Додатковий матеріал для заохочення учнів при вивченні тригонометричних функцій "Застосування тригонометричних функцій у житті"

Застосування тригонометричних функцій у житті

Даний матеріал призначений для  визначення  області застосування тригонометричних функцій та їх графіків,  практичного  використання  в різних галузях науки.

Важко знайти область науки чи діяльності людини, де б не  використовувались  графіки. Всім доводилось бачити графік росту ВВП країни,  графіки  добових  чи  річних  змін  температури,  атмосферного  тиску  тощо.  Графіки  такого  типу  зазвичай  будуються  за  даними  складених  таблиць  і  використовуються  для  кращого візуального аналізу.  На уроках з математики учні, зазвичай, будують графіки  елементарних  функцій  аналогічним  методом,  однак  таблиці  значень  будуються  здебільшого з наведених формул, що виражають певну залежність, а не з отриманих статистичних даних. Потреба у подібних графіках, отриманих з формул, виникає не  лише   в   математиці.   Так,   наприклад,   аналізуючи   теоретичний   хід   майбутнього  фізичного  процесу,  вчений    отримує  формулу  залежності,  що  дозволяє  знаходити залежність  однієї  величини        відносно  іншої.  Однак,  лише  побудувавши  графік  за  цією  формулою,    можна  наглядно  спрогнозувати  майбутній  процес,  виражений цією формулою, і внести відповідні зміни в процес для його покращення.

Даний матеріал може  бути  використаний  учнями  для  отримання  додаткових  знань  стосовно  використання тригонометричних   функцій та їх графіків,  вчителями     математики     при    проведенні  факультативних занять.

 «Математику не можна вивчати спостерігаючи, як це робить сусід!» - Айвен Нівен, канадсько-американський математик.

Важко уявити, але з цією наукою ми зустрічаємось не лише на уроках математики, а і в повсякденному житті. Багато залежностей у фізиці, астрономії, медицині описуються за допомогою тригонометричних функцій.

 Доповнимо застосування функції синус та  своїми спостереженнями із життя. У повсякденному  житті ми спостерігаємо: нива, море, морські хвилі, змахи крилами птахів, кивання головами та підіймання, опускання хвостів птахами. Використовуючи функцію sin, можна вирахувати час, який займає один змах крил птаха. Тоді можна визначити скільки рухів крилами робить птах за годину. Та знайти відстань, яку пролітає птах за одну годину. Цікаво, що частота змахів крила не залежить від частоти биття серця або розмірів птаха. Виконуючи коливальні рухи, птахи зберігають внутрішню енергію. Науковці вважають, що птахи кивають головами, щоб оцінити відстань, що їх віддаляє від якогось предмету(описує знаходженням синусу); підіймають та опускають хвости, щоб утримати рівновагу.

У географії: коливання (землетрус) кори нашої планети, обриси гір.

Які прилади існують в техніці для дослідження коливальних процесів?

Осцилограф – для дослідження електромагнітних коливань

Сейсмограф – для запису коливань земної кори.

        Наслідок:

           Спокій –

          Землетрус –

Кардіограф для запису роботи серця людини:

         здорової –

         хворої –

Коливальний контур застосовується в радіоприймачах, телевізорах, мобільних телефонах, в супутниковому зв’язку.

Завдання. Що спільного між рухом Сонця і функцією синуса?

Дослідимо рух Сонця по небесній сфері та опишемо залежність моменту заходу Сонця від дати на календарі.

Дослідження. За допомогою відривного календаря відмічаю момент заходу Сонця на перше число кожного місяця року. Взяла за вісь абсцис середній час заходу Сонця – 18 год. З’єднала отримані точки плавною лінією

 Висновок. Множина даних точок розташована вздовж хвильової лінії – синусоїди.

Завдання. Розглянемо і дослідимо біоритми та їхнє значення у житті людини, як вони впливають на наш розумовий, фізичний та емоційний стани. 

Дослідження. Я  почала спостерігати за своїм емоційним, розумовим та фізичним станом. Потім, розробила графіки циклів і порівняла з даними спостережень.

Висновок: Графік біоритмів людини підлягає закону синусоїди. За його допомогою можна спланувати ефективну діяльність людини.

Незвичний спосіб отримання синусоїди

Завдання. Доведемо, що при розрізі свічки, обгорнутої декілька разів листом паперу, під кутом 45˚, на краю паперу утвориться крива лінія – синусоїда.

Дослідження. Обгорнула  свічку декілька разів листом паперу. Перерізала свічку похило гострим ножем. Роз’єднала обидві половинки свічки та розгорнула папір.

Наслідок. Утворилася крива лінія. Порівнявши її з графіком функції синусів, можна стверджувати, що це – синусоїда.

Чому отримана по краю паперу крива лінія дійсно синусоїда?

Побудую математичну модель цієї задачі. Для цього: візьму лист паперу прямокутної форми і накреслю на ньому осі координат .  Згорну цей прямокутник в прямий круговий циліндр.

Доведення. Радіус основи приймемо за одиницю. Вісь Ох згорнеться в коло радіусом 1, а вісь Оу стане твірною циліндра. Через діаметр отриманого кола, який проходить через точку О, проведемо переріз під кутом 45˚ до площини круга. В такому випадку перерізом буде еліпс. Візьмемо на  еліпсі точку А,  опустимо з неї перпендикуляри на площину круга і діаметр круга OD. Отримаємо відповідно точки В і С.  Трикутник  АВС – прямокутний і рівнобедрений; так як <АВС=90˚, а <АСВ=45˚. Відповідно АВ=ВС. За означенням синуса, ВС=sinx, де х – довжина дуги ОВ, так як ВС=АВ, то АВ=sinх. Згорнемо циліндр знову в прямокутник, при цьому отримаємо криву, де х=ОВ, тобто ця крива є частиною синусоїди. Що і треба було довести.

Де застосовують лінію синусоїди у повсякденному житті? Наприклад, по дузі синусоїди з'єднують циліндричні труби під кутом одну до одної; скакання м’яча, підстрибування дитини, обгортання цукерок  циліндричної форми… І це не весь перелік застосування синусоїди, його можна продовжувати розглядаючи все нові і нові випадки.

Усюди в нашому житті ми зустрічаємось з коливальними рухами, починаючи від коливань маятника, ресори, струсів кузова автомобіля  чи вагона потяга до страшних, руйнівних коливань кори нашої планети; заводські труби і високі будівлі коливаються від вітру подібно до полотна ножівки, затисненого одним кінцем в лещатах. Правда, ці коливання не такі вже й великі. Амплітуда коливань Ейфелевої вежі у Парижі (300 м висота) при сильному вітрі приблизно 50 см.

Отже, можна побачити закономірність синусоїди в навколишньому світі у:

техніці, фізиці, астрономії, географії, біології, медицині, повсякденному житті людини.