Розробка конспекту уроку на тему «Геометрична прогресія, її властивості ».

Мета уроку.

Освітня: дати означення геометричної прогресії, її знаменника, рекурентної формули та основної властивості геометричної прогресії; формувати вміння розпізнавати геометричну прогресію серед інших послідовностей.

Розвивальна: розвивати  пізнавальну(вміння навчатися та оперувати знаннями) та соціальну(здатність працювати в групі) компетентності, логічне мислення, вміння співставляти та аналізувати, висловлювати свою думку.

Виховна: виховувати  культуру математичної мови, творчу активність, почуття відповідальності.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: підручник, тестові завдання.

План

І. Організаційний етап. (1 хв)

ІІ. Перевірка домашнього завдання. (4 хв.)

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності. (2 хв.)

IV. Актуалізація опорних знань і вмінь учнів. (5 хв.)

V. Вивчення нового матеріалу. (15 хв.)

VI. Формування вмінь учнів. (15 хв.)

VII. Підсумок уроку. Оцінювання учнів. (2 хв.)

VIII. Домашнє завдання. (1 хв.)

Хід уроку

І. Організаційний етап.

Привітання. перевірка присутності учнів на уроці.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Тестові завдання.

1. Числа, які утворюють послідовність, називаються її…

а) доданками, б) співмножниками, в) сумою, г) членами.

Відповідь. г).

2. Якщо послідовність задана формулою a_n = 4n², то її першим членом є число…

а) 0,   б) 4,   в) 8,   г) 36.

Відповідь. б).

3. Формула a_n = n + 1 є формулою n-го члена послідовності…

а) 0; 1; 2; 3; … б) 1; 2; 3; 4,… в) –1; 2; –4; 8; –16; 32… г) 2; 6; 18; 54…; 

Відповідь. б).

4. Із вказаних послідовностей арифметичною прогресією є …

а) 45; 15; 5; ; ; б) 4; 9; 9; 4; в) 2; 4; 8; 16;   г) 15; 17; 19; 21.

Відповідь. г).

5. Якщо перший член арифметичної прогресії дорівнює 8, а різниця 3, то другий її член дорівнює …

а) 5; б) 24;   в) 18;   г) 11.

Відповідь. г).

6. Відомо, що в арифметичній прогресії (a_n) a₁ = 4, a₂ = 6. Тоді така прогресія…

а) спадна; б) зростаюча;   в) стала;   г) інша відповідь.

Відповідь. б).

7. Щоб знайти різницю арифметичної прогресії 9; 11; 13; 15; …, треба…

а) 9 + 11;   б) 9 - 11;     в) 9·11;   г) 11 - 9.

Відповідь. г).

8. Формула n–го члена арифметичної прогресії a_n = a₁ + (n – 1)d . Щоб обчислити a₁₁ , якщо a₁ = 3, d = 8, треба …

а) 3+(8-1)·11;   б) 3+(11-1)·8;   в) 8+(11-1)·3;   г) 8+(3-1)·11.

Відповідь. б).

9. Якщо (a_n) – арифметична прогресія і a₁ + a₂₁ = 54, то сума                    a₂ + a₂₀ дорівнює …

а) 22;   б) 18;   в) 54; г) 108.

Відповідь. в).

В кінці уроку учні здають зошити на перевірку.

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності.

Виберіть зайву прогресію, проаналізуйте відмінність цієї послідовності від арифметичної прогресії.

1) 15; 13; 11; 9; 7; …                                                     

2) 2; 4; 8; 16; 32; …

3) -3; -5; -7; -9; -11; …                                                

 4) 4; 9; 14; 19; 24; …

Відповідь. 2)

Варіанти відповіді  1), 3), 4) – арифметичні і прогресії, а варіант 2) не належить до арифметичних прогресій, тому що утворена послідовність,  кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне і те саме число.

Вч. Як бачите серед нескінченної кількості різних за видами числових послідовностей, крім вивчених на попередніх уроках, можна виділити інші види: у яких кожний наступний член, на відміну від членів арифметичної прогресії, дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме число. (формулюється тема і мета уроку).

IV. Актуалізація опорних знань і вмінь учнів.

1. Знайдіть значення функції, заданої формулою у = 5х⁴  при х = 0; 1; -1.

Відповідь. 0; 5; 5.

2. Знайдіть:

1)      значення функції, заданої формулою у = 3х⁵ при х = 0; 1; -1;

Відповіідь. 0; 3; -3.

2)      при якому значенні аргументу значення функції у = х² – 3х + 2 дорівнює 0; 2; -2;

Відповідь. 2; 3; 4.

3. Спростіть вираз: 1)  ;     2)  ;     3) 3^1-n ∙ 3ⁿ.

Відповідь. 2; ; 3.

4. Розв’яжіть рівняння:  а) х³=27;   б) у⁵=32;   в) х²=3  

Відповідь. 3; 2;.

V. Вивчення нового матеріалу.

Вивчення матеріалу уроку по­чинається з формулювання означення геометричної прогресії (учні підготовлені до його сприйняття на попередньому етапі уроку), у якому слід звернути увагу учнів на словосполучення «починаючи з другого», а також на те, що число, на яке помножують кожний член, починаючи з другого, є сталим для даної геометричної про­гресії, при цьому воно може бути яким завгодно (додатним або від'ємним, цілим або дробовим; воно тільки не може, на відмі­ну від різниці арифметичної прогресії, дорівнювати 0; це бажано проілюструвати великою кількістю прикладів).

 Після цього фор­мулюється уявлення про зміст поняття «знаменник геометричної прогресії» та записується відповідна формула. Далі традиційно записується рекурентна формула геометричної прогресії, яка на­пряму випливає з означення геометричної прогресії.

Геометричною прогресією називається послідовність від­мінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з друго­го, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число (знаменник геометричної прогресії).

Приклад. 3; 9; 27; 81; 243; ... — геометрична прогресія, бо а2 = а1 ∙ 3;       а3 = а2 ∙ 3; а4 = а3 ∙ 3; ... . (3 — знаменник цієї про­гресії).

Рекурентна формула геометричної прогресії

Якщо (bп) — геометрична прогресія, то bn+1 = bnq, де bп — п-й член; q — знаменник геометричної прогресії. З рекурентної формули випливає: q =

Властивості геометричної прогресії:

а) для кожного члена геометричної прогресії, починаючи з дру­гого:   — характеристична властивість;

б) якщо (bп) — скінченна геометрична прогресія, то b1 ∙ bn = b2 ∙ bn-1 = b3 ∙ bn-2 = const (b1 і bn — крайні члени цієї прогресії).

 

VI. Формування вмінь учнів.

№1 (усно).

Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?
а) 2; 6; 18; 54;      б) 80; 40; 20; 5;    в) 4; 8; 32; 64;      г) 2; -10; 50; 250.

Розв’язання:

Перевіряємо за означенням. Знайдемо, що геометричною прогресією є а)2; 6; 18; 54, яку можна записати у вигляді 2, 2·3, 6·3, 18·3, отримаємо  b₁ = 2, q = 3.

Робота біля дошки.

Приклад 1.

Знайти перший член геометричної прогресії (b_n), якщо b₇ = 32, q = –2.

Розв’язання:

Використавши формулу b_n = b₁q^n–1 для n = 7, одержимо:

32 = b₁ (-2)⁶; 32 = b₁· 64; b₁ = 0,5.

Відповідь. 0,5. 

Приклад 2.

Знайти другий член геометричної прогресії: –4; b₂; –25; ... .

Розв’язання:

За властивістю  геометричної прогресії = (-4) · (-25) = 100.

Звідси b₂ = 10 або b₂ = –10.

Відповідь. 10 або –10.

Приклад 3.

Вік батька, старшого та молодшого синів утворюють геометричну прогресію. Скільки років старшому синові, якщо батькові 32 роки, а молод- шому синові — 2 роки?

Розв’язання:

Нехай вік першого сина є першим членом геометричної прогресії          b₁ = 2, а вік батька – останнім  членом геометричної прогресії b₃ = 32. Знайдемо вік старшого сина: ;

Отримали, що b₂ = 8 або b₂ = – 8 (не задовольняє умову задачі).

Отже, вік старшого сина 8 років.

Відповідь. 8 років.

VII. Підсумок уроку. Оцінювання учнів.

1. Що називають числовою послідовністю?

2. Сформулюйте означення геометричної прогресії

3. Що таке знаменник геометричної прогресії?

4. Сформулюйте властивість геометричної прогресії.

VIII. Домашнє завдання.

Опрацювати п.25, виконати вправи  № 768, 771. ( Кравчук В., Підручна М., Янченко Г. Алгебра. Підручник для 9 класу. Тернопіль: Підручники і посібники, 2004.-248с. [6] )