Урок 2. Ознаки подільності на 9 і на 3.

Ознаки подільності на 9 і на 3

 

Ознака подільності на 9:

Якщо сума цифр числа ділиться націло на 9, то й саме число ділиться націло на 9.
Якщо сума цифр числа не ділиться націло на 9, то й саме число не ділиться націло на 9.

Ознака подільності на 3:

Якщо сума цифр числа ділиться націло на 3, то й саме число ділиться націло на 3.
Якщо сума цифр числа не ділиться націло на 3, то й саме число не ділиться націло на 3.

 

• Якщо сума цифр числа ділиться націло на 9, то й саме число ділиться націло на 9:

 

Наприклад:  Число 1476 ділиться на 9, оскільки 1+4+7+6= 18, а число 18 ділиться на 9.

Число 1239 не ділиться на 9, оскільки 1 + 2 + 3+ 9=15,а число 15 не ділиться на 9.

Розглянемо приклади.

 

Приклад 1: Запишемо ці числа 288, 361, 441, 814, 917, 8919 до першого стовпчика ті, що діляться на 9, а до другого ті, що не діляться на 9

Розв′язання

Для цього знайдемо суми цифр кожного із цих чисел і подивимось яка з них ділиться на 9:

  288:      2 + 8 + 8 = 18                    361:    3 + 6 + 1 = 10

  441:      4 + 4 + 1= 9                       814:    8 + 1 +4 = 13

  8919:    8 + 9 + 1 + 9 = 27             917:    9 + 1 + 7 = 17

Отже, 288          361

           441          814

           8919        917

Приклад 2: Знайдіть усі значення у, що кратні числу 9 і при яких буде правильною нерівність 90 < у < 126.

Розв’язання

 90 < у < 128,

На 9 діляться 99, 108, 117, 126.

 99: 9 + 9 = 18,

108: 1 + 0 + 8 = 9,

117: 1 + 1 + 7 = 9,

126: 1 + 2 + 6 = 9.

Отже, у = 99, 108, 117, 126.

Відповідь: у = 99, 108, 117, 126.

Приклад 3: Знайдіть усі трицифрові числа, які містять цифри 5 і 1 та діляться на 9.

Розв’язання

Позначимо невідому цифру зірочкою. Сума і цифр шуканого числа дорівнює:

 5 + 1 + * = 6 + *.

 Ця сума має ділитися на 9, тому замість зірочки можна підставити тільки цифру 3. А далі з цифр 1, 3, 5 складаємо всі можливі трицифрові :

Числа: 135; 153; 315; 351; 513; 531.

Приклад 4:  Чи можна з даних цифр скласти чотирицифрове число, що не містить однакових цифр, яке ділиться на 9:

1) 3, 6, 7, 9;             2) 6, 5, 8, 8

Розв’язання

 Знайдемо суму цих чисел, якщо вона ділиться на 9, то можна скласти число, що ділиться на 9:

1) 3+6+7+9=25, не ділиться, значить неможна;

2) 6+5+8+8=27, ділиться, значить можна.

 

• Якщо сума цифр числа ділиться націло на 3, то й саме число ділиться націло на 3.

Розглянемо приклади.

 

Приклад 1: Чи ділиться число 7854 націло на 3.

 Розв’язання

 Оскільки сума цифр числа 7854,  7 + 8 + 5 + 4 = 24, ділиться націло на 3, то і саме число ділиться на 3.

Відповідь.  Число 7854 ділиться  націло на 3.

Приклад 2: Знайдіть усі значення у, що кратні числу 3 і при яких буде правильною нерівність 13 < у < 32.

Розв’язання

13 < у < 32,

На три діляться 15, 18, 21, 24, 27, 30.

Отже, у = 15, 18, 21, 24, 27, 30.

13 < 15 < 32,

13 < 18 < 32,

13 < 21 < 32,

13 < 24 < 32,

13 < 27 < 32,

 13 < 30 < 32.

Приклад 3: Яку цифру потрібно підставити замість зірочки, щоб отримати число, яке ділиться на 3:

1) 28*1; 2) 4*5; 3) 1111*

Розв’язання

1) 2+8+*+1=11+*

Сума має ділитись націло на 3, тому замість * можна поставити 1

2) 4+*+5=9+*

Сума має ділитись націло на 3, тому замість * можна поставити 0

3)1+1+1+1+*=4+*

Сума має ділитись націло 3, тому замість * можна поставити 2

Приклад 4:  Чи можна скласти трицифрове число, яке не містить однакових цифр і ділиться на 3, із цифр:

1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 5; 3) 1, 0, 8

Розв’язання

 Шукаємо суму цих цифер, якщо вона ділиться націло на 3, значить можна.

1) 1+2+3=6, ділиться націло на 3, значить можна

2) 2+3+5=10, не ділиться націло на 3, значить неможна

3) 1+0+8=9, ділиться націло на 3, значить можна