Урок для 9 кл."Прогресії"

Про матеріал

Узагальнюючий урок з теми "Прогресії" для 9 кл. У ньому представлені цікаві прикладні задачі, які дають можливість застосувати отримані знання з даної теми в конкретних життєвих ситуаціях.

Перегляд файлу

Тема: Прогресії.

Мета:

- перевірити й скорегувати знання, уміння й навичок учнів по темі "Прогресії";

- виховувати навички самостійно приймати рішення ;

- розвити вміння робити вибір у нестандартних ситуаціях, відповідати за свої розв'язки.

Знати:

- Формули для знаходження:

а) n-го члена прогресії;

б) суми n членів прогресії.

Вміти: застосовувати формули для розв'язку стандартних і нестандартних завдань.

Обладнання: картки із завданнями, дидактичний матеріал, довідкова література.

Тип: узагальнення й систематизація знань, умінь, навичок

1.Організаційний момент

2. Мотивація навчальної діяльності.

Ми вивчили одну з найцікавіших тем математики - прогресії. Сьогодні на уроці ми спробуємо знайти взаємозв'язок теорії з оточуючим нас життям, навчимося практично підходити до розв’язання деяких життєвих задач, використовуючи теорію прогресій.

3. Повідомлення теми, цілей і завдань уроку.

4. Актуалізація опорних знань

Робота вчителя

Робота учнів

●Усне опитування.

Що я бачу? Що я про це знаю?

5; 10; 15; 20; 25;...

8; 8; 8; 8; 8;...

-3; -9; -27; -81;...

1/7; 1/14; 1/21; 1/28;...

Як я можу знайти:

- b_n якщо (b_n) – геометрична прогресія й дані b₁ и q;

- n, якщо (a_n) – арифметична прогресія й дані d, a_n и a₁

- S_n, якщо a₁, a₂, a₃... – арифметична прогресія;

- S_n, якщо b₁, b₂, b₃,... – геометрична прогресія.

Усно відповідають на запитання вчителя, приводячи переконливі аргументи на доказ своїх суджень (якщо потрібно, формулюють правило або визначення)

5. Перевірка глибини осмислення.

Пояснює правила заповнення аркуша відповідей і його оцінювання.

Завдання :

1. (a_n) — арифметична прогресія

В1: 6; 8; 10;....

В2: 3; 6; 9;...

Знайти d.

2. (b_n) — геометрична прогресія

В1: b₁=1, q=-2.

В2: b₁=2, q=-1.

Знайти b₆.

3. (a_n) — арифметична прогресія

В1: -4; -6;...

В2: 10;5; ...

Обчислити а₁₅

4. Знайти різницю арифметичної прогресії.

В1: a₅=13; a₁₁=31.

В2: a₇=27; a₁₂=-47.

5. (b_n) — геометрична прогресія

В1: (b_n)=2; 6; …

В2: (b_n)=3; 6; …

Обчислити S₆.

6.(a_n) — арифметична прогресія

В1: a₁=1,7; d=0,3

В2: a₁=3; d=3

Обчислити S₂₀.

Приклад картки відповідей приводиться в кінці.

По варіантах

Одержують завдання та картки для відповідей.

Заповнюють аркуш відповідей.

Звіряються із правильною карткою, запропонованою вчителем, ставлять собі оцінку.

6. Застосування знань у нестандартних ситуаціях.

●а) Робота учнів з картками

Клас ділиться на 6 груп (у кожної приблизно по 5 учнів). Бажане розсадити школярів заздалегідь по групах однакового рівня підготовленості. Кожна група вибирає

капітана, який буде керувати роботою;

секретаря, який оформляє розв'язку групи;

консультантів;

теоретика, який буде захищати запропонований групою розв'язок.

Завдання:

1. У сприятливих умовах бактерії розмножуються так, що протягом однієї хвилини одна з них ділиться на дві. Підрахуйте, скільки бактерій народиться за 7 хвилин.

Бактерії утворюють послідовність 1; 2; 4; ..., яка є геометричною прогресією b₁=l, q=2.

S₇=1·(2⁷-1)/(2-1) = = 127

2. Вертикальні стрижні ферми мають таку довжину: самий короткий 5 дм, а кожний наступний на 2 дм довше. Знайдіть загальну довжину семи стрижнів.

Довжини стрижнів утворюють арифметичну прогресію а₁=5, d=2.

Довжина стрижнів S₇=(a₁+a₇)·7/2; а₇=а₁+2*6=17; S₇=(5+17)·7/2=77 дм

3. Кулі розташовані у формі трикутника так, що в першому ряду 1 куля, у другому - 2, у третьому - 3 і т.д. У скільки рядів розміщені кулі, якщо їх 120 штук?

Після захисту всіх команд виставляються оцінки.

Кулі утворюють послідовність 1, 2, 3,..., яка є арифметичною прогресією а₁=1, d=l.

S_n=120

S_n =(a₁+d(n–l)·n):2. 120=(2a₁+(n–1))·n/2; 240=(2+n–l)·n; n²+n–240=0

D=312,

n=(-l+31)/2=15

●б) Розв’язування завдань із практичним змістом.

З поняттям прогресії зв'язана велика кількість завдань і суджень.

▪ Історія із шахами

Розповідають, що винахідник шахів запропонував виплатити йому за першу клітку 1 зерно, за другу - 2, за третю - 4 і т.д. Суму цих зерен дуже довго підраховували й виявилося, що їх буде 18 446 744 073 709 551 615. При висоті комори 4 метра й ширині 10 метрів довжина його повинна була б скласти 300 000 000 км, тобто вдвічі далі, чим від Землі до Сонця. Розв’яжіть ще кілька цікавих задач на прогресії.

▪Завдання про вигідну угоду.

Чи була коли-небудь ця історія – невідомо. Але розповідають, що одного разу багатій повернувся додому надзвичайно радісним: у нього в дорозі відбулася щаслива зустріч, яка обіцяла велику вигоду. Дорогою додому йому зустрівся незнайомець, який запропонував угоду: щодня протягом місяця він буде приходити й приносити по сто тисяч рублів, а багатій повинен у перший день віддати йому 1 копійку, у другий – 2, у третій – 4 і т.п. Неспроста, вочевидь, говорять, що копійка на копійку набігає. Більше нічого від нього не було потрібно, тільки угода тримати міцно. Багатій підрахував, що за 30 днів він одержить 3 млн. руб.

Хто виграв, а хто програв у цій угоді?

▪Міські плітки.

Дивно, як швидко поширюються плітки. Інший раз не пройде й двох годин із часу якої-небудь події, а новина вже знає все місто. Розглянемо такий випадок.

У місто з населенням 50 тис. приїхав в 8 годин ранку зі столиці чоловік і привіз цікаву новину. У будинку, де він зупинився, він повідомив цю новину трьом місцевим жителям, що зайняло 15 хвилин. Довідавшись цю новину, кожний з місцевих також розповів її трьом іншим, що зайняло ті ж 15 хвилин. Якщо слух і далі буде поширюватися по місту в такий же спосіб, то вже в 10:30 усе місто буде обізнаний про новину, яку в 8.00 знав тільки одна людина. Як це відбулося?

Пояснення:

Зерна утворюють геометричну прогресію b₁=l, q=2.

S₆₄=l(2⁶⁴–l)/(2–l)=2⁶⁴-1

Копійки утворюють геометричну прогресію b₁=1, q=2.

S₃₀=1(2³⁰-1)/(2-1) = = 10 737 418 р. 23 к. Мільйонер втратить 7 млн 37 тис 418 руб. 23 коп.

Плітки поширюються по геометричній прогресії b₁=1, q=3.

S=50000=1(3ⁿ–1)/(3-1)

100001=3ⁿ

3¹¹=177146, 3¹⁰=59049

Тож n≈10,5, тобто пройде не більш 2,5 години

7. Рефлексія

Що нового ви довідалися на цьому уроці?

Які висновки ви зробили для себе з даних історій?

8.Підведення підсумків уроку.

Закінчити урок хотілося б словами О. Красуцкої:

Ми прогрессию сегодня изучили.

В математике она имеет вес.

И, наверное, вы уловили

Общность слов "прогрессия", "прогресс".

Предстоит вам многому учиться

Но всегда подумайте о том,

Может быть, глубокий смысл таится

В слове, термине на первый взгляд простом.

Этот смысл и в жизни очень важен,

Пусть идет он с вами сквозь года,

Пусть прогрессия всей вашей жизни

Будет возрастающей всегда!

Виставляння оцінок у журнал.

9. Домашнє завдання:

Робоча картка

Тема: Прогресії

ПІБ_____________________________________ Варіант 1

Завдання	1	2	3	4	5	6
Відповідь

Сума відповідей Оцінка:

Завдання 1. Усне опитування

Завдання 2. Розв’яжіть письмово

1. (a_n) — арифметична прогресія 6; 8; 10;.... Знайти d.

2. (b_n) — геометрична прогресія b₁=1, q=-2. Знайти b₆.

3. (a_n) — арифметична прогресія -4; -6;... Обчислити а₁₅

4. Знайти різницю арифметичної прогресії, якщо a₅=13; a₁₁=31.

5. (b_n) — геометрична прогресія (b_n)=2; 6; … Обчислити S₆.

6.(a_n) — арифметична прогресія a₁=1,7; d=0,3. Обчислити S₂₀.

Завдання 3. Робота у групах

Виконайте завдання на картках.

Робоча картка

Тема: Прогресії

ПІБ_____________________________________ Варіант 2

Завдання	1	2	3	4	5	6
Відповідь

Сума відповідей Оцінка:

Завдання 1. Усне опитування

Завдання 2. Розв’яжіть письмово

1. (a_n) — арифметична прогресія 6; 8; 10;.... Знайти d.

2. (b_n) — геометрична прогресія b₁=1, q=-2. Знайти b₆.

3. (a_n) — арифметична прогресія -4; -6;... Обчислити а₁₅

4. Знайти різницю арифметичної прогресії, якщо a₅=13; a₁₁=31.

5. (b_n) — геометрична прогресія (b_n)=2; 6; … Обчислити S₆.

6.(a_n) — арифметична прогресія a₁=1,7; d=0,3. Обчислити S₂₀.

Завдання 3. Робота у групах

Виконайте завдання на картках.

Картка для групової роботи

У сприятливих умовах бактерії розмножуються так, що протягом однієї хвилини одна з них ділиться на дві. Підрахуйте, скільки бактерій народиться за 7 хвилин.

▪ Задача про вигідну угоду.

Розповідають, що одного разу багатій повернувся додому надзвичайно радісним: у нього в дорозі відбулася щаслива зустріч, яка обіцяла велику вигоду. Йому зустрівся незнайомець, який запропонував угоду: щодня протягом місяця він буде приходити й приносити по сто тисяч рублів, а багатій повинен у перший день віддати йому 1 копійку, у другий – 2, у третій – 4 і т. д. Неспроста, вочевидь, говорять, що копійка на копійку набігає. Більше нічого від нього не було потрібно, тільки угоду тримати міцно. Багатій підрахував, що за 30 днів він одержить 3 млн. руб. Хто виграв, а хто програв у цій угоді?

▪ Міські плітки.

У місто з населенням 50 тис. приїхав в 8 годин ранку зі столиці чоловік і привіз цікаву новину. У будинку, де він зупинився, він повідомив цю новину трьом місцевим жителям, що зайняло 15 хвилин. Довідавшись цю новину, кожний з місцевих також розповів її трьом іншим, що зайняло ті ж 15 хвилин. Якщо слух і далі буде поширюватися по місту в такий же спосіб, то вже в 10:30 усе місто буде обізнаний про новину, яку в 8.00 знав тільки одна людина. Як це відбулося?

Картка для групової роботи

Вертикальні стрижні ферми мають таку довжину: найкоротший 5 дм, а кожний наступний на 2 дм довше. Знайдіть загальну довжину семи стрижнів.

▪ Задача про вигідну угоду.

▪ Міські плітки.

Картка для групової роботи

Кулі розташовані у формі трикутника так, що в першому ряду 1 куля, у другому – 2, у третьому – 3 і т. д. У скільки рядів розміщені кулі, якщо їх 120 штук?