Учитель математики

Широкова Олена Анатоліївна

Дніпровський ліцей № 111 ДМР

Інтегрований урок з геометрії та географії 11 клас

Тема з геометрії: Куля. Взаємне розміщення сфери та площини.

Тема з географії: Географічні наслідки параметрів і рухів Землі як планети.

Цілі:

●     навчальна: розглянути можливі випадки розміщення кулі та площини; провести паралель між геометричними та географічними координатами, переконатися в можливості створення математичних підходів до географічних об’єктів, поновити вже відомі поняття з географії.

●     розвивальна: розвивати увагу, формувати просторове та логічне мислення, пам’ять;

●     виховна: виховувати інтерес до вивчення предметів природничо математичного циклу.

Очікувані результати: вміти застосовувати математичні моделі для розв’язання прикладних задач, зводити розв’язок просторової задачі до розв’язку задачі на площині, поєднувати знання з географії та геометрії, демонструвати набуті практичні навички.

Тип уроку: інтегрований урок, метою якого є розкриття загальних закономірностей, відображених у географії та геометрії.

Обладнання: мультимедійний проектор, креслярське приладдя, глобус.

Хід уроку

1.   Організаційна етап

Мобілізація уваги – на екрані відео обертання Землі навколо своєї осі.

2.   Мотиваційний етап

Учитель географії: Перші припущення про форму Землі висловлювали ще древні греки (Піфагор). Наукові докази кулеподібності нашої  планети приведені в працях Арістотеля (384 322 р.р. до н.е.), який пояснював природу місячних затемнень тінню, яку відкидає на Місяць Земля. У ХVІІІ ст. англійський фізик І.Ньютон показав, що внаслідок сумісної  дії  сил гравітації  та відцентрових сил, що виникають при обертанні планети, вона повинна бути сплюснутою біля полюсів.

  Тепер встановлено, що полярний радіус приблизно менший від екваторіального на 21 км (Rп =6357 км, Rе =6378 км). Така фігура Землі дістала назву  геоїд. Поверхня геоїда співпадає з поверхнею води у Світовому океані, подумки проведеною і під материками.

   Площа земного геоїда складає біля 510 млн. км², об'єм 1,083 млдр. км3.

   Довжина кола земного меридіана 40009 км, довжина екватора 40076 км.

   Середній діаметр Землі становить 12 750 км.

   Обертається навколо Сонця зі швидкістю 30 км/с, або 108 000 км/год.

   Вісь Землі має нахил 66.5°

   Період обертання навколо осі — 23 години 56 хвилин 4 секунди.

  У різних точках Землі швидкості обертання не однакові. Максимальна швидкість на екваторі — 464 м/с, на полюсах вона дорівнює нулю, а столиця України — Київ — обертається приблизно зі швидкістю 260 м/с. Цього руху ми не помічаємо тому, що разом із нами обертається все, що знаходиться на Землі.

  Земля рухається і навколо Сонця по своїй орбіті зі швидкістю 29,7 км/с, здійснюючи повний оберт за 365 діб 5 годин 48 хвилин 48 секунд. Цей час ми називаємо зоряним роком. Проте підраховувати роки з такою кількістю неповних діб незручно. Тому календарним роком вважають рік, який має 365 діб. А з годин, хвилин та секунд, що залишилися, через чотири роки до лютого додають ще одну добу. Такий рік називають високосним. У ньому 366 діб. З цим рухом пов’язана зміна пір року.

3. Етап вивчення нового матеріалу

Учитель математики: З точки зору математики кулею називається геометричне тіло, яке утворене з усіх точок простору, що знаходяться на відстані, що не більше даної, від поданої точки. Поверхню кулі називається сферою. Переріз кулі площиною, що проходить через центр кулі, називається великим колом. Для спрощення, зазвичай, малюється не куля, а велике коло кулі, як на малюнку.

В курсі планіметрії ми досліджували взаємне розміщення кола та прямої. Як з’ясувалось, взаємне розміщення кола та прямої залежить від довжини радіуса кола та відстані від центра кола до прямої. Взаємне розміщення сфери та площини є просторовим аналогом цієї задачі.

Пропоную переглянути презентацію до теми «Взаємне розміщення площини та сфери» за посиланням:

https://docs.google.com/presentation/d/1wYqlpzGvNpaXyF84p8T7Gn-k37HRrgoQw ry_6jQcKNM/edit#slide=id.p

Учитель математики звертається до учнів з запитаннями:

Що називають кулею?

Що називають сферою?

Що називають великим кругом кулі?

Опишіть всі можливі випадки розміщення сфери та площини?

4. Етап формування практичних навичок

Учитель математики: Перейдемо до практичної частини нашого уроку.

Задача № 1. Яка географічна паралель є найбільшим колом земної кулі?

Розв’язок

За правилом переріз кулі площиною, що проходить через центр кулі, називається великим колом. Виходячи з того, що найбільшою за довжиною паралеллю є лінія екватора. Це і буде правильною відповіддю.

Учитель географії: Що ви можете не знати про Екватор?

Екватор це умовна лінія, яка розділяє нашу планету на дві рівні частини

— північну і південну півкулі. Він перетинає три континенти — Південну Америку, Африку та Азію, а також три океани

— Тихий, Атлантичний та Індійський.

●     Слово         «екватор»  присутнє    в        назвах         двох  держав        — Еквадору й

Екваторіальної Гвінеї.

●     Серед країн, які перетинає екватор, найбільшу протяжність екваторіальної лінії має Індонезія.

●     У дні весняного та осіннього рівнодення Сонце на екваторі знаходиться прямо над головою (в зеніті) і предмети не відкидають тіні.

●     Точна довжина екватора становить 40 075 696 метрів. Щоб пройти таку відстань пішки, зі швидкістю 5 км/год, без зупинок на відпочинок, людині потрібен був би майже цілий рік. Точніше, близько 8 000 годин.

●     Лінія екватора довша, ніж її аналог, що проходить через полюси. Причина цьому криється в формі нашої планети, яка трохи сплюснута завдяки обертанню навколо своєї осі.

●     Лінія екватора проходить через такі країни: Колумбія, Еквадор, Бразилія,

                Габон, Республіка Конго,      ДР      Конго,      Уганда,      Кенія,      Сомалі,

Індонезія, Сан-Томе і Принсіпі.

●     На північ від екватора вода при зливі закручується за годинниковою стрілкою, а на південь — проти неї. А якщо зливати воду точно на екваторі, вода взагалі не закручується. Саме таким нехитрим способом мореплавці в давнину фіксували перетин екватора. Обумовлено це впливом сили Коріоліса.

●     На екваторі є льодовик. Це вершина вулкана Каямбе в Еквадорі, що здіймається на висоту 5 790 метрів над рівнем моря. Навіть прямі сонячні промені, які падають на екватор, не можуть їх розтопити.

Учитель математики: Перейдемо до розв’язку наступної задачі.

Задача № 2. Знайдіть довжину полярного кола Землі, прийнявши радіус Землі рівним 6400 км. Відповідь округлити до тисяч кілометрів.

Розв’язок

Учитель географії: Для визначення географічних координат на топографічних картах слугує мінутна рамка. Довгота (кут між площиною меридіану в точці спостереження та нульовим (Гринвіч) меридіаном), Широта (кут між прямовисною лінією та площиною екватора) визначають положення точки на поверхні Землі.

Учитель математики: Враховуючи, що географічна широта точки А, яка

задачі означення косинуса. Маємо: cos 66°34’ =°34r / R. належить полярному колу Землі дорівнює 66 ’ застосуємо для розв’язку

r = cos 66°34’ х R= 0,39х 6400= 2496 км

Тоді довжина полярного кола Землі = 2пr=2х3,14х2496=15675 км

Якщо округлити до тисяч кілометрів, отримаємо 16000 км

Задача № 3. Обчисліть шлях, який проходить за добу внаслідок обертання Землі навколо її осі місто Харків.

Розв’язок

Нехай R -це радіус Землі, тоді r-це радіус кола по якому рухається місто .

Кут, який відповідає широті нашого міста дорівнює 50°. Розв’язуємо аналогічно попередній задачі, маємо r = cos 50° х R= 0,64х 6400= 4096 км

Шлях, який за добу проходить місто Харків, дорівнює 2х3.14х4096=25723 км

Ми вже знаємо, що найбільшим колом земної кулі є екватор. Для порівняння довжина екватора складає 40 075 км.

Елементи сферичної геометрії

Так буває, що вивчені в планіметрії властивості геометричних фігур не справджуються на практиці. Всім відомо, що сума кутів будь-якого трикутника трикутника виконується° не завжди. дорівнює 180 . Проте, навіть стародавні мандрівники знали, що ця властивість

Так, наприклад якщо рухатися вздовж екватора, можна в будь якій точці Таким чином в утвореному°, і прямуючитрикутнику точно на°.АВС північкути А і В дорівнюють 90°. Тобто повернути на 90 , потрапити на Північний полюс.

сума кутів трикутника АВС більше 180

Таким чином, фігури, розташовані на поверхні Землі неможливо точно описати, користуючись знаннями шкільного курсу планіметрії. Властивості геометричних фігур на сфері вивчає спеціальний розділ геометрії, який має назву сферична геометрія.

5. Підсумковий етап уроку

Учитель математики: Сьогодні на уроці ми отримали нові знання з геометрії, навчилися розрізняти можливі випадки розміщення кулі та площини, переконалися в можливості створення математичних підходів до географічних об’єктів, поновили вже відомі поняття з географії.

Домашнє завдання:

1.   Відповісти на питання Гугл форми з теми за посиланням:

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdcCLrG0_jLwdrI7NcjOYOT_rP67uZv q64PDpXzRgqfgl-SZw/viewform?usp=sharing

2.   Обчисліть шлях, який проходить за добу внаслідок обертання Землі навколо її осі місто в якому ви знаходитесь.

3.   Визначте площу поверхні Землі за формулою площі сфери:      

Порівняйте отримане значення з величиною площі Землі, відомої з курсу географії 510 млн кв км. За радіус візьміть середнє арифметичне значення екваторіального та полярного радіусів Землі.

Список використаних джерел:

1.     Геометрія: підр. для 11-го кл.(профільний рівень). Авторський колектив:

Мерзляк А., Номіровський Д., Полонський В., Якір М. Видавництво:

Гімназія, 2019.

2.     Географія: підручник для 11-го кл. (рівень стандарту). Авторський колектив: Довгань Д., Стадник О. Видавництво: Ранок, 2019.

3.     Сайт “Тут цікаво”. URL : https://tut-cikavo.com/

4.     Основи сферичної геометрії та тригонометрії: навч. посібник / М. П. Данилевський, А. І. Колосов, А. В. Якунін. Харків, ХНАМГ, 2011.