиниць ділиться на 7.

Наприклад: 154 перевіряємо таким чисном: 15*3+4=49, 49 ділиться на 7, отже и 154 буде кратне 7.  Перевіримо число 112 за ознаками подільності 3*11+2=35; 35 ділиться на 7. Правило виконується, отже 112 ділиться на 7.

• Якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр та числа з двох останніх цифр ділиться на 7.

Наприклад: 168 ділиться на 7, оскільки 2*1+68=70; 70 ділиться націло на 7

• Задане число ділиться на число 8, якщо три його останні цифри — нулі або число утворене його трьома останніми цифрами ділиться на 8.

Наприклад: 3654168 ділиться на 8, оскільки 168 ділиться націло на 8.

• За цим правилом Ви не перевірите чисел до 1000, однак до них можна тричі застосувати ознаки подільності на 2.

Наприклад:  для числа 864 розклад на прості множники буде наступним 864/2=432; 432/2=216; 216/2=108. Отже 864 ділиться на 2*2*2=8.

Приклад 1. Чи є число 8 дільником 888124?

Розв’язок

Тут багато хто побачив спереду 8 і думає, що ділиться, але давайте перевіримо правило

124/8=62*2=31*2*2=31*4.

Бачимо, що на 4 число ще ділиться, а от на 8 без остачі ніяк.

Отже 888124 на 8 націло не ділиться.

• Натуральне число ділиться на 11, якщо на 11 ділиться сума чисел, що утворена парами цифр запису числа, починаючи з одиниць.

Наприклад:  103785, складаємо суму: 10+37+85=132, 01+32=33, 33 ділиться на 11, отже й число 103785 ділиться на 11.

• Число ділиться на 11, якщо різниця суми цифр які займають парні місця та суми цифр які займають непарні, ділиться на 11.

Наприклад: 103785 ділиться на 11, бо (1+3+8) – (0+7+5) = 12 – 12 = 0, а 0 ділиться на 7.

Приклад 1 :. Чи ділиться число 784454 націло на 11.

 Розв’язок

 Оскільки сума пар цифр числа 784454,  78 + 44 + 54 = 176, 01+76 = 77, 77 ділиться націло на 11, тому і саме число ділиться на 11.

• Натуральне число ділиться на 13, якщо сума числа десятків з кількістю одиниць, помноженою на 4, ділиться на 13.

Наприклад:  число 845 містить 84 десятки й 5 одиниць, складаємо суму 84+5*4=104, далі: 10+4*4=26 – ділиться на 13, отже й число 845 ділиться на 13.

Приклад 1: Запишіть числа 284, 364, 451, 702, 911, 897 до першого стовпчика ті, що діляться на 13, а до другого ті, що не діляться на 13

Розв’язок

Для цього знскористаємось ознакою подільності на 13:

  284:      28 + 4∙4 = 44 ,                    364:    36 + 4∙4 = 52

  451:      45 + 1∙4= 49                       702:    70 + 2∙4 = 78

  911:    91+ 1∙9 = 100                       897:    89 + 7∙4 = 117 , 11 + 7∙4 = 39

Отже, 284          364

            451          702

            911          897

Приклад 2. Чи ділиться число 554 націло на 13.

Розв’язання :

Оскільки сума пар цифр числа 554,  55 + 4∙4 = 71, 71 не ділиться націло на 13, тому і саме число ділиться на 13.