1. Методика навчання тригонометричних функцій числового аргументу на різних рівнях.

 

ПОГЛИБЛЕННИЙ РІВЕНЬ

 

Тема  «Тригонометричні функції» налічує 35 годин навчального матеріалу. При вивченні цієї теми учні дізнаються про: радіанне вимірювання кутів; синус, косинус, тангенс, котангенс кута; тригонометричні функції числового аргументу; періодичність функцій; властивості та графіки тригонометричних функцій; основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; формули зведення; тригонометричні формули додавання, формули подвійного аргументу, формули перетворення суми і різниці тригонометричних функцій у добуток, формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму, формули пониження степеня, формули потрійного аргументу, формули половинного аргументу; вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу.

При вивченні даної теми учні повинні:

виконувати перехід від радіанної міри кута до градусної і навпаки; встановлювати відповідність між дійсними числами і точками    на

тригонометричному   колі; обчислювати значення тригонометричних виразів задопомогою

тотожних перетворень; формулювати  означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута

числового аргументу; властивості тригонометричних функцій; властивості періодичних функцій; будувати графіки періодичних функцій і на них ілюструє властивості

функцій; перетворювати тригонометричні вирази.

 

 

 

ПРОФІЛЬНИЙ РІВЕНЬ

Тема  «Тригонометричні функції» налічує 30 годин навчального матеріалу, що на 5 годин менше ніж у поглибленому рівні. При вивченні цієї теми діти дізнаються про радіанне вимірювання кутів, синус, косинус, тангенс, котангенс кута. Тригонометричні функції числового аргументу. Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій.

Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. Формули зведення. Тригонометричні формули додавання, формули подвійного аргументу, формули перетворення суми і різниці тригонометричних функцій у добуток, формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму, формули пониження степеня, формули потрійного аргументу, формули половинного аргументу. Вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу.Що нічим не відрізняється від поглибленого рівня, лише тільки трішки стисліше.

При вивченні даної теми учні повинні:

користуватися: різними способами задання функцій; 

формулювати:означення числової функції, зростання і спадання,

парності і непарності функції; знаходити: область визначення функціональних залежностей, значення функцій при заданих значеннях аргументу і значення аргументу, за яких функція набуває даного значення; встановлювати: за графіком функції її властивості; виконувати і пояснювати: перетворення графіків функцій; досліджувати: властивості функцій і 

використовувати одержані результати при побудові графіків функцій; застосовувати: властивості функцій та многочленів до розв’язування

рівнянь і нерівностей; описувати: зміст понять “рівняння-наслідок” і “рівносильні перетворення рівнянь та  нерівностей”; використовувати їх при розв’язуванні рівнянь та нерівностей; розв’язувати: нерівності за допомогою методу інтервалів; рівняння і нерівності, які містять знак модуля і параметри; будувати:нескладні графіки рівнянь та нерівностей з двома змінними; користуватися: методом математичної індукції для доведення

тверджень.

 

АКАДЕМІЧНИЙ РІВЕНЬ

 

Тема  «Тригонометричні функції» налічує 20 годин навчального матеріалу. При вивченні цієї теми розглядаються такі питання: радіанне вимірювання кутів; синус, косинус, тангенс, котангенс кута; тригонометричні функції числового аргументу; основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; формули зведення.

При вивченні даної теми учні повинні: зображувати на діаграмах або числовій прямій об’єднання і переріз множин та ілюструє поняття підмножини; користується різними способами задання функцій;  формулювати означення числової функції, зростаючої і спадної функцій, парної і непарної функцій; знаходити область визначення функціональних залежностей, значення функцій при заданих значеннях аргументу і значення аргументу, за яких функція набуває даного значення; встановлювати за графіком функції її основні властивості; виконувати

і пояснювати перетворення графіків функцій; досліджувати функції, задані аналітично, використовувати одержані

результати для побудови графіків функцій.

 

РІВЕНЬ СТАНДАРТ

 

Тема  «Тригонометричні функції» налічує 26 годин навчального матеріалу. 

При вивченні цієї теми розглядаються такі питання: синус, косинус, тангенс, котангенс кута; радіанне вимірювання кутів; тригонометричні функції числового аргументу. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; формули зведення; періодичність функцій; властивості та графіки тригонометричних функцій; гармонічні коливання.

Тригонометричні формули додавання та наслідки з них. Найпростіші тригонометричні рівняння та нерівності. При вивченні даної теми учні повинні: вміти переходити від радіанної міри кута до градусної й навпаки; встановлювати відповідність між дійсними числами і точками на

тригонометричному колі; обчислювати значення тригонометричних виразів за допомогою

тотожних перетворень і обчислювальних засобів із заданою точністю; розпізнавати і будувати графіки тригонометричних функцій і на них

ілюструє властивості функцій; застосовувати тригонометричні функції до опису реальних процесів,

зокрема гармонічних коливань; перетворювати нескладні тригонометричні вирази; розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

 

 

Порівняємо  такі підручники з алгебри та початків аналізу для 10 класу за різними рівнями по темі «Тригонометричні функції»:

   Поглиблений рівень:

1.Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М.С. Алгебра і початки аналізу (поглиблений рівень) 10 клас.

2.Нелін Є. П. Алгебра і початки аналізу (дворівневий підручник) 10 клас  Профільний рівень:

3.   Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М.С. Алгебра і початки аналізу (профільний рівень) 10 клас.

4.   Нелін Є. П. Алгебра і початки аналізу (профільний рівень) 10 клас.

Академічний  рівень:

5.   Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М.С. Алгебра і початки аналізу (академічний рівень) 10 клас.

6.   Нелін Є. П. Алгебра і початки аналізу (академічний  рівень) 10 клас.

Рівень стандарту:

7.   Бевз Г. П. Алгебра і початки аналізу (рівень стандарту) для 10-11 класів.

8.   Шкіль М. І. Алгебра та початки аналізу ( рівень стандарту) 10 клас.

Проаналізуємо підручник [1].

Тема «Тригонометричні функції» виділена окремим параграфом.

Підтеми виділено наступнім чином:

1)   Радіанне вимірювання кутів.

2)   Тригонометричні функції числового аргументу.

3)   Знаки значень тригонометричних функцій.Парність і непарність        тригонометричних функцій.

4)   Періодичні функції.

5 )Властивості і графіки функцій y=sinx і  y=cosx.

6)       Властивості і графіки функцій y=tgx  і y=ctgx.

7)       Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного     й того самого аргументу.

8)       Формули додавання .

9)       Формули зведення.

10)   Формули подвійного , потрійного і половинного аргументів.

11)   Формули для перетворення суми і різниці тригонометричних функцій у добуток.

12)   Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

13)   Гармонічні коливання.

Проаналізуємо підручник [2].

Тема «Тригонометричні функції» виділена окремим розділом, а параграфи  у цьому розділі виділено наступнім чином.

Основний матеріал:

1)  Повторення і розширення відомостей про функцію;

1.1)  Поняття числової функції.Найпростіші властивості числових функцій.

1.2)  Властивості і графіки основих видів функцій.

1.3)  Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень відомих графіків функцій.

2)  Радіанна міра кутів.

3)  Тригонометричні функції кута і числового аргументу.

4)  Властивості тригонометричних функцій .

5)  Графіки функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса та їх властивості;

5.1)  Графік функції y=sinx та її властивості.

5.2)  Графік функції y=cosx та її властивості.

 5.3)Графік функції y=tgx та її властивості.

 5.4)Графік функції y=ctgx та її властивості.

6)       Співвідношеня між тригонометричними функціями одного аргументу.

7)       Формули додаваня та наслідки з них. 

7.1)       Формули додавання.

7.2)       Формули подвійного аргументу.

7.3)       Формули зведеня.

7.4)       Формули суми й різниці однойменних тригонометричних функцій та формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

8)       Графіки рівнянь та нерівностей з двома змінними.

9)       Метод математичної індукції.

10)   Многочлени від однієї змінної та дії над ними.

10.1)   Означення многочленів від однієї змінної та їх тотожна рівність.

10.2)   Дії над многочленами. Ділення могочлена на многочлен з остачею.

10.3)   Теорема Безу. Корені многочлена. Теорема Вієта.

10.4)   Схема Горнера.

10.5)   Знаходжея раціональних коренів многочлена з цілими коефіцієнтами.

11)   Додаткові формули тригонометрії.

11.1)   Формули     потрійного та      половинного        аргументів.          Вираженя     тригонометричних фукцій через тангенс половинного аргументу.

11.2)   Формула перетворення виразу asinα +bcos α .

Додаткові вправи до розділу .

Відомості з історії.

Проаналізуємо підручник [3].

Тема «Тригонометричні функції» виділена окремим параграфом.

Підтеми виділено наступнім чином:

1)       Радіанне вимірювання кутів.

2)       Тригонометричні функції числового аргументу.

3)       Знаки значень тригонометричних функцій.Парність і непарність        тригонометричних функцій.

4)       Періодичні функції.

5)       Властивості і графіки функцій y=sinx і  y=cosx.

6)       Властивості і графіки функцій y=tgx  і y=ctgx.

7)       Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного     й того самого аргументу.

8)       Формули додавання .

9)       Формули зведення.

10)   Формули подвійного , потрійного і половинного аргументів.

11)   Формули для перетворення суми і різниці тригонометричних функцій у добуток.

12)   Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

13)   Гармонічні коливання.

Проаналізуємо підручник [4].

Тема «Тригонометричні функції» виділена окремим параграфом, а матеріал у ньому виділено наступнім чином.

Основний матеріал: 

1)  Радіанне вимірювання кутів.

2)  Тригонометричні функції кута і числового аргументу.

3)  Властивості тригонометричних функцій.

4)  Графіки функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса .

5)  Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

6)  Формули додавання та їх наслідки з них.

Додатковий матеріал:

7)Додаткові формули тригонометрії.

Проаналізуємо підручник [5].

Тема «Тригонометричні функції» виділена окремим параграфом.

Підтеми виділено наступнім чином.

1)       Радіанне вимірювання кутів.

2)       Тригонометричні функції  числового аргументу.

3)       Знаки значень тригонометричних функцій. Парність і непарність тригонометричних функцій.

4)       Періодичні функції.

5)       Властивості і графіки функцій y=sinx і y=cosx.

6)       Властивості і графіки функцій y=tgx і y=ctgx.

7)       Основні співвідношення між тригонометричними функціями одого й того ж самого аргументу.

8)       Формули додавання .

9)       Формули зведення.

10)   Формули подвійного аргументу.

11)   Сума і різниця синусів (косинусів).

12)   Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

13)   Гармонічні коливання.

Проаналізуємо підручник [6].

                Тема    «Тригонометричні    функції»    виділена    окремим    розділом.

Параграфи виділено наступнім чином.

Основний матеріал:

1)Радіанна міра кутів.

2)Тригонометричні функції кута і числового аргументу. 

3)Властивості тригонометричних функцій .

4)Графіки функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса та їх властивості.

 4.1)Графік функції y=sinx та її властивості.

 4.2)Графік функції y=cosx та її властивості.

 4.3)Графік функції y=tgx та її властивості.

 4.4)Графік функції y=ctgx та її властивості.

5)Співвідношеня між тригонометричними функціями одного аргументу.

6)Формули додаваня та наслідки з них.

 6.1)Формули додавання .

 6.2)Формули подвійного аргументу.

 6.3)Формули зведеня.

6.                 4)Формули суми й різниці однойменних тригонометричних функцій та формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

7)Додаткові формули тригонометрії.

7.                 1)Формули потрійного та      половинного        аргументів.          Вираженя     тригонометричних фукцій через тангенс половинного аргументу.

 7.2)Формула перетворення виразу asinα +bcos α .

Проаналізуємо підручник [7].

Тема «Тригонометричні функції» виділена окремим розділом.

Параграфи виділено наступнім чином.

1)  Синус, косинус, тангенс і котангенс кута.

2)  Тригонометричні функції  кутів.

4)       Тригонометричні функції числових аргументів.

5)       Формули зведення .

6)       Формули додаваня .

7)       Формули подвійних кутів.

8)       Перетворення суми тригонометричних кутів.

9)       Тригонометричні рівняння .

10)   Найпростіші тригонометричні нерівності.

Проаналізуємо підручник [8].

Тема «Тригонометричні функції» виділена окремим розділом.

Параграфи виділено наступнім чином.

1)       Повторення і розширення відомостей про функцію. 

2)       Тригонометричні функції  кута.

3)       Радіанна система вимірювання кутів і дуг.

4)       Тригонометричні функції числового аргументу.

5)       Періодичність тригонометричних функцій .

6)       Побудова графіків тригонометричних функцій.

7)       Властивості  тригонометричних функцій.

8)       Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того  самого аргументу.

9)       Обчислення значень тригонометричних функцій і тригонометричних виразів за допомогою мікрокалькуляторів .

10)   Тригонометричні тотожності додавання.