Урок-кейс на тему "Розв’язування прикладних задач із застосуванням елементів комбінаторики"

Урок алгебри в 11-му класі

Тема.   Розв’язування прикладних задач із застосуванням  елементів комбінаторики

        Мета уроку:

Навчальна:

• поглибити знання з теми;
•  перевірити сформованість умінь
• встановлювати вид сполук;
• знаходити кількість сполук за відповідними формулами;
• застосовувати правило суми і правило добутку при розв’язуванні задач;
• усвідомити цінність знань для повсякденного життя;
•  формувати ключові, предметні і міжпредметні компетентності.

Розвивальна:

• розвивати логічне мислення, монологічне і діалогічне математичне мовлення, аналітичні уміння і навички (класифікувати, аналізувати, мислити чітко, генерувати альтернативні рішення, переконувати).

Виховна:

• виховувати: працьовитість, креативність, ініціативність, активність, вольові якості, цілеспрямованість, впевненість в собі, конкурентоспроможність, самостійність у прийнятті рішень в умовах невизначеності.
• виховувати старанність, самостійність, бажання працювати на уроці творчо, викликати в них почуття відповідальності за майбутнє планети.

                 Ключові компетентності, які формуються на уроці

Ціннісно-смислові:                                                                                                        - формулювати свої ціннісні  орієнтири по відношенню до навчального   предмету  та сфери діяльності, володіти способами самовизначення в ситуації вибору на основі власних позицій;

• уміти приймати рішення, брати на себе відповідальність за наслідки, здійснювати дії та вчинки на основі обраних цільових установ.

Навчально-пізнавальні:

• ставити мету і організовувати її досягнення, уміти пояснити мету;
• організовувати планування, аналіз, рефлексію, самооцінку своєї пізнавальної діяльності;
• ставити пізнавальні задачі і знаходити їх розв’язання;
• володіти вимірювальними навичками, працювати з інструментами, діловими паперами;
• описувати результати, формулювати висновки;

      –  розповідати усно чи письмово про результати свого дослідження з   

          використанням  мультимедійних засобів.

Соціокультурні:

• володіти знаннями і досвідом виконання соціальних ролей працівника, власника, споживача, співробітниками науково – дослідного інституту, який займається дробами, кореспондентами різних газет і журналів;
• діяти в сфері трудових стосунків відповідно до власної і суспільної вигоди, володіти етикою трудових взаємовідносин.

Комунікативні:

• володіти способами взаємодії; уміти задавати питання, коректно вести навчальний діалог;
• володіти різними способами діяльності в групі; прийомами дії в ситуаціях спілкування, умінням шукати і знаходити компроміси.

Інформаційні:

• володіти навичками роботи з різними джерелами інформації: словником, довідниками; Інтернет-ресурсами;
• самостійно шукати, систематизувати, аналізувати і відбирати необхідну інформацію для вирішення навчальної задачі;
• орієнтуватись в інформаційному просторі, усвідомлено сприймати інформацію;
• володіти навичками роботи з комп’ютером, телефоном.

Здоров’язберігаючі:

• володіти способами емоційної саморегуляції, підтримки і самоконтролю.

Тип уроку.    Урок когнітивного типу; урок постановки проблем і їх рішень

(за Case - технологією з використанням методів аналізу – методу ситуативного аналізу (Case-study) )

Обладнання: мультимедійний проектор,  комп’ютери, кейси учнів

Тривалість: 1 академічна година

Хід уроку

І. Організаційна частина уроку

    Учні класу об’єднані в групи „Шкільне товариство”, „Дослідницьке товариство”, „Літературне товариство”. Кожна група напередодні отримала завдання: розробити творчий проект практичного застосування набутих знань і навиків з теми „Елементи комбінаторики”.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності учнів та повідомлення теми і мети  уроку.

Учитель. Якщо провести опитування серед школярів, який предмет у них найулюбленіший, то навряд чи більшість з них назвуть математику. Частіше її поважають, ніж люблять. Але ж математика застосовується абсолютно скрізь. Ми послуговуємось її надбаннями, перевіряючи чеки супермаркету, оцінюючи кількість шпалер, необхідну для обклеювання кімнати, конструюючи міст найоптимальнішої форми чи зводячи новий будинок. Чи можливо це без глибоких математичних знань? Відповіддю на це запитання будуть слова, які я обрала девізом нашого уроку:

„Теорія без практики мертва і безплідна,

практика без теорії неможлива”

                                                Рене Декарт

            А тому зараз запишіть собі тему нашого семінару – тренінгу  „Розв’язування прикладних задач із елементами комбінаторики”.  Давайте разом сформулюємо мету нашого уроку з огляду на те, що це останній урок теми.

/ Учні висловлюють свої пропозиції щодо мети уроку /

Учитель. Отже, основна мета уроку   – узагальнення та систематизація знань та вмінь. Оскільки семінар – тренінг належить до інтерактивних типів уроку, то мета буде досягатися за допомогою різноманітних форм навчання: фронтального опитування, колективної та індивідуальної роботи.

  ІІ. Актуалізація опорних знань

                     Технологія «Мозковий штурм»

Учитель. Для початку попрацюємо з основними поняттями й означеннями теми. Отже, почнемо з лінгвістичних вправ.

Я починаю, а ви закінчуєте речення:

   1. Комбінаторика – це розділ математики, в якому вивчаються…

   2. Сполуки – це скінченні множини, в яких істотним є …

   3.  Перестановкою з n  елементів називається…

   4.  Розміщенням з n елементів по m  називається …

   5.  Комбінацією з n  елементів по m  називається …

   6. Якщо для сполуки характерною ознакою є те, що порядок   вибору елементів є важливим, то це…     

   7. Якщо у сполуку входять всі елементи множини, то це…

Учитель. Ви дали змістовні відповіді на поставлені запитання. Продовжуємо свою роботу. На допомогу вам роздано кожному навчальний „кейс”, який включає в себе таблиці - пам’ятки, за допомогою яких ви швидше пригадаєте необхідні формули, правила; завдання, які необхідно виконати. А ще рейтингову відомість, за якою ви будете проводити самооцінку. Отже, зараз оцініть свої відповіді.

ІІІ. Узагальнення та систематизація знань

       Технологія „Робота в парах”

Учитель. Пропоную вам бліц – турнір розв’язування задач із застосуванням елементів комбінаторики. Роботу виконаєте в парах, взявши із „кейса” додаток 3. Правильно розв’язати задачі вам допоможе таблиця 1 додатку 1 „Вибір формули для обчислення кількості сполук”  .

Після розв’язання запропонованих задач виконайте самоперевірку, використавши для цього шифр – розгадку.

Комбінаторні задачі (бліц – турнір)

 

1.              Скількома способами можна сформувати поїзд із 8 вагонів?    

          Відповідь: 40320 способами.

2.              Скількома способами можна вибрати 4 книги із 10?

3.              Потрібно виділити 2 учні із 12 на чергування в їдальні, з яких один – старший. Скількома способами можна це зробити?

4.              Скільки різних п’ятицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 0, 1, 2, 3, 4 за умови, що жодна цифра в запису числа не повторюється?

  5! = 120 – всього перестановок

  4! = 24 – перестановок із цифрою 0 на початку

120-24 = 96

Відповідь: 96 чисел.

5.              Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр  1, 2, 3, 4, 5 за умови, що жодна цифра в запису числа не повторюється?

6.              Знайти кількість непарних п’ятицифрових чисел, які можна утворити із цифр 2, 3, 4, 5, 6, використовуючи кожну лише один раз.

  4! = 24 – всього чисел, що закінчуються на 3

  4! = 24 – всього чисел, що закінчуються на 5

24 + 24 = 48

Відповідь: 48 непарних чисел.

7.              Із скількох різних предметів можна скласти 210 різних розміщень по 2 елементи в кожному?

х – кількість предметів ( х є N )

(х-1)х = 210;

х² - х – 210 = 0

За теоремою Вієта: х = -14 ¢ N

                                  х = 15

Відповідь: 15 різних предметів.

Шифр - розгадка

48	210	15	40320	60	132	96
К	П	А	С	У	О	Л

 

Отримано кодове слово - СПОЛУКА

Учитель. Розгадавши кодове слово, оцініть себе та занесіть оцінку в рейтингову відомість.

            А тепер попрацюємо колективно і розв’яжемо задачу.

Задача. Із 3 яблук і 7 бананів треба скласти десерт із 5 фруктів, у який входило б хоч 1 яблуко. Скількома способами можна це зробити?

Учитель звертає увагу учнів на таблицю 2 додатку

1. Правило добутку.105 (сп.

 2) Скількома способами можна скласти десерт із 2 яблук і 3 бананів?

                            105 (сп.)   

 3)   Скількома способами можна скласти десерт із 3 яблук і 2 бананів?

                            21 (сп.)

4) Скількома способами можна скласти потрібний десерт? Яке правило слід застосувати для знаходження кількості способів складання десерту?

           /Таблиця 2. Правило суми/

           105 + 105 + 21 = 231 ( сп.)

Відповідь: 231 спосіб.

 

Технологія «Робота в групах»

Учитель. А зараз ви попрацюєте в групах. Кожному товариству треба розв’язати дві задачі практичного характеру, пов’язані з його галуззю. Така робота вчить вас працювати у команді, висловлювати та аргументувати свої думки, прислухатись до чужих і приймати групове рішення, яке потім зможе обґрунтує будь-який учень групи.

        /Кожна група бере своє завдання із „кейса” – додаток 4/

Група „Шкільне товариство”

Задача 1. Із 20 учнів класу вибирають голову і секретаря зборів, а також делегацію на з’їзд з 3 чоловік. Скількома способами можна здійснити вибір, якщо

а)   голова і секретар не входять до складу делегації.

б)   голова і секретар можуть входити до складу делегації;

Відповідь: існує 310080 способів при умові, що голова і секретар не входять до складу делегації.

Відповідь: існує 433200 способів при умові, що голова і секретар можуть входити до складу делегації.

Задача 2. Для участі у вікторині „Що? Де? Коли?” школа повинна зібрати команду із 5 чоловік. Серед 20 кандидатів 5 членів хімічного гуртка, 4 члени математичного і 3 члени історичного гуртка. Скількома способами можна укомплектувати команду, щоб вона складалася із членів усіх цих гуртків по одному?

Відповідь: 1680 способів.             

Група „Дослідницьке товариство”

Задача 1. У розпорядженні агрохіміка є 6 різних типів мінеральних добрив. Він вивчає вплив кожної трійки добрив на врожай на дослідній ділянці площею 1 га. Якою має бути площа всього дослідного поля, якщо всі можливі експерименти проводяться одночасно?                   

Відповідь: 20 га.

Задача 2. До складу експедиції входить 5 хлопців і 3 дівчини. Для участі у розкопках прийшло 3 запрошення. Скількома способами можна розподілити ці запрошення так, щоб туди потрапила хоча б 1 дівчина?

Відповідь: 46 способів.

Група „Літературне товариство”

Задача 1. Абетка деякої мови містить 25 літер. Словом будемо називати будь-яку послідовність букв. Скільки чотирилітерних слів можна утворити з літер абетки цієї мови при умові, що

а)   слово може починатися з будь-якої літери;

б)   слово не може починатися з 2 певних літер абетки.

а)    Відповідь: 303600 слів.

б)   Відповідь: 279312 слів.

Задача 2. На зустріч з членами літературного гуртка  завітав відомий поет. Після виступу гуртківці вирішили подарувати йому букет із 5 квіток. Скількома способами можна вибрати квіти із вази, де стоїть 5 рожевих і 10 червоних гвоздик, щоб у букеті було не більше 2 рожевих квіток?     

Відповідь: 1662 способи.    

ІІІ. Творче застосування знань.

       Захист учнівських проектів. Технологія „Реклама”

Учитель. А тепер найцікавіше. Зараз ми з’ясуємо, як ви зуміли практично і творчо застосувати вивчене з цієї теми. Кожне товариство отримало завдання розробити творчий проект, пов’язаний з його галуззю.

         /Учасники проекту проводять захист своїх робіт за схемою:

          Тема і мета проекту.

          Джерела інформації.

          Опис кінцевих результатів.

          Демонстрація результату.

          Самооцінка./

     Група „ Шкільне товариство”

     Презентація проекту „11 клас під прицілом комбінаторики”

     Група „Дослідницьке товариство”

     Презентація проекту „ У пошуках графа”

     Група „Літературне товариство”

     Презентація проекту „У хвилину дозвілля з комбінаторикою”

 

ІV. Підсумок уроку.

Учитель. На семінарі, у результаті плідної співпраці, ми повторили й узагальнили навчальний матеріал з теми „Елементи комбінаторики”. Ми переконались з вами, що лише добрі навики минулих уроків і теоретичні знання з теми дали вам змогу творчо застосувати набуті знання та вміння у створенні своїх проектів.

    Чого ви навчились, працюючи над проектом?

    Чи сподобалось вам працювати у групах?

                     / вислови учнів /

Учитель.  Залишилось закінчити урок словами англійського письменника Чарльза Діккенса:

 „Немає в світі пагорба, якого наполегливість врешті-решт не досягне”.

Дякую усім за урок!

 

V. Домашнє завдання.

     Розв’язати задачі інших двох груп.

                                                              КЕЙС    УЧНЯ

   ДОДАТОК 1

   Таблиця 1

               Вибір формули для обчислення кількості сполук

Чи враховується порядок розміщення елементів?              Ні  -   Комбінації.

 

Так -  Чи всі елементи входять у сполуку?                                   Так - Перестановки                                Ні -   Розміщення

 

 

Таблиця 2

Вибір правила комбінаторного додавання і комбінаторного множення  

Якщо із елементів А і В треба вибрати

 

або А, або В

 

Правило суми Якщо елемент А можна вибрати m способами, а елемент В – n способами, то вибір А або В можна здійснити m+n способа і А, і В

 

Правило добутку Якщо елемент А можна вибрати m способами, а елемент В – n способами, то вибір А і В можна здійснити m∙n способами

 ДОДАТОК 2

Комбінаторні задачі (бліц – турнір)

 1.  Скількома способами можна сформувати поїзд із 8 вагонів?           

2.  Скількома способами можна вибрати 4 книги із 10?

3.  Потрібно виділити 2 учні із 12 на чергування в їдальні, з яких один – старший. Скількома способами можна це зробити?

4. Скільки різних п’ятицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 0, 1, 2, 3, 4 за умови, що жодна цифра в запису числа не повторюється?

5. Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр  1, 2, 3, 4, 5 за умови, що жодна цифра в запису числа не повторюється?

6. Знайти кількість непарних п’ятицифрових чисел, які можна утворити із цифр 2, 3, 4, 5, 6, використовуючи кожну лише один раз.

7. Із скількох різних предметів можна скласти 210 різних розміщень по 2 елементи в кожному?

  Шифр - розгадка

48	210	15	40320	60	132	96
К	П	А	С	У	О	Л

 

 

 ДОДАТОК 3

Група „Шкільне товариство”

Задача 1. Із 20 учнів класу вибирають голову і секретаря зборів, а також делегацію на з’їзд з 3 чоловік. Скількома способами можна здійснити вибір, якщо

а)  голова і секретар можуть входити до складу делегації;

б)  голова і секретар не входять до складу делегації.

 

Задача 2. Для участі у вікторині „Що? Де? Коли?” школа повинна зібрати команду із 5 чоловік. Серед 20 кандидатів 5 членів хімічного гуртка, 4 члени математичного і 3 члени історичного гуртка. Скількома способами можна укомплектувати команду, щоб вона складалася із членів усіх цих гуртків по одному?

 

Група „Дослідницьке товариство”

Задача 1. У розпорядженні агрохіміка є 6 різних типів мінеральних добрив. Він вивчає вплив кожної трійки добрив на врожай на дослідній ділянці площею 1 га. Якою має бути площа всього дослідного поля, якщо всі можливі експерименти проводяться одночасно?

 

Задача 2. До складу експедиції входить 5 хлопців і 3 дівчини. Для участі у розкопках прийшло 3 запрошення. Скількома способами можна розподілити так, щоб туди потрапила хоча б 1 дівчина?

 

Група „Літературне товариство”

Задача 1. Абетка деякої мови містить 25 літер. Словом будемо називати будь-яку послідовність букв. Скільки чотирилітерних слів можна утворити з літер абетки цієї мови при умові, що

а)   слово може починатися з будь-якої літери;

б)   слово не може починатися з 2 певних літер абетки.

 

Задача 2. На зустріч з членами літературного гуртка  завітав відомий поет. Після виступу гуртківці вирішили подарувати йому букет із 5 квіток. Скількома способами можна вибрати квіти із вази, де стоїть 5 рожевих і 10 червоних гвоздик, якщо у букеті буде не більше 2 рожевих квіток?

 

ДОДАТОК 4

Хто нічого не знає,

тому ні в чому помилятися

Менандра, давньогрецький поет

 

Рейтингова відомість

 

Прізвище, ім’я учня ___________________________________________________

 

 

Вид роботи	Самооцінка 0 – не справився 1 – допустив помилки 2 – виконав правильно		Корекція
Технологія „мозковий штурм” Закінчити речення
Технологія „Робота в парах” Бліц - турнір	Задача 1
	Задача 2
	Задача 3
	Задача 4
	Задача 5
	Задача 6
	Задача 7
Технологія „Робота в групах” Розв’язування задач	Задача 1
	Задача 2
Технологія „Реклама” Робота над проектом