Урок "Арифметична прогресія , її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії"

Арифметична прогресія та її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії.

Тема. Арифметична прогресія та її властивості. Формула п-го члена арифметичної прогресії.

Мета уроку: сприяти засвоєнню учнями поняття арифметичної прогресії, різниці, властивостей, формули п-го члена арифметичної прогресії, закріпити вміння знаходити арифметичну прогресію серед числових послідовностей,  різницю та члени арифметичної прогресії, використовувати рекурентну формулу та формулу п-го члена, властивості арифметичної прогресії.

Формування ключових компетентностей:

спілкування державною мовою-формувати вміння доречно та коректно вживати в мовленні математичну термінологію;

уміння вчитися впродовж життя — усвідомлювати власні освітні потреби та цінність нових знань і вмінь;

соціальна та громадянська компетентності — аргументувати та відстоювати свою позицію;

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: підручник, картка самооцінювання, картка рефлексії, комп’ютерна презентація.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Вчитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх працювати.

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Домашнім завданням було переглянути і опрацювати відео за посиланням https://www.youtube.com/watch?v=iFsb-Xogyf0 або створену вчителем презентацію. Продумати і записати запитання, які можуть виникнути після перегляду цього контенту.

Для з'ясування рівня засвоєння учнями змісту і понять домашнього завдання вчитель пропонує їм виконати тести на платформі «Мій клас» з перевіркою і корекцією, обговоренням результатів їх виконання, що дозволить повторити зміст основних понять домашнього завдання.

Завдання тесту:

1. Дано члени арифметичної прогресії a18 = 8,2 і a19 = 12,27.

Обчисли різницю прогресії d.

2. Наступний член арифметичної прогресії 28;23;... .
3. Знайди перші чотири члени і 10-й член арифметичної прогресії (an), якщо загальна формула an = 5n− 3.
4. Обчисли 5-й член арифметичної прогресії, якщо відомо, що a1 = −5,6 і

d = 2,4

5. Дано арифметичну прогресію: 0;−3;.... Обчисли різницю прогресії і третій член прогресії.
6. Сума потроєного другого і четвертого членів арифметичної прогресії дорівнює 50. Визнач, при якому значенні різниці прогресії добуток третього і п'ятого членів прогресії буде найменший.Конец формы
7. Дві менші сторони прямокутної трапеції рівні. Три різні сторони трапеції утворюють арифметичну прогресію. Периметр трапеції дорівнює  18 см. Яка із сторін трапеції є найбільшою? Знайдіть усі сторони трапеції.

Методичний коментар

 Функція інтернет-ресурсу «Мій клас» дозволяє вчителю бачити  у процесі розв’язування учнями завдань  правильність їх виконання  у кожного школяра і відсоток правильно виконаного кожного завдання. Це дає змогу  відразу виявити, чого учні вдома не засвоїли  і провести обговорення незрозумілих питань. Свої помилки бачать і учні. Учитель відповідає на запитання, які в учнів виникли під час опрацювання домашнього завдання або створює дискусійне коло між усіма учасниками. Можливі помилки при виконанні тестових завдань  повинні переконати учнів у необхідності подальшого опрацювання матеріалу попереднього та інших уроків з метою закріплення знань та вироблення стійких умінь використовувати ці знання як у стандартних, так і нестандартних ситуаціях. Це твердження виражає основну мету уроку.

ІІІ   Мотивація навчальної діяльності учнів

На цьому етапі уроку вчителю слід навести якнайбільше числових послідовностей, з якими людина може зустрічатися в повсякденному житті, а також при вивчення предметів у школі. Таким чином, готуємо школярів до сприйняття думки про те, що  математика  вивчає не тільки вирази, рівняння, нерівності тощо, а й результати спостережень за реальними фізичними, хімічними процесами, кліматичними явищами, які виражаються математично і з якими ознайомимся сьогодні на уроці.

IV. Робота в класі

Методичний коментар

Зміст роботи на уроці і письмових вправ  залежить від рівня засвоєння знань учнями вдома і випливає з результату виконаних тестів у “Мій клас”.

Можуть бути завдан­ня такого змісту:

1. серед запропонованих послідовностей вибрати арифметичні прогресії;
2. за рекурентною формулою знайти кілька перших членів ариф­метичної прогресії;
3. вправи на використання властивостей арифметичної прогресії;
4. завдання на пряме застосування формули n-го члена арифметичної прогресії, у якої заданий перший член і різниця або яка задана переліком перших кількох своїх членів;
5. знайти номер деякого члена арифметичної прогресії або перевірити, чи є дане число членом арифметичної прогресії;
6. прикладні завдання застосування визначення арифметичної прогресії і формулу її n-го члена.

Крім закріплення термінології та фор­мул, що виражають властивості, проводиться відпрацювання та­ких ключових моментів: як перевірити, чи є задана послідовність арифметичною прогресією (за означенням, або за характеристич­ною властивістю, або за теоремою, залежно від умови); як знайти різницю арифметичної прогресії (від будь-якого члена, починаючи з другого, відняти попередній до нього член); як знайти член, на­ступний за даним членом арифметичної прогресії (знайти різницю арифметичної прогресії й додати її до даного члена).

Ця робота  може проводитися в парах, групах, по варіантах. Наприклад:

Варіант 1	Варіант 2
1) Знайдіть чотири перші члени арифметичної прогресії an, якщо
a1 = 7, d = 3	a1 = 12, d = -5
2) Запишіть наступні три члени арифметичної прогресії:
5,4; 4,8; 4,2;…	2,1; 2,5; 2,9;…
3) Знайдіть шостий член арифметичної прогресії an, якщо:
a1 = 4, d = -3	a5 = -9, d = 5

Якщо дозволяють успіхи учнів, то рівень складності завдань підвищується  на застосування властивостей арифметичної прогресії або відразу переходять до завдань на вироблення  умінь застосування формул при вирішенні  різних життєвих  ситуацій.

V. Розв’язування задач практичного змісту

Задача 1. Найдавнішою відомою задачею на використання прогресії вважається задача про поділ хліба з так званого папірусу Рінда. Звучить вона приблизно таким чином: 100 мір хліба потрібно розділити між пятьма чоловіками таким чином, щоб другий отримав на стільки ж більше ніж перший, на скільки третій отримав більше другого, четвертий більше третього і п'ятий більше четвертого. Крім того, двоє перших мають отримати в 7 разів меньше трьох інших. Скільки потрібно дати кожному?

Розв'язання

Кількість мір хліба, які одержали робітники, утворюють зростаючу арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює х, а різниця  d.

Перший працівник одержить х мір, другий – (х+d) мір, третій – (х+2d) мір, четвертий – (х+3d) мір, п’ятий – (х+4d) мір.

За умовою задачі:

Отже, робітникам треба дати мір хліба.

Відповідь..

Задача 2. Дідусь віком 76 років біг 10 хвилин. За 1 хв. він подолав 40 метрів, а кожну наступну хв. він біг на 3 метри менше за попередню. Скільки метрів подолав дідусь за 3 хвилину; за останню? 

Розв’язання:

a₁ = 40 , d = - 3

a_n = a₁ + d(n – 1)

a₃ = a₁ + 2d = 40 + 2· (-3) = 40 – 6 = 34 (м.)

a₁₀ = a₁ + 9d = 40 + 9· (-3) = 40 – 27 = 13 (м.)

Відповідь: 34 м; 13 м.

Задача 3. Кількість еритроцитів (з розрахунку на 1 мм³) в крові людини становить на рівні  моря – 5 мільйонів. Через кожні 600 м підняття вгору їх кількість збільшується на 1 мільйон. Яка кількість еритроцитів буде в крові людини, якщо вона підніметься на вершину гори висотою 4800 м.

Розв’язання:

a₁ = 5 , d = 1

n = 4800 : 600 = 8

a_n = a₁ + d(n – 1)

a₈ = 5 + 1(8 – 1) = 5 + 7 = 12 (млн)

Відповідь: 12 мільйонів.

Задача 4. За 1 тиждень робітники побудували 5 поверхів будинку, а за кожний наступний тиждень будували на 2 поверхи більше ніж за попередні. Скільки поверхів будинку побудували робітники за 6 тиждень; за 10 тиждень?

Розв’язання:

a₁ = 5, d = 2

a_n = a₁ + d(n – 1)

a₆ = 5 + 5·2= 5 + 10 = 15 (п)

a₁₀ = 5 + 9·2= 5 + 18 = 23 (п)

Відповідь: 15 поверхів; 23 поверхи.

Задача 5. Кубики складено рядами так, що у верхньому ряду 4 кубики, а в кожному ряду, що нижче – на одну й ту саму кількість кубиків більше , ніж у попередньому. Відомо, що в 6 ряду 14 кубиків. Скільки кубиків у 3 ряду?

Розв’язання:

a₁ = 4, a₆ = 14, a_{3 - ?}

a_n = a₁ + d(n – 1)

a₆ = a₁ + 5d

4 + 5d =14

5d =10

d = 2

a₃ = 4 + 2(3 – 1) = 4 + 4 = 8 (к)

Відповідь: 8 кубиків.

Задача 6. Курс повітряних ванн починають із 15 хв. у перший день і збільшують час цієї процедури в кожний наступний день на 10 хвилин. Скільки днів слід приймати ванни в зазначеному режимі, щоб досягти їхньої максимальної тривалості 1 година 45 хвилин? 

 Розв'язання

а₁=15 хв,  d = 10 хв.,  a_n=105 хв., n-?

Відповідь: 10 днів слід приймати ванни. 

Задача 7. У період інтенсивного зростання людина росте в середньому на 5 см у рік. Зараз ріст Олексія – 130 см. Якого росту він буде в 2026 році?

Розв’язання:

Відповідь:165 см

Задача 8. Олег, Петро, Сергій та Андрій ловили рибу. Кількість рибин, які вони впіймали, утворюють арифметичну прогресію. Найменше рибин – 9 – упіймав Петро, а найбільше – 18 – Олег. Скільки рибин упіймали Сергій та Андрій разом? Скільки всього рибин упіймали хлопці?

Розв'язання:

В арифметичній прогресії Тому Сергій та Андрій разом зловили 9+18=27 рибин. Хлопці зловили 54 рибини.

Відповідь:54 рибини

Задача 9.Раніше поширені скрізь косулі збереглися лише місцями. Їх поголів’я, яке складало більше мільйона особин різко скоротилося: у 1990 році і залишилося трохи більше 15000. Проте завдяки захисним заходам, прийнятим відносно цього виду, в 2005 році їх чисельність досягла 60010 особин. Скільки особин поповнювало ряди косуль в середньому щороку?

Розв'язання:

Відповідь: 3215 косуль

VI. Підсумок уроку

1. Який вигляд має формула п-го члена арифметичної прогресії, якщо вона має: 1) bn членів; 2) хn членів.

2. Від чого залежить, що арифметична прогресія зростає, спадає, є сталою?

3.Про що говорить характеристична властивість арифметичної прогресії?

4.Чому дорівнює сума двох членів скінченної арифметичної прогресії , рівновіддалених від її кінців?

VII. Рефлексія

 Самооцінювання

VIII . Домашнє завдання

Опрацювати §16 підручника, відповісти на запитання  (Алгебра: підруч. для 9-го кл. загальноосвіт. навч. закл./ О.С. Істер. – Київ: Генеза, 2017. – 264 с.) Опрацювати відео, поставити запитання https://www.youtube.com /watch? v=w2lx95ZtRzE

Творче завдання: зобразити графік арифметичної прогресії.