Урок-ділова гра “Дослідження та побудова графіка функції за допомогою похідної”

Тема відкритого уроку:    Дослідження функції та побудова її графіка за допомогою похідної

Мета уроку:       

навчальна:

 узагальнити та систематизувати знання про диференціальне числення та закріпити уміння і навички їх застосування для побудови графіків функцій; поглибити та розширити діапазон знань студентів з теми; довести, що похідна – засіб дослідження процесів дійсності і сучасного виробництва;

формувати навички та уміння практичного використання набутих теоретичних знань, вчити робити облік рівня знань своїх навчальних досягнень,

формувати зацікавленість у результатах спільної роботи;

розвивальна:

розвивати творчі здібності і логічне мислення студентів при розв’язуванні практичних задач; формувати організаційну, соціально-особистісну, інформаційну, життєтворчу компетентності;

виховна:

виховувати прагнення до знань, інтерес до математики, її історії; показати важливість математичних знань у повсякденному житті, виховувати почуття взаємодопомоги, взаємопідтримки.

Тип уроку: урок закріплення знань, умінь та навичок студентів.

Форма проведення: урок – ділова гра.

Засоби навчання: робочий зошит до уроку, вислови, картки, учительська презентація, програма MathCAD.

Обладнання: комп’ютер, проектор, екран, креслярські приладдя, смайлики.

Література:

1. Зайцев И. Л. Элементы высшей математики для техникумов, – М.: Наука, 1974. – 416 с.
2. Шкіль М. І., Слєпкань З. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 384 с.
3. Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М.  Алгебра і початки аналізу: підруч. для 10 кл. з поглиб. вивч. матем. в середніх закладах освіти. – К.: Освіта, 2004. – 318 с.
4. Титаренко О. М. Математика. 6611 задач: від найпростіших до олімпіадних: навч. посіб. – Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2011. – 480с.

           

Епіграф:   Математика – велична споруда,

створена уявленням людини для пізнання Всесвіту.

Ле Корбюзьє

Хід уроку   

1. Організаційний момент.

Доброго дня, шановні студенти та гості! Ми раді вітати Вас у нас на занятті.

Те, про що ми будемо говорити на сьогоднішньому уроці, уже відкрито. Але, можливо, ви, шановні гості, з нашою допомогою щось нове відкриєте сьогодні для себе.

 А ми у свою чергу прикладемо максимум зусиль, щоб наше заняття було цікавим та активним. Тож усім бажаю гарного настрою та приємного проведення часу у нашому товаристві.

А епіграфом нашого заняття стануть слова відомого французького архітектора, художника та дизайнера Ле Корбюзьє: Математика – велична споруда, створена уявленням людини для пізнання Всесвіту.

Тож вам, студенти, я бажаю активної співпраці і отримати від нашого заняття не тільки гарні результати, а й задоволення та цікаві враження.

2. Мотивація навчання

За допомогою задач ми будуємо своє успішне майбутнє, готуємось до обраного фаху, доводимо собі, що без математики неможлива успішна діяльність людини.

На попередніх уроках ви засвоїли одне із фундаментальних понять алгебри і початків аналізу – похідну. За допомогою похідної ми досліджували функції на монотонність, знаходили найбільше і найменше значення функції на відрізку, складали рівняння дотичної. І, мабуть, у вас виникало питання: «А навіщо?». І наш урок повинен стати відповіддю на це запитання.

 Спочатку ми разом помилуємося вашими глибокими знаннями.

Потім спробуємо дати відповідь на запитання: як дослідити та побудувати графік функції за допомогою похідної.

Потім потренуємо мозок - порозв'язуємо задачі,

І, нарешті, покладемо до скриньки пам'яті дещо цінне – наші нові знання.

Пропоную провести наше заняття не традиційно, а у вигляді ділової гри.

Швидко прийде той час, коли Ви закінчите навчання, здобудете обрану професію і влаштуєтесь на роботу. Тож сьогодні Ви спробуєте себе у ролі людей, які працюють в проектній організації у деякому відділі і відповідно виконують конкретні завдання, які перед вами ставить керівник, в якості якого буду виступати я!

Уявіть собі – це ваше робоче місце, на якому є необхідні матеріали для роботи, а саме: інструменти, робочі зашити, якими ви будете користуватися протягом заняття.

Наша організація складається з трьох відділів.

Відділ№1(математичних розрахунків), де працюють люди, що вміють думати та логічно мислити.

Відділ№2 (реклами та розвитку). Тут працюють творчі люди – люди, що думають нестандартно.

Відділ №3(проектна майстерня) – це креативні працівники – люди, які шукають нові шляхи, шляхи досконалого вирішення поставлених проблем.

Отже, сьогодні ми проводимо засідання нашого колективу в присутності багатьох гостей. В кінці зібрання наші гості визначать який відділ працював найактивніше, що додасть йому бонусні бали до заробітної плати (оцінок). Тому, працюємо активно та наполегливо!

3. Перевірка домашнього завдання

Перед нами стояли багато проблемних завдань.

Давайте подивимося як наші відділи справилися з ними.

Нагадаю, що кожен відділ готував запропоноване мною домашнє завдання.

А задачі першого відділу були такими:

1. Необхідно побудувати басейн відкритої форми з квадратним дном об’ємом 32 м³ із залізобетону. Визначити розміри такого басейну, щоб на облицювання його стін і дна було затрачено найменшу кількість матеріалів.
2. Вікно має форму прямокутника, що завершується півколом; периметр фігури вікна дорівнює 6м. Визначити які повинні бути розміри вікна, щоб воно пропускало максимум світла?

 

Завдання №1 формулює студент першого відділу (умова проектується на дошку).

Завдання №2 формулює інший студент 1-го відділу.

Прошу презентувати результати роботи вашого відділу. Усі розрахунки провести біля дошки.

Двоє студентів біля дошки готують розв’язання задач.

Вчитель. А поки наші колеги з 1 відділу готують математичні розрахунки, ми систематизуємо увесь матеріал, що був зібраний нами та опрацьований протягом останнього місяця.

У кожного із вас на  робочому місці є власні робочі зошити. 

Нами було зібрано багато відомостей про диференціальне числення. Тож, що ми вже знаємо?

4. Актуалізація опорних знань (фронтальне опитування).

Дайте відповідь на запитання:

1. Що називається функцією?

Залежність змінної у від змінної х називається функцією, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.

2. Як називаються змінні х та у?

x – незалежна змінна, аргумент;

y – залежна змінна, функція.

3. Що таке область визначення функції?

Множина значень, яких набуває незалежна змінна x.

4. Яка функція називається парною?

Функція називається парною, якщо виконується рівність y(-x)=y(x).

5. Що можна сказати про графік парної функції?

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

6. Яка функція називається непарною?

Функція називається непарною, якщо виконується рівність y(-x)=-y(x).

7.  Що можна сказати про графік непарної функції?

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

8. Як знайти точки перетину графіка функції з осями координат?

Для того, щоб знайти точку перетину графіка функції з віссю Oy, потрібно у вираз, що задає функцію, підставити значення x=0 і знайти відповідне значення у.

Для того, щоб знайти точки перетину графіка функції з віссю Ox, потрібно у вираз, що задає функцію, підставити значення y=0 та з одержаного рівняння знайти значення аргумента.

9. Яку функцію називають зростаючою?

Функцію називають зростаючою, якщо більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції.

10. Яку функцію називають спадною?

Функцію називають спадною, якщо більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції

11. Які точки називаються критичними для функції?

Значення аргумента, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називаються критичними.

12. Як знайти критичні точки?

Треба знайти похідну функції, прирівняти її до нуля і з одержаного рівняння знайти значення аргумента, які називають критичними.

13. Як встановити проміжки зростання (спадання)?

• Знайти область визначення функції.
• Знайти критичні точки функції.
• Розбити область визначення критичними точками на проміжки.
• Встановити знак похідної на кожному з проміжків.
• Якщо при цьому похідна функції на даному проміжку більша нуля, то функція на даному проміжку зростає, а якщо похідна менша нуля, – то спадає.

14. Яка точка називається точкою максимуму (мінімуму)?

Ті значення аргумента, при яких значення функції є найбільшими або найменшими, називаються відповідно точками максимуму або мінімуму, а значення функції в цих точках -  її максимумом або мінімумом.

15.  Що називають екстремумом функції?

Точки максимуму та мінімуму називають екстремумом.

16. Сформулюйте правило дослідження функції на екстремум.

• Встановити область визначення функції
• Встановити проміжки монотонності.
•  Визначити екстремальні точки. Для цього користають правилом: Якщо похідна функції при переході через критичну точку змінює свій знак з + на -, то ця точка є точкою максимуму, а якщо з – на + , то точкою мінімуму.
• Знайти максимальне та мінімальне значення функції.

Добре. Ми з вами повторили теоретичні основи теми. А тепер давайте повернемося до наших колег та перевіримо як вони справилися із завданнями.

Нагадайте умову задачі.

Студент. Отримавши завдання, представники нашого відділу приступили до пошуку варіантів розв’язку запропонованих задач. Використавши досвід попередніх занять, ми прийшли до висновку, що дані задачі можна розв’язати за допомогою похідної. Отже, взявши за озброєння похідну, ми провели такі математичні розрахунки (Захист біля дошки з указкою).

Вчитель. Чудово! Ми молодці! Усі згодні з такими розрахунками? У кого є запитання? Думаю, що добре справилися із задачами, що стояли перед нашою організацією! Бачимо, що похідна має надзвичайно важливе практичне значення. А наші знання дозволяють нам виконувати замовлення на розв’язання оптимізаційних задач!

Але ми знаємо, що таких організацій у місті є багато. У нас велика конкуренція! Тому ми повинні довести замовникам, що ми найкращі. Над проблемою розробки реклами нашої організації працював відділ №2 – реклами та розвитку.

Прошу до слова нашого наших колег, як представлять свій проект реклами.

Доброго дня, шановні колеги та присутні. Працівники  нашого відділу працювали над розробкою реклами нашого підприємства.

Опрацювавши багато літератури, Інтернет-джерел, ми спробували знайти відповідь на запитання для чого потрібна похідна і знайшли чудову відповідь у російському прислів’ї: “Мал золотник да дорог!”.

Ми розробили назву та лозунг нашого підприємства, а також рекламні листівки. Але перед тим, як запропонувати їх нашим колегам та гостям, пропонуємо вашій увазі такий сюжет (демонстрація відео).

Студент. Ці два слова знаємо і ми! Вивчайте похідну!, -  сказав мудрець. Ми вивчаємо похідну, ми знаємо похідну! Це і стало основою успішного розвитку нашого підприємства. Саме завдяки похідній ми стали лідерами в галузі розрахунків та оптимізаційних рішень.

Вчитель. Чудово справилися із завданням. Тож із такою рекламною продукцією ми зможемо популяризувати нашу роботу на ринку праці та гідно представляти інтереси наших клієнтів.

Молодці! Дуже гарно попрацювали із запропонованим вам завданням!

А наш третій відділ (проектна майстерня) працював над проблемою вдосконалення умов праці наших працівників, над пошуком нових технологій у галузі роботи нашого підприємства. Прошу вас представити результати власного дослідження. Отже, доповідає керівник відділу Рєзнік Денис.

Студент. Наша проектна майстерня працювала вдома над пошуком партнерів, які б допомогли розвивати та вдосконалювати нашу професійну діяльність. Так, ми знайшли підтримку у такому середовищі, де можна вільно застосовувати набуті нами вміння та навички.

Ми дослідили середовище комп’ютерної програми MathCAD та навчилися в ньому працювати.

MathCAD Є є найбільш поширеним та потужним математичним пакетом, що дозволяє проводити різноманітні наукові і інженерні розрахунки, починаючи від елементарної арифметики і закінчуючи складними реалізаціями математичних методів.

Ця програма настільки універсальна, що може допомогти як студенту, так і науковцю, що працює з технічними науками.

Для прикладу покажемо як можна здійснити операцію диференціювання функції.

Відтепер на кожному кроці нашої спільної роботи ми зможемо відслідковувати правильність наших дій та рішень.

Вчитель. Молодці! Чудово справилися із домашнім завданням. На цьому кроці нашої спільної роботи можна сказати, що наше підприємство дійсно злагоджено та успішно працює, адже ми об’єдналися навколо спільної проблеми, яку вами зібралися вирішити сьогодні.

5. Пояснення матеріалу.

Ми побачили застосування похідної у вирішенні багатьох практичних задач. А сьогодні познайомимося ще з одним її застосуванням.

Отже, у центрі нашої уваги – дослідження функції за допомогою похідної та побудова її графіка. Тема заняття записана у вашому робочому зошиті.

 А яке вона має значення для нашої організації?

До цього ми вміли описували реальні процеси за допомогою функцій, тобто досліджували та будували їх графіки без використання поняття похідної. Це був досить ненадійний спосіб, оскільки будувати графік по точках  неточний метод, оскільки не відтворюється реальна поведінка функції. А попит вимагає від нас якісного виконання замовлення. Ми так довго йшли цього!  І ось ми нарешті на порозі відкриття!  

Подібно до того, як Архімед відкривши закон важеля, сказав: «Дайте мені точку опори і я зрушу Землю», так і сучасники Ньютона казали: «Складіть нам диференціальні рівняння усіх рухів у природі і навчіть їх інтегрувати, тоді ми будемо подібні до Бога, бо за допомогою обчислень точно будемо знати майбутні події» Д.О.Граве.

Якщо нам потрібно буде побудувати графік

Тепер перед нами стоїть значно цікавіша задача!

Користуючись засобами диференціального числення, ми зможемо провести більш глибоке та різностороннє вивчення властивостей цієї функції і обґрунтувати характерні її якісні особливості.

Тож сьогодні ми навчимося досліджувати функцію за допомогою похідної та будувати її графік. А роблять це за допомогою такої схеми. Погляньте на дошку.(проектується на дошку, є в робочих зошитах).

Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка.

1. Знайти область визначення функції
2. Знайти точки перетину з осями координат.
3. Дослідити на парність (непарність), періодичність.
4. Знайти критичні точки.
5. Встановити інтервали монотонності і точки екстремуму.
6. Знайти значення функції в екстремальних точках.
7. Знайти допоміжні точки і на основі дослідження побудувати графік функції.

Результати дослідження заносять до таблиці.

Вчитель обговорює схему зі студентами.

Вчитель на дошці досліджує та будує графік функції , а студенти в цей час працюють в робочих зошитах.

Після цього робимо висновок:

 Отже, перед нами відкриваються величезні можливості для дослідницької роботи в нових проектах!!! Тепер ми знаємо як досконало та швидко, а головне якісно виконати наступне замовлення.

6. Закріплення знань, вмінь та навичок при розв’язуванні вправ.

Отже, на наше підприємство надійшло велике замовлення:

Дослідити та побудувати графіки таких функцій (проектуються на дошку):

1)

2) 

3)

Тому кожному відділу пропонується функція для дослідження.

У робочих зошитах я пропоную вам у розділі Я ЗМОЖУ оформити розв’язання задачі. Для захисту проектів використовується міліметровий папір, куди студенти будують графіки функцій.

Вчитель. Молодці. Усі справилися із завданням. А тепер давайте перевіримо правильність Ваших дій за допомогою комп’ютерної програми. І в цьому нам допоможе третій відділ – наша проектна майстерня.

Правильність виконання звіряється за допомогою комп’ютерної програми MathCAD.

7. Проведення тестування. Оголошення вакансії

Як у будь-якого успішного підприємства, в наших перспективах відкриття ще одного відділу. Тому я сьогодні оголошую конкурс на вакантне місце – посаду керівника відділу знавців. Ця людина повинна організувати осередок експертів в галузі математики, які зможуть надавати консультативну допомогу з будь-яких проблемних питань, а також проводити серед працівників атестацію.

Кожен із вас повинен пройти тестування, за результатами якого я, як керівник нашої організації, зможу зробити висновки щодо справжнього знавця галузі математики. Тож ваше завдання – успішно скласти тестування.

 

8. Підсумок ділової гри.

Висновки. Слово вчителя.

Шановні колеги! Працівники нашого підприємства задалися питанням для чого потрібна математика? Ми з вами протягом двох років працюємо над даною проблемою і дійшли такого висновку:

Мисляча людина – потрібна людина. Математика навчає думати.

Якщо людина може зв’язати події в послідовність, знайти залежності, передбачити наслідки, то говорять, що вона вміє логічно мислити. Математика вчить логічно мислити.

Креативний працівник – високопрофесійний працівник. Так, цьому навчає математика – думати нестандартно.

Творчість – навіть цьому навчає математика. І це ми сьогодні довели.

Ми переконалися в важливості вивчення цієї теми, її ролі в дослідженні процесів науки і техніки. Ми довели, що похідна дає можливість конструювати за реальними подіями математичні моделі і розв’язувати важливі задачі.

Я вважаю, що усі присутні переконались, що ви – колектив однодумців, які вміють застосовувати набуті знання. Думаю, що такі вміння ще не раз стануть вам у пригоді.

9. Рефлексія. На початку заняття була поставлена мета. Чи досягли ми її?

Пропоную відмітити ваш стан за допомогою смайликів, що зображені у вас в робочих зошитах.

Вправа для рефлексії

 Учитель. Розтуліть свою ліву долоню і покладіть на неї той досвід, з яким ви прийшли сьогодні на урок. Відчуйте його значення для вас. А тепер покажіть свою праву долоню і покладіть на неї ту інформацію і той досвід, який ви здобули сьогодні. Відчуйте його цінність для вас.  А тепер з’єднайте долоні, об’єднайте ці досвіди, і нехай вони допоможуть вам успішно працювати в нових проектах!

 

10. Оцінювання знань, вмінь і навичок

Отже, усі ви гарно працювали на занятті і заслуговуєте гарних оцінок.

Оголошення оцінок.

11. Домашнє завдання.

Прийом «Крок до майстерності»

Задача 1. Концентрація ліків у крові хворого через t секунд після ін’єкції задається формулою

С(t)=

Знайти максимальну концентрацію і час, коли вона досягається.

Задача 2. Дослідити та побудувати графік функції .

Задача 3. Тестові завдання.

Підсумки заняття

 

Учитель.

Урок хочу завершити такими словами (проектується на дошку):

«Музика може возвеличити або заспокоїти душу,

Живопис – радувати око,

Поезія – пробуджувати почуття,

Філософія – задовольняти потреби розуму,

Інженерна справа – удосконалювати матеріальну сторону життя людей,

А математика здатна досягти усіх цих цілей».

Так сказав американський математик Моріс Клайн.

Дякую за роботу! Успіхів Вам!!!