Урок геометрії 8 клас. "Теорема Піфагора"

Урок №

Геометрія 8 клас

Дата:

ТЕМА УРОКУ: Теорема Піфагора.

Мета уроку:

• сформулювати і довести теорему Піфагора;
• познайомити учнів з біографією Піфагора;
• вчити застосовувати теорему до розв'язання задач;
• розвивати логічне мислення;
• розвивати інтерес до математики, вміння працювати в групі, парі.
• Виховувати самостійність, толерантність, наполегливість у здобутті знань

Тип уроку: урок засвоєння нових знань.

 Обладнання: підручник А.Г. Мерзляк, «Геометрія». 8 клас, 2016 рік, презентація. проектор, екран, компютер.

Девіз уроку: «Теорема Піфагора – це головна і найкраща теорема геометрії» (О.Д.Александров).

 Портрет  Піфагора  Самоського.

І.  Організаційнийетап

Перевірити готовність учнів до уроку, налаштувати на роботу

ІІ.  Актуалізація знань учнів

Фронтальне опитування:

• Назвати проекції катетів АС і ВС на гіпотенузу АВ
• Сформулювати лему про висоту прямокутного трикутника, проведену до гіпотенузи.
• Сформулюйте метричні співвідношення в прямокутному трикутнику

Задача 1 Розв'язати усно:

. 1. Висота прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на два відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до гіпотенузи.

2. Знайдіть катет прямокутного трикутника якщо його гіпотенуза дорівнює 27 см а проекція шуканого катета на гіпотенузу - 3 см.

Онлайн – тест метричні співвідношення в прямокутному трикутнику

ІІІ.  Вивчення нового матеріалу

Доведення теореми Піфагора

Науці відомо близько 100 варіантів доведення теореми Піфагора. Враховуючи набуті знання при вивченні попередньої теми «Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику», скористаємося для доведення методом подібності.

Нехай ABC – прямокутний трикутник, в якому кут C прямий, як показано на малюнку. Проведемо висоту з точки C, і назвемо H точку перетину з стороною AB. Утворений трикутник ACH подібний до трикутника ABC, оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і в них спільний кут A, очевидно третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуючи, трикутник CBH також подібний до трикутника ABC. З подібності трикутників: якщо BC=a, AC=b, AB=c, тоді  a:c=HB:a,  b:c=AH:b.

Це можна записати у вигляді  a² =c×HB,  b² =c×AH.

Якщо додати ці дві рівності, отримаємо:

Іншими словами, Теорема Піфагора:

Історична довідка

      Піфагор народився близько 580 р. до н.е. на острові Самос. Там у сім'ї “золотих діл майстра” народився син. За давньою легендою, молодому подружжю Мнесахера і Парфеніси оракул устами бога Аполона Піфійського пророчив народження сина, який прославиться у віках своєю мудрістю, ділами і красою. Тому, коли народився син, йому дали ім'я Піфагор, тобто передбачений Піфієм.

      Піфагор і справді виявив неабиякі здібності до наук. У свого першого вчителя Гермодамаса він вивчив основи музики і живопису. Пам'ять тренував завчаючи пісні “Одіссея” та “Імада”. Зовсім юним він залишив Батьківщину і вирушив до Єгипту. Але до Єгипту ще далеко і він на острові Лесбос у своїх родичів під опікою Фалеса кілька років навчався астрології, передбаченню затемнень, таємниці чисел, медицині, Піфагор відвідав також Вавілон, де він вивчив теорію чисел. Всі ці подорожі сприяли тому, що Піфагор став найосвіченішою людиною свого часу. В 60 років Піфагор повертається на свою батьківщину, де організовує школу, яка діяла майже 30 років.

      Школа Піфагора – це заклад зі строго обмеженою кількістью учнів з аристократії і потрапити туди було дуже нелегко. Претендент мав витримати кілька іспитів. Піфагорійці прокидалися зі світанком, співали, акомпануючи собі на мрії, потім робили гімнастику, вивчали теорію музики, філософії, математики, астрономію та інші науки.

      Навчання в школі було двоступінчатим. Одні учні називалися “математиками”, тобто пізнавачами, а інші – “акусматиками”, тобто слухачами. Школа була одночасно і філософською і політичною партією і релігійним братством. Наприкінці V століття до н.е. в Греції прокотилася хвиля демократичного руху. Піфагор з учнями переїхав у Тарент, а звідти в Метапонт, де відбулося народне повстання. В одній із нічних сутичок і загинув майже 90 літній Піфагор.

      Основна ідея Піфагорійців “Початком усього є числа”. Без них нічого б не було і не було б порядку, гармонії. Піфагорійці приписували числам різні властивості. Парні числа вважалися нещасливими, а непарні – щасливими. Так, вважається, що слід дарувати букет з непарної кількості квіток. Піфагорійці розбили всі числа на непарні – “чоловічі”, і парні “жіночі”. Символ шлюбу складався із суми чоловічого непарного числа 3 і жіночого числа 2, тобто 5. З цієї причини прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, 5 називали фігурою нареченої. Піфагорійці винайшли і досконалі числа, які дорівнювали сумі своїх дільників (крім самого числа). Наприклад 6=1+2+3, або 28=1+2+4+7+14.

      Увесь світ, на думку піфагорійців, був побудований на перших чотирьох непарних і перших чотирьох парних числах, а тому найстрашнішою клятвою в них вважалась клятва числом 36. За їх теорією число 666 – це “число звіра”, воно дорівнює сумі квадратів перших семи простих чисел; воно дорівнює сумі перших 36 натуральних чисел і багато іншого. Піфагор пильно вивчав співвідношення чисел і застосував їх у музиці. Піфагорійці дійшли висновку, що якісні відмінності звуків обумовлюються кількісними розходженнями довжин струн. Наприклад, відношення числа коливань у чистої квінти 2:3, у кварті 3:4, октави 1:2. Гармонійний акорд виходить при звучанні трьох струн, коли їхні довжини зіставляються зі співвідношенням чисел 3, 4 і 6.

      Трикутник зі сторонами 3, 4, 5 називають також Піфагоровим. Піфагорових трикутників безліч (5; 12; 13), (6; 8; 10), (8; 15; 17), (7; 24; 25) і т.д. Застосування теореми Піфагора рsзноманітне:

• для вимірювальних робіт (це знали ще в III тис. до н.е.);
• для геометричного знаходження квадратних коренів з цілих чисел;
• для знаходження степенів цілих чисел тощо.

      Те, що Піфагор пов'язав реальний світ з числовими закономірностями, дало змогу більш пізнім поколінням учених зрозуміти краще світ і глибше.

ІV. Закріплення нових знань і вмінь учнів

Розв'язування задач за підручником

Робота в парі

Робота в групі

У прямокутній трапеції АВСД з основами АД і ВС, кут А – прямий,         АВ = 4дм. З вершини С до основи АД проведений перпендикуляр СК,          КД = 3дм,  Знайдіть СД.

Самостійна робота

I варіант. Сторона ромба дорівнює 5см, а його менша діагональ 6см. Знайдіть велику діагональ ромба.

Розв’язання:

Ми знаємо, що за властивістю діагоналей ромба  АСВД і АО = ОС = 3см.

Отже ∆АОВ – прямокутний.

За теоремою Піфагора: 

АВ²=АО ²+ ВО²,

(см),

ВД  = 2ВО = 8 (см).

Відповідь: 8см.

ІІ варіант. Знайдіть діагональ прямокутника, якщо одна з його сторін дорівнює 8см, а периметр 46см.

Розв’язання:

Р = 46см,  АВ + ВС = 46:2 = 23 (см),

АВ = 23 – 8 = 15(см).

∆АВС – прямокутний. За теоремою Піфагора:

АС² = АВ² + ВС²,

.

Відповідь: 17см.

Перевірка самостійної роботи. Кожен перевіряє і порівнює свій розв'язок із представленим на слайді, оцінює свою роботу.

V.  Рефлексія, домашнє завдання

1. Виставлення оцінок.

2. Цікаві вислови про теорему Піфагора:

• “ Піфагорові штанці файні є у три кінці ”.
• “ Піфагорові штани на всі боки рівні ”.
• “ Хто в сорочці Піфагора – піднось руки вгору ”.

3. Моральні правила Піфагора:

• Роби тільки те, що не засмутить тебе і не примусить розкаюватись.
• Навчись тому, що слід знати.
• Не нехтуй здоров'ям свого тіла.
• Привчайся жити просто і без розкошів.
• Твори велике, не обіцяючи великого.
• Не давай дурневі в руки меч, а нечесному – владу.

VI. Домашнє завдання

П. 16 – опрацювати, вміти доводити теорему,

№ 531, 533, 535, 538

Використані ресурси:

1. Підручник «Геометрія», 8 клас, Мерзляк А.Г. та інші, 2016 рік.
2. Інтернет – ресурс.