Урок Функції, їх властивості і графіки. Розв'язування вправ

Державний навчальний заклад

«Нововолинський центр професійно-технічної освіти»

 

 

 

 

 

 

Функції, їх властивості і графіки.

Розв'язування вправ

(Розробка уроку)

 

 

 

 

 

 

Панас Г.І.,

викладач математики,

спеціаліст вищої категорії,

старший викладач

 

 

 

 

 

Тема. Функції, їх властивості і графіки. Розв'язування      вправ

• технічне : комп’ютери;
• програмне забезпечення: педагогічний програмний засіб «Алгебра і початки аналізу» 11 клас, ОС  PowerPoint;

-   дидактичний матеріал: тестові завдання , картки-завдання, завдання самостійної роботи, таблиці, карта подорожі, папки "Методичне забезпечення теми",   завдання письмової роботи .  

- інтерактивні технології:  застосування презентації, самоперевірка, домашній твір.

 

Очікувані навчальні результати.

Після уроку учні зможуть:

-  користуватися різними способами задання функцій;

-  знаходити природну область визначення функціональних залежностей;

- знаходити значення функцій при заданих значеннях аргументу і значення аргументу, за яких функція набуває даного значення;

- встановлювати за графіком функції її найважливіші властивості;

- досліджувати  властивості функцій.

 

Хід уроку

I. Організаційна частина.

II. Повідомлення мети і завдання уроку. Мотивація навчальної діяльності.

У кожної людини є заповітна мрія.

Можливо дехто уявляє себе незрівнянною принцесою; хтось мріє жити на березі моря у затишній віллі; отримати у подарунок розкішний автомобіль або просто три горішки для Попелюшки. Декому сниться мандрівка на Марс або захоплююча подорож безмежним океаном до країни своєї мрії, під час якої  може трапитись безліч  фантастичних пригод.

Деколи мрії збу­ваються…

На попередніх уроках ми ознайомилися із  поняттям  функції, різними видами функцій, їх графіками і властивостями. Оскільки вивчення теми  завершується, то виникає необхідність систематизувати вивчені прийоми розв'язування вправ , і тим самим підготуватися до чергової тематичної атестації.

 Ми здійснимо уявну мандрівку по Океану Знань. Нас чекає безліч   випробовувань - штормові вітри, небезпечні підводні течії, коралові рифи, зустріч з аборигенами або піратами. Тому наша подорож може бути невизначеною у часі.

Отже , починаємо  …

( Вивісити карту подорожі . Додаток 1)

Наш маршрут : із порту материка " Математика" по Океану Знань до мису «Функція»  материка " Алгебра ".

 

 В порту нашого Нововолинського пароплавства формується екіпаж шхуни «Знання».                        
На вахті сьогодні_______________ .

Прошу доповісти про готовність до плавання.

 ( Староста подає список відсутніх.)

 

III. Перевірка готовності до подорожі. Актуалізація опорних знань.

Екіпаж шхуни сформований у потрібному складі і готовий до відплиття. Проте виникла перша перепона. Команда не пройшла "митного огляду". Пропоную   команді заповнити «митну декларацію» (у два етапи: на комп’ютерах і тестові завдання на листках ).

Частину членів екіпажу запрошую  до комп’ютерів.

Відкриваємо  ППЗ, розділ 5, урок 1,2, конструктор запитань «Перші відомості про функцію» (Додаток 2), запитання 1,2,3,4,6,7,8,10 (записати додатково на дошці і пояснити процес виконання завдання)

 («Митні декларації» роздруковуються через головний комп’ютер )

Інші члени екіпажу заповнюють  «декларації »  на робочих місцях  згідно поданих запитань «Митної декларації» (Додаток 3).

(Заповнені декларації учитель збирає )

Після завершення завдання «митні декларації» будуть роздруковані, зібрані  і оцінені.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV. Основна частина. Подорож.

Митниця позаду і ми можемо вирушати у плавання.

На партах у вас знаходяться лоцманські карти - папки «Методичне забезпечення теми Функції, їх властивості і графіки»

Запишіть у робочих зошитах тему уроку. Усі етапи роботи, і її результати самостійно фіксуйте у робочих зошитах.

Різкий штормовий вітер змінив наш маршрут  .

Наша шхуна зму­шена пристати до берега острова «Непосиди» .Тут нас чекає певне ви­пробування: серед рифів-завдань знайти вірний шлях, щоб обминути цей острів. Лише при умові його подолання наша подорож буде продовжена.

Частина учнів виконують біля комп’ютерів тестові завдання (Додаток 4) із наступною самоперевіркою. 

(Учні роблять самоперевірку, комп’ютер оцінює учнів . Оцінки записують у робочих зошитах з теми  ).

 (Інші виконують тестові завдання (Додаток 5) на листках)

 І так, перепона подолана успішно, острів «Непосид» позаду і  ми знову серед хвиль.

 Попутний вітер допоміг нашій шхуні доплисти до острова " Ерудитів".

Чергове завдання -  Самостійна робота (Додаток 6) на подолання перешкод по застосуванню властивостей  функції, яка стане перепусткою нашій шхуні у відкрите море.

(Кожен отримує завдання самостійної роботи у «лоцманський картах», і виконують його члени екіпажу у робочих зошитах)

Будемо сподіватися, що ви зуміли  подолати усі перепони.

Тому знову рушаємо у путь.

Наступний порт - острів " Розумників ".

Всі запрошуються у кают-компанію на перегляд   шоу «ПОКАЗУХА» (Додаток 7).

З допомогою функції моделюють і досліджують різноманітні процеси, що відбуваються навколо нас.

У процесі вивчення та дослідження різноманітних явищ природи, розв’язування технічних задач доводиться розглядати зв'язок між змінними величинами , залежність однієї величини від іншої. Не існує змінних величин, які змінюються ізольовано , без зв’язку з іншими фізичними величинами .

Наприклад:  

- пройдений шлях зі сталою швидкістю змінюється залежно від зміни часу;

- відстань,  на яку летить  снаряд і точність влучання залежать від маси снаряда і, кута нахилу дула гармати, початкової швидкості снаряда, напрямку і сили вітру.

Існує відповідність між довжиною сторони квадрата і  його площею,а також     відповідність між радіусом кола і його довжиною; залежність периметра правильного трикутника від довжини його сторони.

Графіки температур, кардіограми серця, графіки зміни атмосферного тиску, графік руху певного транспорту – це функціональні залежності. 

 Для будівельників важливою є залежність вартості будівництва від його тривалості, залежність якості виконаних робіт від якості матеріалів.

Для підприємств автомобільного транспорту викликає інтерес залежність витрат палива від якості доріг.

(Іде Презентація сфер застосування функцій. Окремі учні коментують побачене).

Розваги розвагами, а робота триває. На острів повинна висадитися десантна група в кількості 2-х матросів - розумників, які проведуть розвідку боєм.

(Двоє учнів по готових таблицях і отриманих завданнях у конвертах  коментують зображені графіки  (Додаток 8)).

Уміння «матросів» читати графіки переконало нас , що аборигенів на острові немає, і наша дорога вільна.

Згідно прокладеного маршруту в нас попереду острів  «Хитрунів».

Групу в кількості 2-х матросів  знову повинна висадитися на берег для чергового десанту.

Так як їх чекають певні труднощі, усі зобов’язані  пройти відповідний інструктаж, і лише найхитріші зможуть стати першопрохідцями на цьому острові.

Відкриваємо  ППЗ, Конструктор уроків, Розділ 2, урок 3, фрагмент «Найпростіші перетворення графіків функцій» .

(Учні самостійно переглядають види перетворень,  коментар звучить із головного комп’ютера)

Двоє найхоробріших учнів   ідуть  до дошки для побудови   графіків (Додаток 9) .

(завдання отримують на картках)

Поки триває висадка десанту, інші члени екіпажу повинні описати в робочих зошитах запропонований у лоцманських картах маршрут  (виконують на місцях письмову роботу  (Додаток 10) ).

 

До кінця подорожі залишилось небагато. Інтуїція підказує, що підводні рифи не дадуть шхуні можливості допливти до мису "Функція". Лише ті , хто добре плаває по «графіках», зможе самотужки добратися до кінцевої мети.

( Завдання " О, щасливчик " (Додаток 11).  Фронтальне опитування учнів.)

МОЛОДЦІ !

V. Підсумок уроку. Домашнє завдання.

Подорож позаду.

А екіпаж чекає ще одна несподіванка.

Це  маршрут наступної самостійної подорожі -     домашнє завдання: написання домашнього твору (Додаток 12). У лоцманських картах ви знайдете теми домашнього твору із рекомендаціями щодо його написання.

Оцінки за сьогоднішню подорож ви отримаєте на наступному уроці, із врахуванням балів за усі види роботи і подолання перешкод.

          В цьому світі щось від чогось та й залежить ,

Час від швидкості і вартість від ціни.

Є залежності прямі та протилежні,

І багато інших ще пізнаємо ми.

Вони всі назви мають, і учні їх вивчають,

Властивості вивчають і похідні беруть.

Над ОДЗ чаклують і графіки будують.

Залежності в науці ці функціями звуть.

Без функцій стихли б звуки, і не було б науки,

І потяг зупинився б, і не літав літак.

Ви функції вивчайте, ви функції кохайте,

Без функцій, так і знайте, не впоратись ніяк.

 

Щасливого плавання Вам усім

по небезпечному, але цікавому

 Океану знань.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 2

 

Вправи

Учень 

 

 

1. Дайте означення функції.
2. Яку змінну у функціональній залежності називають аргументом і яку функцією?
3. Що таке область визначення функції?
4. Що таке область значень функції?
5. Що таке графік функції на координатній площині?
6. Чи будь-яка крива на координатній площині є графіком функції?
7. Які способи задання функції вам відомі?
8. Що потрібно врахувати при знаходженні області визначення функції   ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток  3

     Прізвище, ім’я _______________________

 

«Митна декларація»

 

    1. Яка функція називається парною?

 

 

 2.Як проходить графік парної функції?

 

 

 3.Що є графіком функції y=kx ?

 

 

4. Якою формулою задано кубічну параболу?

 

 

5. Що таке нулі функції?

 

 

6. Чи будь-яка крива на площині є графіком функції?

 

 

7. Який математик вперше використав термін «функція»

 

 

8. Області застосування функціональних залежностей.

 

 

 

Додаток 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 4

Тести – перетягування

 

1.Через яку точку проходить графік функції ?  ( (-1;2) )

 

2.На рисунку зображено графік функції:                                            (у=х+1)

 

 

 

 

 

3. Графік якої функції зображено на рисунку:                                                

 ( у=х²)

 

 

 

4. Знайти область визначення функції                           (х≤)

 

5.Яка функція є оберненою пропорційністю?                            ()

 

6.Який графік є лінійною функцією?                                             (у=3х-2)

 

 

 

 

 

 

 

 Додаток  5

Тестові завдання

 

1.Вкажіть серед наведених функцій пару рівних.

а) ; ;  б) ; у=1; в) ; у = х.

 

2. Значення функції у точці дорівнює …

а) 6; б) 9; в) +3; г) інше число.

 

3. Задайте формулою обернену пропорційність, знаючи, що її графік  проходить через точку (-3;4).

а) ; б) ; в) ; г) .

 

4. Яка із наведених функцій непарна?

 а) у=х²; б); в); г).

 

5. Скільки точок перетину мають графіки функцій і у=-1?

а) жодної; б) одну; в) дві; г) більше як дві.

 

6. Яка із графіків є лінійною функцією?

а) ; б) у=х² ; в) у=3х-2; ; г)  у=.

 

 

 

 

 

 

Додаток 6

Самостійна робота  ЕРУДИТІВ

 

              В-1

1. Знайти область визначення функції :

.

 

2.Дослідити на парність і непарність функцію:

У=х³-х.

 

3. Побудуйте графік функції

.

 

 В-2

1. 1. Знайти область визначення функції :

.

 

2.Дослідити на парність і непарність функцію:

У=х⁴-х².

 

3. Побудуйте графік функції

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коментарі до Презентації

1. Для вимірювання і реєстрації біоелектричних потенціалів серця при діагностиці стану серцево-судинної системи людини використовують електрокардіографи.

Електрокардіограф здатний зареєструвати різницю електричних потенціалів між двома точками в електричному колі серця під час її порушення. Тобто, при болях у серці, зміні серцебиття, при задишці.

 

2. У медицині використовують прилад спірометр.

Це прилад для вимірювання об’єму повітря, яке поступає із легень при найбільшому видиху після найбільшого вдихання.

Застосовується для оцінки стану дихальної системи людини з допомогою вимірювання і обчислення усіх основних параметрів дихання.

Співвідношення цих параметрів показує ступінь порушення бронхіальної прохідності.

 

3. Існує залежність розміру повітряної камери яйця від термінів зберігання , температури і вологості навколишнього повітря. Це є показником свіжості яєць.

На графіках зображено залежність зміни РН білка і жовтка від часу інкубаційного періоду.

В свіжих яйцях білок має лужну реакцію, але в процесі інкубації РН білка знижується.

Жовток у свіжих яйцях має кислу реакцію, але в процесі інкубації ПР жовтка зростає, що пов’язано із змінами хімічного складу жовтка у період інкубації

 

4. Функціональну залежність можна побачити і у різних видах спорту.

Графічно зображено залежність швидкості руху велосипедиста від опору повітря.

Для подолання опору повітря і відповідно, зміни швидкості, велосипедист змінює положення тіла.

 

5.Існують функціональні залежності між основними фізичними величинами.

Одним із прикладів можна навести явище дисперсії. Тобто, залежність показника заломлення різних речовин від довжини хвилі.

 

6. Соціальна сфера – це ще один приклад відображення функціональної залежності.

Не є новиною, що рівень заробітної плати дуже часто залежить від рівня освіченості людини.

Даний графік демонструє залежність річного заробітку працівника від рівня освіти.

 

7. На екранах зображено прилад – термограф.

Прилад використовують на метеорологічних станціях для прогнозування погоди.

Термограф безперервно реєструє  покази температури води і повітря.

Це приклад функціональної залежності температури від часу.

 

 

8. Щоб будь-яка подорож по морю була цікавою, легкою, комфортною, необхідно передбачити можливість виникнення шторму.

На слайді зображено барограму шторму.

Її записують за допомогою метеорологічного радіолокатора, який оцінює горизонтальну і вертикальну швидкість опадів.

Барограма демонструє функціональну залежність між відстанню і часом.

 

 

9. Ви голодні, хочете відпочити або відсвяткувати у колі друзів чи рідних ювілей, пам’ятну дату…

Завітайте у наше кафе «Орхідея», де вас чекають сучасний інтер’єр , чарівні посмішки офіціантів, смачні і вишукані страви…

І знову математика…

Ціна реалізації певної страви залежить від собівартості використаної сировини і відповідної націнки.          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 8

  Завдання 1. «Прочитати » графік зміни атмосферного тиску, зображений на малюнку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Завдання 2. На малюнку зображено графіки руху двох електропоїздів. Проаналізуйте ці рухи: скільки зупинок робив кожен поїзд; коли вони зустрілися; скільки часу тривала кожна зупинка?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 9

 

Завдання 1

 

1.Побудувати графіки функцій

А). у=0,

Б). у=х+3, х є [-3;1/2];

В). у=-х+4,  х є [1/2;4].

 

 

Завдання 2

 

 

2.Побудувати графіки функцій

А). у=0,

Б). у=х+4, х є [-4;-2];

В). у=2,  х є [-2;3],

Г). х=3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 10

Письмова  робота Хитрунів

 

В-1.

Функцію y=f(x) задано графіком .

Вказати :

1.значення функції, якщо х=3;

2.область визначення функції;

3.найменше значення функції;

4.найбільше значення функції;

5.область значень функції;

6.нулі функції;

7проміжок осі ОХ, на якому функція набуває додатних значень;

8.проміжок осі ОХ, на якому функція

набуває від’ємних  значень;

9.проміжок осі ОХ, на якому функція зростає;

10.проміжок осі ОХ, на якому функція спадає.

 В-1.

Функцію y=f(x) задано графіком .

Вказати :

1.значення функції, якщо х=3;

2.область визначення функції;

3.найменше значення функції;

4.найбільше значення функції;

5.область значень функції;

6.нулі функції;

7.проміжок осі ОХ, на якому функція набуває додатних значень;

8.проміжок осі ОХ, на якому функція набуває від’ємних  значень;

9.проміжок осі ОХ, на якому функція зростає;

10.проміжок осі ОХ, на якому функція спадає.

Додаток 11

 

 

" О, щасливчик "

 

1.Який вчений вперше використав термін «функція» ?

 

 

2. Що означає слово «функція» ?

 

 

3. Які дві функції називають різними ?

 

 

4.  Які дві функції називають рівними ?

 

 

5. Чим зручний графічний спосіб задання функції ?

 

 

6.Які графіки найуживаніших функцій  вам відомі ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 12

Контрольна робота з теорії по   темі

           «Функції, їх властивості і графіки»

Теми творів:

1.Лінійна функція.

2.Квадратична функція.

3.Обернена пропорційність.

4.Степеневі функції з цілими показниками.

5.Степенева функція з раціональними показниками.

Ці теми охоплюють практично увесь зміст розділу, якщо вони для кожного класу функцій виконуються за планом:

•       Означення.
•       Приклади реальних процесів і явищ,моделями яких слугують розглянуті функції.
•       Властивості  функцій.
•       Графіки функцій.
•       Класифікація, окремі випадки розглядуваних функцій.
•       Застосування.

На контрольну роботу із теорії виносять вузлові навчальні питання теми. Але її написання полягає не в простому відтворенні теоретичного матеріалу, а у системному викладенні навчального матеріалу за певним планом. Формування тем творів і розробка планів їх написання є складним дидактичним завданням. Кількість тем має бути невеликою. У сукупності зміст тем творів повинен охоплювати основний теоретичний матеріал.

План написання твору сприяє систематизації і структуризації теоретичного матеріалу. Він має привчати учнів до загальних схем викладання навчального матеріалу:

1. обґрунтування  необхідності та природності поняття, що розглядається,

2. ілюстрація змісту поняття, його сутності за допомогою прикладів і контр прикладів, висвітлення зв’язків з іншими поняттями,

3. розрізняння видів теорем (властивостей, ознак тощо),

4. логічна послідовність викладення теоретичного матеріалу,

5. обґрунтованість викладення теоретичного матеріалу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаних джерел

 

1. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Математика.10клас: Підручник для рівня стандарту. / О.М. Афанасьєва , Я.С.Бродський, О.Л. Павлов, А.К. Сліпенко .– Тернопіль: Навчальна книга -Богдан, 2010.
2. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Математика. 10 клас : Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. Рівень стандарту./ Г.П. Бевз, В.Г.  Бевз.  – Київ : Генеза , 2010.
3. Корнес А.І. Математика (Алгебра і початки аналізу). 10клас. Рівень стандарту: Зошит для контрольних і самостійних робіт./ А.І. Корнес. – Х.: Видавництва «Ранок», 2010.
4. Корнієнко Т.Л. Математика. 10клас. Рівень стандарту: Розробки уроків./ Т.Л. Корнієнко -Х. Видавництво «Ранок», 2010.
5. Нелін Є.П. Алгебра в таблицях. / Є.П. Нелін. – Харків: Світ дитинства,2001.
6. Скляренко О.В. Математика. 10 клас. Рівень стандарту: Комплексний зошит для контролю знань./ О.В.Скляренко. – Х. : Х.: Видавництва «Ранок», 2010.
7. Старова О.О. Алгебра та початки аналізу. 10 клас. Рівень стандарту./ О.О. Старова.  - Х. : Вид. група «Основа», 2010.
8. Програма з математики для 10-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів. Рівень стандарту.
9. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу. 10-11 кл./ М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубинчук. – К.: Зодіак - ЕКО, 2001.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Панас Галина Іванівна

Викладач математики

 

 

Функції , їх властивості і графіки. Розв'язування вправ

(Розробка уроку)

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповідальний за випуск – Г.І. Панас, Н.М.Рощина

Комп’ютерний набір - Г.І. Панас

Макетування - Н.М.Рощина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Надруковано в Нововолинському вищому

Професійному училищі

4500, м. Нововолинськ ,  вул.  Центральна, 3а