Урок "Числові множини. Ірраціональні та дійсні числа"

Про матеріал

Мета: Формувати поняття про ірраціональне число, дійсне число; розвивати в учнів уявлення про розширення поняття числа, ерудицію, інтелект учнів; виховувати стійкий інтерес до вивчення математики.

Тип уроку: комбінований

Перегляд файлу

Балинська ЗОШ І-ІІІ ступенів

Конспект уроку на тему:

Числові множини. Ірраціональні та дійсні числа

Вчитель

Нізевич Альона Сергіївна

Тип уроку: комбінований

Обладнання та наочності: комп’ютер, проектор

Хід уроку

І. Організаційний етап:

Заходжу в клас, вітаюся, перевіряю присутність, готовність класу до уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання:

Чи є в когось запитання до домашнього завдання? Якщо є запитання, то відповідаю на них, якщо ж ні, то учні відкривають зошити, записують число, класна робота, тему уроку: «Ірраціональні числа. Дійсні числа». А в цей час я перевіряю наявність домашнього завдання проходячи між рядами.

ІІІ. Актуалізація опорних знань:

Фронтальне опитування:

Як називаються числа, які використовуються при лічбі? (натуральні)
Назвіть найменше і найбільше натуральне число. (найменше , найбільшого не існує)
Які з наведених чисел є натуральними: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ? (; ; ; ; )
Запишіть число у вигляді звичайного дробу. ()
Запишіть числа ; ; у вигляді десяткового дробу. (; ; )
Як називається десятковий дріб, який має вигляд ? (десятковий нескінченний періодичний дріб)
Як називаються числа, які можна подати у вигляді нескінченного десяткового дробу? (раціональні)

Виникає питання чи існують числа відмінні від раціональних? Відповідь на це питання є метою нашого уроку.

IV. Вивчення нового матеріалу:

Поняття числа з’явилося в стародавні часи. Воно є одним з найзагальніших понять математики. Необхідність виконувати вимірювання та підрахунки зумовила появу додатніх раціональних чисел. Саме тоді виникли і використовувалися натуральні числа і дробові числа, які розглядали як відношення натуральних чисел.

Наступним етапом розвитку поняття числа є введення у практику від’ємних чисел. У Стародавньому Китаї ці числа з’явилися у ІІ ст. до н.е. Там уміли додавати і віднімати від’ємні числа. Від’ємні числа тлумачили як борг, а додатні як майно. В Індії в VII ст. ці числа розуміли так само, але вже знали і правила множення та ділення.

Цілі числа (додатні, від’ємні та ), дробові числа (додатні та від’ємні) складають множину раціональних чисел. Рацональними називають тому, що кожне з них можна записвти у вигляді частки двох чисел, а слово «частка» латинською мовою – ratio.

Множину натуральних чисел позначають буквою , множину цілих чисел – буквою , множину раціональних чисел – буквою . Щоб записати, що певне число належить деякій множині, використовують знак належності - , наприклад . Якщо ж число не належить певній множині, це записують за допомогою знака , наприклад .

Ми вже знаємо, що будь-якого раціональне число можна записати у вигляді , де - ціле число, - натуральне число. Наприклад, ; ; . Кожне раціональне число можна подати також у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу. Для цього треба чисельник дробу поділити на його знаменник, наприклад ; ; . І кожний нескінченний десятковий періодичний дріб є записом деякого раціонального числа, наприклад ; ; .

Але в математиці існують числа, які не можна записати у вигляді , де - ціле число, а - натуральне.

Числа, які не можна записати у вигляді , де - ціле число, а - натуральне число, називаються ірраціональними числами.

Префікс ір означає заперечення, ірраціональні означає не раціональні. Прикладами ірраціональних чисел є ; ; ; тощо. Множина ірраціональних чисел позначається буквою .

Кожне ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченного десяткового неперіодичного дробу. Наближене значення ірраціонального числа можна знаходити з певною точністю за допомогою мікрокалькулятора або комп’ютера, наприклад ; ; ; .

Раціональні числа разом з ірраціональними числами утворюють множину дійсних чисел.

Дійсні числа входили в математику досить довго. Вчені античного світу не допускали і думки, що крім цілих і дробових можуть можуть існувати ще якісь інші числа. Хоч Піфагор (VI ст. до н.е.) та його учні довели, що коли довжина квадрата дорівнює одиниці, то довжину його діагоналей не можна виразити ніяким раціональним числом. Тим самим вони встановили існування відрізків, довжини яких не виражаються раціональними числами. Та все ж таки ірраціональних чисел не ввели. Математики Індії та Середнього Сходу користувалися ірраціональними числами, але вважали їх не справжніми, неправильними, глухими. Тільки коли Рене Декарт запропонував кожній точці координатної прямої ставити у відповідність число, ірраціональні числа довелося об’єднати з раціональними числами в одну множину дійсних чисел. Строга теорія дійсних чисел опрацьована тільки в XIX ст.

Множину дійсних чисел позначать буквою .

Оскільки кожне натуральне число є цілим числом, то множина натуральних чисел є частиною множини цілих чисел, тобто її підмножиною. Аналогічно множина є підмножиною множини , а множина є підмножиною множини , що ми можемо побачити на схемі (кодопозитив 1).

Дійсні числа, що записані за допомогою нескінченних десяткових неперіодичних дробів можна порівнювати за тими самими правилами, що й нескінченні десяткові дроби. Наприклад, , (бо ); , (бо ).

При додаванні, відніманні, множенні і діленні (на відмінне від нуля число), піднесенні до степеня дійсних чисел мають місце всі властивості, що й для дій над раціональними числами. Розв’язуючи прикладні задачі, дійсні числа, а саме ірраціональні числа, замінюють наближеними значеннями, округлюючи до певного розряду.

Наприклад, обчислити з точністю до тисячних

V. Закріплення нових знань і вмінь.

Фронтальне опитування (запитання для класу):

Які числа називають раціональними? (Раціональними називають числа, які можна подати у вигляді , де , )
Що означає слово «ratio»? («ratio» у перекладі з латинської мови означає «частка»)
Які числа називають ірраціональними? (Ірраціональними називають числа, які не можна подати у вигляді , де , )
Чи правда, що будь-яке ціле число є дійсним? (так)
Чи правда, що будь-яке ірраціональне число є дійсним? (так)
Чи правда, що будь-яке дійсне число є раціональним? (ні)

№ 217. Які з чисел ; ; ; ; ; раціональні; які – ірраціональні; які – дійсні?

Розв’язання. ,

№ 225. Подайте у вигляді звичайного дробу:

;
;
;

№ 227. Подайте у вигляді нескінченного десяткового дробу:

;
;
;

№ 229. Порівняйте числа:

№ 234. Обчисліть з точністю до тисячних:

;
;
;
;
;
;
;
;
.

VI. Підбиття підсумків уроку.

Запитання учням:

Чи кожне ціле число є раціональним? (так)
Чи є число ірраціональним? (ні, )
Чи завжди сума раціональних чисел є раціональним числом? (так)
Чи можна в результаті додавання ірраціональних чисел дістати раціональне число? (так, )
Чи завжди квадрат раціонального числа є числом раціональним? (так)
Чи є число - дійсним? (так)
Чи знаєте ви числа, які не є дійсними? (ні)