Урок-ділова гра

Мета. Узагальнення знань учнів з даної теми. Роз­вивати уміння застосовувати  

здобуті знання на прак­тиці. Показати учням практичне застосування знань про

прогресії. Виховувати інтерес до предмету.

Тип уроку. Урок узагальнення знань з теми «Про­гресії».

Організаційна робота.

Клас ділиться на 4 групи.

1.  Історики повідомляють історичні відомості, цікаві факти з даної теми з елементами імпровізації.

2.  Теоретики дають обґрунтування даним фактам з наукової точки зору, виводять формули.

3.  Практики показують застосування формул в практичних задачах.

4.  Експерти вивчають помилки, допущенні під час роботи, дають рекомендації з їх усунення, роблять висновки.

Хід  уроку

1.  Організація класу.

2.  Вступне слово вчителя.

Ми живемо в третьому тисячолітті, але досягнен­ня науки і техніки дають нам можливість з допомо­гою машини часу повернутись в друге тисячоліття до нової ери. Вже в папірусі, який складений близько 2000 років до н. е., знаходимо задачу про нагород­ження винахідника шахів (цю легенду ми розгляда­ли на уроці). Наші історики знайшли відомості, що цей папірус переписаний з папіруса, який належав третьому тисячоліттю до н. е. Надаємо слово нашим історикам, які довго вивчали стародавні папіруси і принесли нам нові факти до теми «Прогресії», яку ми щойно вивчили.

Слово «Історику», який розповідає легенду про нагороду полководця Терентія («Жива математика», Перельман).

Легенда в ролях  «Вигідна угода»

Зустрічаються мільйонер і незнайомець.

Незнайомець. Бачу, ти багатий чоловік. Давай ук­ладемо з тобою таку угоду. Я буду цілий місяць щод­ня тобі приносити по 100000 карбованців. Не за да­ром, звичайно, але плата невелика. У перший день ти заплатиш 1 копійку.

Мільйонер. Що ти говориш, я вухам не вірю. Од­ну копійку?

Незнайомець. Одну копійку. Другого дня ти за­платиш мені 2 копійки, третього — 4 копійки, чет­вертого — 8 копійок. І так цілий місяць, кожного дня в двічі більше, ніж за попередній.

Мільйонер. І потім що?

Незнайомець. Все, більше нічого. Тільки чітко до­тримуватись угоди. Але раніше, як через місяць, уго­ду розривати не смій!

Вони розійшлися.

Мільйонер. Оце так удача! І справді, гроші на гроші біжать. Моїй радості не має краю.

(Показати 2-3 дні, як вони обмінюють копійки на пачки по 100000).

Далі ведучий записує на дошці результат угоди.

1-й день 100000                                           1 коп.

2-й день 100000                                           2 коп.

3-й день 100000                                           4 коп.

4-й день 100000                                           8 коп.

28-й день 100000                  1342177 крб. 28 коп.

29-й день 100000                 2684354 крб. 56 коп.

30-й день 100000                 5368709 крб. 12 коп.

                 3000000 крб.       10737418 крб. 23 коп.

Вчитель. Багатьом здається, що математика, це та­ка наука, яка немає жодного зв'язку з природою, тваринним світом. Насправді, жива природа теж жи­ве за математичними законами (в ідеалі).

Ми знаємо, наприклад, симетрію, можемо навес­ти багато прикладів симетрії в природі.

Прогресії теж знаходять своє місце в живому світі.

«Історики» продовжують розповідати факти.

1.  Швидке розмноження (про маківки і кульбабки). Учні заготували плакати з розрахунками зазда­легідь, щоб наочно продемонструвати розмноження, яке (в ідеальних умовах) відбувається за законами ге­ометричної прогресії (Перельман).

2.    «Історики»   повідомляють   про   розмноження тварин: кроликів, лангустів та комах (мух) (та ж літе­ратура).

Вчитель. Законами геометричної прогресії корис­туються також шахраї. Розповідаю про розповсюд­ження так званих «акцій», які зовсім недавно захоп­лювали наше населення.

«Історики» повідомляють про «Лавину дешевих велосипедів» (там же).

Слово надається теоретикам.

Теоретики виводять формули арифметичної і гео­метричної прогресій.

1)      а_n = а₁ + d (n - 1)

S_n = ((a₁ + а_n)/2) ^. n

S_n = ((2a₁ + d (n - 1))/2) n

2)      b_n = b₁q ^(n-1)

Sn = (b₁(qⁿ - l))/(q - 1)

S = b₁/(l - q)

Вчитель. Приклади застосування арифметичної прогресії в житті: вартість телеграм, вартість проїзду в таксі та інше.

В дію вступають «практики».

Розповідь про Гаусса (математична шкатулка). Треба підрахувати суму чисел від 1 до 100.

Задача очень не проста

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа.

Пять первых связок изучи

Найдешь к решению ключи.

Запис на дошці: 1+2 + 3 + 4 + 5 + .... + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

1  +  100 =  101

2  + 99 =  101

3  + 98 = 101

4  + 97 =  101

5  + 96 =  101

Всього таких пар 50

S =  101 х 50 = 5050

S =1 + 100/ 2 х 100 = 5050

Давным-давно сказал мудрец,

Что прежде всего надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

Наступний «практик» розв'язує рівняння:

(х² + х + 1) + (х² + 2х + 3) + (х² + Зх + 5) + ... + (х² +20х + 39)  = 4500

Якщо уважно проаналізувати, то можна побачити:

х² + 2х+3-(х² + х+1)=х + 2

х² + Зх + 5 -  (х² + 2х + 3)  = х + 2 ...

Тобто члени рівняння складають арифметичну прогресію, кількість членів якої дорівнює 20.

S = ((a₁ + a_n)/2)^*n

((х² + х +  1  + х² + 20х + 39)/2) 20 = 4500

((2х² + 21х + 40)/2)^*20 = 4500

(2х² + 21х + 40)^*10 = 4500

2х² + 21х + 40 - 450 = О

2х² + 21х - 410 = О

D = 441  + 3280 = 3721

х_1,2 = (-21±61)/4

x₁ = -20,5; х² =  10

Хвилина відпочинку

Задача 1.

За 1 хвилину із однієї бактерії утворюється дві. Одна бактерія разом зі своїм потомством заповнює пробірку за 1 годину. За який час цю ж пробірку за­повнять дві бактерії? (59 хвилин)

Задача 2.

Є книга, що містить 16 подвійних аркушів. На якому аркуші сума чисел, якими пронумеровані сторінки, буде найбільшою? (Однакова)

Задача про сто мір хліба (продовжують практики)

Сто мір хліба розділити між п'ятьма людьми те щоб другий одержав на стільки ж більше від першого, на скільки третій одержав більше від другого, четвертий від третього, а п'ятий від четвертого. Крім того, двоє перших мають одержати в 7 разів менше, І трьох інших.

Скільки треба дати кожному?

Нехай a₁ — 1 член прогресії, d — різниця

Одержать:

I-a₁

II — a₁ + d

III — a₁ + 2d

IV — a₁ + 3d

V — a₁ + 4d

a₁ + a₁ + d + a₁+2d + a₁+3d + a₁ + 4d = 100

7 (a₁ + a₁ + d) = a₁ + 2d + a₁ + 3d + a₁ + 4d

5a₁ +  l0d = 100  

14a₁ + 7d = 3a₁ + 9d

a₁ + 2d = 20

11a₁ - 2d = 0

12a₁ = 20

a₁ = 20/12 = 10/6 = 5/3=1 2/3 (мір хліба)

I  2/3 + 2d = 20

2d = 20 -  1 2/3 2d = 18 1/3

d =  18 1/3 : 2 = 9 1/6 1—12/3

II — 1 2/3 + 9 1/6 =  10 5/6

III — 10 5/6 + 91/6 = 20

IV — 20 + 9 1/6 = 29 1/6

V — 29 1/6 + 9 1/6 = 38 1/3

Продовжують практики.

Задача про купівлю коня.

Чоловік продав коня за 156 крб. Покупець передумав його купувати і повернув назад, сказавши, що дуже висока ціна. Тоді продавець запропонував такі умови.

Якщо для тебе це зависока ціна, то купи тільки цвяхи з його підків, а коня одержиш в додачу безкоштовно.

Цвяхів у кожній підкові 6. Дай мені:

за I цвях — 1/4 копійки

за 2 цвях — 1/2 копійки

за 3 цвях — 1 копійка і т.д.

Покупець дуже зрадів і погодився.

За 24 цвяхи йому довелося заплатити

1/4 +  1/2 + 1 + 2 + 22 + Т + ... + 224-3 копій

S = (2^21* 2 -  1/4) / (2 -  1) = 2²² -  1/4 = = 4194303 3/4 коп.

Тобто близько 42 тис. крб.

Задача про годівлю курей.

(«Цікава алгебра», cm. 160, Перельман)

Для 31 курки заготована деяка кількість корму із розрахунку по 1 декалітру на тиждень на кожну курку. При цьому передбачалось, що кількість курей змінюватись не буде. Але насправді кількість курей щотижня зменшувалась на 1, тому корму вистачило на подвійний період.

Скільки ж було корму і на скільки часу розрахо­вано?

Розв'язок.

Нехай було заготовлено х декалітрів корму на у тижнів. Корм розрахований на 31 курку по 1 де­калітру в тиждень, тоді х = 31 у.

За перший тиждень витратили 31 дл, за другий 30, за третій 29 і так далі до останнього тижня подвоєно­го періоду було витрачено 31 — 2у + 1 дл

(1 день — 31 дл

2 день — 31 —  1 дл

3 день — 31  - 2 дл

..........

2у - х - 31  -  (2у -  1)  = 31  - 2у +  1 дл)

Отже, весь запас корму:

х = З1у = 31 + 30 + 29 + ... + (31 - 2у +  1)

Знайдемо суму 2у членів прогресії, а1 = 31,

а а_n = 31 - 2у + 1

З1у = ((31 + 31 - 2у + 1) 2у )/ 2 = (63 - 2у) у, у Ф 0, тому 31 = 63 — 2у, у = 16, звідси

х = З1^*у = 31^*16 = 496

Заготовлено було 496 декалітрів корму на 16 тижнів.

Всі учні одержують завдання на картках на засто­сування формул прогресій.

1)  a₁ =  12, d = - 2. Знайти а₁₀.

2)  a₁ = 3, a₂₀ = 57. Знайти S₂₀.

3)  x₁ = 16, д = 1/2. Знайти х₇.

4)  3; - 6; 12; - 24, ... Знайти S₆.

5)    Знайти  суму нескінченної   геометричної   прогресії: 2/3; 4/9; 8/27; ...

Слово надається експертам.

Підсумок уроку