Урок " Арифметична прогресія"

Арифметична прогресія 1+2+3+4+5+ +6+7+8+9+ + 10+11+12+ Підготувала вчителька математики Вигодської загальноосвітньої школи І- ІІІст Червонюк О. В. + 13+14+15+16+17+18…

Мета : Сформулювати означення арифметичної прогресії, довести її властивості, записати формулу n –го члена, закріпити навички використання теорії на практиці. Розвивати логіку мислення і здібності, вміння вислов – лювати власну думку і аналізувати правильність висловлень однокласників, розвивати вміння систематизувати і узагальнювати. Виховувати самостійність, відповідальність, уважність, цілеспрямованість, культуру спілкування, повагу до себе і присутніх на уроці.

На уроці мисли. Думай читайпишинесумуйвсебудедобредопомагайдруговірадійуспіхам

Кроснамбер1 записати наступний член послідовності 2,4,8… 2 записати 8 – й член послідовності аn = 8n +6;3 кількість членів послідовності одноцифрових парних чисел; 4 записати 5- й член послідовності5 кількість членів послідовності цифр;6 кількість членів послідовності дільників числа 9;7 кількість членів послідовності одноцифрових непарних чисел;8 записати 6 –й член послідовності аn= 3²n - 4 .{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}n123456аn2420161284

{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}85234716

Поміркуй !Задача з єгипетського папірусу Ахмеса.«Нехай тобі сказали : розділи десять мір ячменю між 10 чоловіками так, щоб різниця між кожним чоловіком і його сусідом становила 1/8 міри ячменю».

Арифметична прогресія- послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне і те саме число.а1; а2; а3; а4; а5; а6;… - арифметична прогресія. d – різниця арифметичної прогресії (d – початкова буква латинського слова «differentia» – різниця).

Історичні відомості Слово «прогресія» походить від латинського слова «progression» і означає «рух вперед» (як і слово «прогрес»). Уперше цей термін як математичний вживається у працях римського вченого Боеція ( ˅ - ˅І ст.). Прогресії як часткові види числових послідовностей, трапляються в папірусах ІІ тисячоліття до н.е.

Знайдемо d : d = а2 –а1; d = аn+1 – аn. Послідовність 1;3;5;7;9;11;13;15;17;… - арифметична прогресія d = а2 –а1, d= 3-1 =2. d=( аm - аn ) : (m –n), де аm і аn – члени арифметичної прогресії, а m і n – порядкові номери членів прогресії d= ( а7 –а6 ):( 7-6), d= (13-11):(7 –6) = 2

Знайди! Нехай (аn) - арифметична прогресія перший член якої а1 = -3, а різниця d= 4. Знайти 20 – й член прогресії. Якщо (аn) – арифметична прогресія, тоаn + 1 = аn + d – рекурентна формула арифметичної прогресії. Тоді а2 = -3 + 4 = 1; а3 = 1+ 4 = 5; а4 = 5 + 4 =9; а5 = 9+ 4 = 13; а6 = 13+ 4 = 17;… Клопітка праця!!!

Доведи!За означенням арифметичної прогресії маємо: а2 =а1 +d; а3 = а2 + d = (а1 + d) +d = а1 +2d; а4 = а3 + d = (а1 +2d) +d = а1 +3d; а5 = а4 + d = (а1 +3d) +d = а1 +4d;… аn = а1 + ( n-1)d – формула n-го члена арифметичної прогресії

Закономірно. Якщо різниця арифметичної прогресії – додатне число, то прогресія називається зростаючою. d>0 6;12;18;24;30;… d=4 Якщо різниця арифметичної прогресії- від'ємне число, то прогресія називається спадною. d<0 9; 7; 5;3;1;-1; -3;… d=-2 Якщо різниця арифметичної прогресії дорівнює нулю, то всі її члени рівні між собою і прогресія являється постійною послідовністю d=0 12;12;12;12;… d =0

Цікаво знати !an = am –( m – n)d, де аm –член з номером m. Наприклад : (an) – арифметична прогресія з різницею d=2. 1;3;5;7;9;11;13;15;17;19;21;23;…знайдемо а9, якщо а4 =7. а9 = 7 – ( 4 – 9)·2 = 17. аn = ( аn-1 + а n+1):2, n ≥ 2.знайдемо а11, а11 = ( а10 + а12):2, а11 = ( 19 + 23):2 = 42:2 = 21.

Для допитливих. Сума будь – яких двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів прогресії. Наприклад : (аn) –алгебраїчна прогресія з d =3 1;4;7;10;13;16;19;22;25;... 4+22= 26, 7+19 = 26 і 1+25 = 26, тобто а2 + а8 = а1 + а9, а3 + а7= а1 + а9.

Встановлено!Арифметична прогресія другого порядку це така послідовність чисел, що послідовність їх різниці сама стає простою арифметичною прогресією. Наприклад : квадрат натуральних чисел 0;1;4;9;16;25;…різниця яких алгебраїчна прогресія: 1-0 =1 4-1 =3 9-4 =5 16-9=71;3;5;7… - алгебраїчна прогресія з d=2.

Прогресії в літературіЯмб - це віршований розмір з наголосом на парних складах 2;4;6;8;…Номери наголошених складів складають арифметичну прогресію з а1= 2 і d=2. Хорей -це віршований розмір з наголосом на непарних складах вірша 1;3;5; 7;... Номери наголошених складів складають арифметичну прогресію з а1= 1 і d=2.

Обчисли усно. Вправи 709 – 712 з підручника за редакцією В. Кравчука, М. Підручної і Г. Янченко

Виконай Вправа 718 а) 1,4; 1,7; 2;… d=1,7 –1,4= 0,3. а4 =а1 +3d, а4 = 1,4+3·0,3= = 1,4+0,9= 2,3. Відповідь: 0,3; 2,3б) -30; -28; -26;… d = -28 –(-30)= -28+30=2, а4 = -30 + 3·2= -30+6= -24. Відповідь : 2; -24. Вправа 720 а) а1=11,d=5, а9-? аn =а1+(n-1)d, а9=11+(9-1)·5 = 51. Відповідь : 51б) а1=-3, d=-4, а11-? а11=-3 + (11-1)·(-4)= -3-40=-43. Відповідь: -43

Вправа 724а) d =5, а6=51. а1-? аn =а1+( n -1)d, а1= аn – (n -1)d, а1 = а6 – (6 -1)d, а1 = 51-5·5 = 51-25= 26. Відповідь: 26 .б) d =0,2, а11 =-2. а1-? а1 = а11 –(11 -1)d, а1 = -2-10·5= -2 -50 = -52. Вправа 726а) d= -5, а1 =3, аn= -37, n-? аn =а1+( n -1)d, аn = а1+nd-d, nd = аn- а1+d, n = (аn- - а1+d): d; n= ( -37-3 -5 ): (-5) = 45:5=9. Відповідь: 9.

Виконай дома. Вивчити параграф 3 пункт 17. Виконати вправи 721, 723, 725, 727. Підготувати проект «Арифметична прогресія»,«Історія арифметичної прогресії», «Арифметична прогресія в різних галузях»

Підсумуй!!!Чи було цікаво? Що нового дізнався? Чи все зрозуміло? Умів пояснити другові? Не скучав? Чи був ображений? Чи виникали труднощі?