Урок " Геометрична прогресія "

                                                                                          Миколаївська область

                                                                                          Первомайський район

                                                                                          Катеринківський НВК

                                                                                          Катран Ж.С.-вчитель

                                                                                          математики

 

 

 

 

Тема.   Геометрична прогресія .  

Мета:          Узагальнити знання про геометричну  пpoгpeciю . Удосконалити вміння розв.язувати задачі на обчислення суми геометричнох прогресії.

                       Розвивати вміння працювати за зразком з коментуванням своїх дій, логічне мислення, вміння аналізувати, робити висновки,    життєві компетентності учнів .

                        Виховувати iнтерес до знань, стараннiсть,  відповідальність, віру у свої можливості, комунікативну компетентність. 

Тип уроку: закріплення знань і формування вмінь.

 

Обладнання: пiдручники, дошка, крейда, роздавальний матерiал, завдання для     груп, 

Очiкуванi результати:

Пiсля уроку учнi зможугь:

- застосовувати теоретичнi відомостi про пpoгpecii до розв'язування вправ;

- навчитися сприяти свiдомому застосуванню вивченого матерiалу пiд

час розв'язування задач;

- звертатися до власного досвiду та залучати його до розв’язування вправ;

- набути навичок роботи в малих групах;

- набути навичок творчо мислити.

 Методи і прийоми: iнтерактивнi технологii «Навчаючи - учусь»,

«Робота в малих групах»  «Мікрофон» , створення «Опорних схем»,тести, вправа «Встанови закономірності».

Епiграф:

Можна й nompiбнo для задач брати приклади з довкiлля.

 

                                             Хід уроку

                           

 

 

 

 1.  Етап організації

   Один математик  сказав: «Є одна наука, без якої неможлива ніяка наука. Це – математика. Її поняття та символи слугують тією мовою, якою говорять, пишуть і думають інші науки, вона пояснює закономірність складних явищ, приводить їх до простих, елементарних явищ природи. Вона прогнозує, обчислює далеко вперед з великою точністю хід речей».

 2. Етап цілепокладання

  Отже сьогодні на уроці ми переконаємося в практичному застосуванні знань .   Навіть при розгляданні такої теми, як   «  Геометрична прогресія». Запишіть число і тему уроку.

Яка, ви вважаєте,   чим ми будемо займатися на даному уроці ?

  Учні пропонують: застосування формул n-го члена геометричної  прогресії, визначення геометричної прогресії, а також властивостей членів геометричної прогресії для розв’язування задач. Повторити також формули арифметичної прогресії.

 Будемо розвивати творчі здібності, шляхом розв’язання задач творчого, практичного характеру. На сьогоднішньому уроці ми побачимо, як можна застосувати вивчене в житті, в науках.

Виховувати   повагу  один до одного.

3 . Етап проектування

План проведення уроку, я пропоную, такий:

  1. Повторити теоретичний матеріал( формули).  Ментальні карти

       2. Перевірка домашнього завдання. 

 3.Тести по застосуванні формул при обчисленні.

      4.Задача  Магніцького  «Купівля  коня»

      5. Задачі практичного змісту    

      6. Підсумок уроку

 

4.Етап виконання плану діяльності

   1. Вправа «Ментальні карти»( учні, що створюють схему отримують   балів)

Переходимо до виконання плану діяльності. Тобто створення опорних схем. Перша пара учнів ( з 1-ї команди  ) створює конспект-схему на дошці використовуючи кольорову крейду.  Інша пара учнів ( з 2-ї команди) створює аналогічний конспект на магнітній дошці , але їм дано ряд формул( серед них є і не вірні) , ключових слів.

     Після цього кожна пара учнів представляє свою роботу, аналізує формули. ( команди оцінюють роботу).

  2.Відтворити  домашнє завдання( учні які виконали домашнє завдання мають 1 бал)

№ 726( ст. 177)( учень, що пояснив завдання отримав 2

 

 

 

 

 

   3. Решта учнів в цей час працюють з формулами «встанови відповідність» 

( кожна вірна відповідь по 0,4 бала)

 

 

                                Встанови відповідність

1. Знаменник геометричної прогресії :

 

2. Формула n- го члена арифметичної

     прогресії :

 

3. Формула n-го члена геометричної

      прогресії:

 

4. Сума геометричної прогресії:

 

5. Сума арифметичної прогресії :

 

6. Різниця арифметичної прогресії:

 

7. Сума нескінченної геометричної

            прогресії:   g <1

 

 4. Робота з тестами ( на закріплення   формул)

( кожна відповідь по 0, 5 балів)

 

1.Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?

 

 

А) 2; 6; 18; 36;                                    В) 4; 8; 16; 32;

Б) 80; 40; 20; 5;                                   Г)2; -10; 50; 250.

 

 

2.Укажіть серед наведених послідовностей  геометричну  прогресію?

 

 

А) 6; 18; 54; 162;                                В) 3; 8; 13; 18;

Б) 1; 2; 3; 5;                                         Г) 21; 19; 17; 15.

 

 

3.Знайдіть знаменник геометричної прогресії  (bn), якщо b6 = 14 / 15    

    b7 =2 /3.

 

 

А) 3/7;                   Б) 5/7;                В) 7/5;              Г) 7/3.

 

 

4.Знайдіть перший член  геометричної прогресії, якщо її другий член      b2 =12, знаменник q = -3.

 

 

А) 4;                      Б) -4;                  В) 36;               Г) -36.

 

 

5.Чому дорівнює п’ятий член  геометричної прогресії, якщо її перший член b1 = 405, а знаменник q = -⅓?

 

 

А)-5;                      Б) 5;                   В)-3;                 Г) 3.

 

6.Знайти невідомий член геометричної прогресії: 3;  х; 27; 81.

 

 

А) -9;                      Б) 9;                   В)3;                 Г) 343.

 

 

 

В ч и т е л ь. Ви добре впорaлися з усними  вправами. Розв'яжемо ще ось таку задачу. «Учень повинен пройти від столу вчителя до дверей по прямій лiнiї за таким законом: перший крок він робить 1 м,   а довжина наступних  кроків   в 2 рази менша за довжину попереднього( другий – 1/2м, третій – 1/4 м i т. д. ) . Чи дійде цей учень до дверей, якщо відстань від столу до дверей 3 м?»Одного учня визвати виконати  таке завдання, команди роблять розрахунки та аналізують їх

( формула нескінченної геометричної прогресії)

Колективне розв’язування задачі: S=1/(1-0,5)=2 (усно)

 В ч и т е л ь. Розв'язуючи цю задачу, ви, мабуть, помітили, що вона ви­никла з потреб реального життя. Тому я хочу звернути вашу увагу на девіз нашого сьогоднішнього уроку.

 

1. Пропоную вам аналогічну задачу:   «Купівля коня»

Купець продав коня за 150 крб. Але покупець, придбавши коня, передумав купувати і повернув його, говорячи: «Нема мені користі купувати за цю ціну коня, який таких грошей не вартий». Тоді купець запропонував інші умови: «Якщо по-  твоєму ціна за коня дуже висока, то купи лише її підковні цвяхи,  коня ж одержиш безкоштовно в додаток. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях дай мені всього – 1/4 к., за другий цвях – 1/2к.., за третій -1 к., i т. д.»

Покупець, спокусившись низькою ціною і бажаючи безкоштовно отримати коня, прийняв умови купця, думаючи, що за цвяхи доведеться заплатити не більше 10 крб. На скільки покупець проторгувався?

Розв’язання: S₂₄=( 2²⁴-1):2≈41943 (крб.); 41943-150=41793 (кр

 

 

Пам’ятайте народну мудрість: «Безкоштовний сир буває тільки в мишоловці».

 

Вчитель: А чи існують задачі сучасні, де потрібно  застосувати формули арифметичної чи геометричної прогресії? …   Уявимо, що ми хочемо відкрити власну фірму по виготовленню дитячих іграшок. Потрібно мати приміщення, відповідне обладнання ну і стартовий капітал, якого на жаль у нас не має. Постає питання, як нам бути? ( діти пропонують взяти кошти в банку).

 

1. Почнемо з кредиту в банку. На ваш розгляд надійшло дві

пропозиції: "Приватбанк" пропонує кредит у 30 000 грн під 10% річних

на залишок кредиту на 10 років зі щорічною виплатою 1/10 частини

кредиту; "Аваль" пропонує цю ж суму на той самий строк під 10% від

суми кредиту.

Отже, шановні майбутні власники, ваше рішення: яким банком ви б

скористалися? (Групи учнів ведуть розрахунки і представляють свої дослідження).

 

Складемо послідовність щорічних виплат отриманого кредиту.

Кожний рік залишок кредиту зменшується на

30 000 1/10 = 3000 (грн.)

Тоді відсоткові виплати за 1 рік становлять:

(30 000-3000) 0,1 = 2 700 (грн.)

За другий рік: (30 000 – 2 3 000) 0,1 = 2 400 (грн.)

За третій рік: (30 000 – 3 3 000) 0,1 = 2 100 (грн.)…

За дев'ятий рік: (30 000 – 9 3 000) 0,1 = 300 (грн.)

За десятий рік: 0 грн.

Отже, отримали арифметичну прогресію, різниця якої 300 грн.

Тому, для обчислення всіх відсоткових грошей скористаємося

формулою суми арифметичної прогресії:

S = (2700+300) : 2 9 = 13 500 (грн.)

 

 

  Тепер обрахуємо пропозицію банку "Аваль".

Якщо взяти 30000 грн на 10 років під 10% річних на суму кредиту, то

відсоткові виплати будуть дорівнювати:

30 000 0,1 = 3 000 (грн.) щорічно,

а років 10, тому всі відсоткові виплати дорівнюють

3 000 10 = 30 000 (грн.) !!!

Отже, пропозиції "Приватбанку" більш вигідніші.

 

2. Тепер податки. Податки - обов'язкові платежі, які держава стягує з

метою поповнення державного бюджету.Платежі можна сплачувати

щомісячно або в кінці року.

Ваш вибір, шановні власники!

Відповіді представників груп.

Нехай прибуток за місяць складає 10000 грн. Податок виплачується в

розмірі 20% від прибутку. За рік податок виплачується в кінці звітнього

періоду, але за кожний місяць прострочки необхідно платити не тільки

податок , але і 0,1( 10% ) від суми податку.

 

Якщо платити кожний місяць: Знайдемо20% від 10 000 ( 0,2 * 100 00

=2000 грн.) . Значить за рік ( тобто 12 місяців ) ми виплатимо

12 * 2 000 = 24 000 (грн.)

 

В кінці року у випадку прострочки маємо:

за грудень: 20% від 10 000 грн. ( 2 000 грн.)

за листопад: 2 000 + 0,1 * 2 000 = 2 000 +200 = 2200 грн.

за жовтень: 2200 + 0,1 * 2 000 = 2200 + 200 = 2400 грн.

за вересень: 2400 + 0,1 * 2 000= 2400 + 200 = 2600 грн. і т.д.

Тобто, отримали арифметичну прогресію, де

а =2000 d = 200. Необхідно знайти S .

Дві групи разом: S = (2a + d * 11)/2*n

S = (2* 2 000 +200*11)/2*12= 37 200 грн.

 

Висновок: невигідно платити податки в кінці року: переплата більша як

у 1,5 рази.

 

 

3. Поговоримо про рекламу. Реклама – форма звернення до

споживачів з метою залучити увагу до товарів чи послуг.

Представники двох рекламних агентств хочуть запропонувати свої

послуги .

 

Фірма"Прогрес" на професійному рівні виготовить

різноманітні рекламні проспекти вашого міні маркету. Умови оплати

такі: за першу партію 100 умовних о., а кожна наступна на 4% дешевша за

попередню.

 

Представник фірми « Омега» пропонуєвам

послуги своєї фірми. Умови оплати: перша партія коштує 100 умовних о., а

кожна наступна має знижку 10% .

Порахуємо чия пропозиція вигідніша.

Ваш вибір, шановні власники!

 

Відповіді представників груп.

Фірма «Прогрес»:

те, що кожна наступна партія на 4% дешевше попередньої, говорить

нам про те, що маємо справу з   арифметичною прогресією а = 100                        d = - 4 ;

 

Фірма « Омена»: знижка 10% означає, що маємо справу з

геометричною прогресією

в = 100 q =0,9 ( 100% - 10 % = 90 % = 0,9 )

Якщо треба розмістити замовлення на 3 партії, то необхідно

знайти S . Зробимо обчислення:

Фірма «Прогрес»

S = в * (q – 1)/ (q – 1)

S = 100 * (0, 9 – 1)/ (0, 9 – 1) = 271 у.о.

Фірма « Омега»

S = (2a + d*2)/2*n

S3 = (2* 100 – 4*2)/2*3 = 288 у.о.

Висновок: вигідніше розмістити замовлення , використавши послуги

фірми « Прогрес».

 5. Етап контрольно-оцінювальний.    

    Урок закінчуєтья . І мені ще раз хочеться вам

нагадати, що сьогодні на уроці ми заглянули не тільки в галузь

математики, але і в економіку і просто в доросле життя. Ми ще  раз переконалися, що  і математика дуже тісно пов'язана із реальним

життям.

   Зрозуміло, що дати повну інформацію про економічний світ на одному

уроці неможливо. Для одних з вас цих знань достатньо, хто більше

зацікавився наукою, знайде відповіді у спеціальних підручниках.

Однак, в  будь якому випадку хотілось, щоб ви відчули, що світ Фінансів –

дивовижний світ, і без знань про нього прожити сучасній людині дуже

 важко !

  Інтерактивна вправа «Мікрофон»

Учням  ставляться запитання:

1. Що ми робили на уроці?

2. Що нового ви навчилися на сьогоднішньому уроці?

3. Чи сподобався вам спосіб, за допомогою якого ви вчилися розв'язувати задачі?

4. Що сподобалось особливо під час уроку? Що не сподобалось?

5. Що могло бути організовано краще, корисніше?

          Виставлення оцінок за урок.

Домашнє завдання.повт п.17 – 18.№751 ,  №752 . Скласти 2-3 задачі, в розв’язуванні яких

застосовуються прогресії. Або запропонувати розв,язати задач підготовлені вчителем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Задача.

Одного разу незнайомець постукав у вікно до багатого купця i запро­понував таку угоду: "Я буду кожного дня протягом 30 днів приносити тобі по 100 000 крб. А ти мені першого дня за 100 000 крб. даси 1 к.,  другого дня за 100 000 крб. –  2 к. i так кожного дня будеш збільшувати винагороду в 2 рази. Якщо ти зацікавився цією угодою, то з завтрашнього дня i  почне­мо".  Купець зрадів такій нагоді розбагатіти. Він підрахував, що за 30 днів отримає  від  незнайомця

 3 000 000 крб. Наступного дня пішли вони до но­таріуса i підписали угоду. Хто в цій угоді програв: купець чи незнайомець?

Розв’язання: S₃₀=2³⁰-1≈10  937 418 (крб.), програв купець.

 

  Задача Феофана Прокоповича

Якась людина має багато коней, і всім їм різна ціна. Найгірший кінь коштує 4 золотих, а найкращий 55 золотих, і ціна від одного до другого коня  весь час піднімається на 3 золотих. Питаємо: скільки ж усього було коней?

Розв’язання: a₁=4, a_n=55, d=3, a_n=a₁+d(n-1), n=(a_n-a₁):d+1,  n=18.

 

 

Вавилонська задача з клинописних табличок

10 братів,1 ⅔  міни срібла. Брат над братом піднімається, на скільки

піднімається, не знаю. Для восьмого 6 шенкелів. Брат над братом – на скільки він вище?

 

Єгипетська задача із папiрусу Ахмеса

Нехай тобі наказано: розділи 10 мір ячменю між 10 людьми, різниця ж між кожною  людиною та його сусідом дорівнює мipi.