Модуль раціонального числа
Модуль – одне з важливих понять в математиці. Слово модуль латинського походження: modulus - міра. Поняття модуля та знак модуль був уведений в 1861 році німецьким математиком К. Вейєрштрассом. Це слово в різних значеннях використовується не лише в математиці, а й у техніці, архітектурі, багатьох інших науках та різних галузях виробництва. Від цього слова походять також мода, модель.
Розв’яжіть задачу.
По координатній прямій з точки в протилежних напрямках поповзли дві мурашки. Одна з них опинилась через деякий час у точці
а друга – у точці
. Яку відстань проповзла кожна мурашка?
Розв’язання:
Перша мурашка проповзла одиничні відрізки, а друга
одиничних відрізків.
Розгляньте рисунок:
Числу на координатній прямій відповідає точка
. Відстань від початку відліку до цієї точки дорівнює
одиничним відрізкам. Число
називають модулем числа
Пишуть:
Модуль числа дорівнює
. Пишуть:
, бо точка
віддалена від початку координат на
одиниць.
Модуль числа дорівнює
. Пишуть:
Відстань не може бути від’ємною. Відстань від точок, які мають протилежні координати, до початку координат однакові.
|
|
|
Означення: Модулем невід’ємного числа a називають відстань від початку координат до точки, що зображає це число на координатній прямій.
Позначають модуль числа:
Наприклад,
|
|
|
|
|
|
Модуль додатного числа та 0 дорівнює самому числу, а модуль від’ємного числа є протилежне йому число.
Властивості модуля:
Приклади розв’язування типових задач
І. Обчисліть значення виразів:
Розв’яжіть самостійно:
ІІ. Обчисліть значення виразу , якщо 1)
; 2)
Розв’язання:
Розв’яжіть самостійно:
Обчисліть значення виразу
ІІІ. Розв’яжіть рівняння:
Розв’язання:
як записати
Відповідь
|
як пояснити
Розв’язання рівняння зводиться до відшукання на координатній прямій точок, які розташовані на відстані семи одиничних відрізків від початку відліку. Таких точок дві. Їх координати |
б) |
в) |
г) |
д) |
Відповідь: 0 |
рівняння немає розв’язків, бо модуль числа не може бути від’ємним Відповідь: розв’язків немає |
Відповідь: |
Відповідь: |
е)
як записати
Відповідь:
|
як пояснити
Розв’язання цього рівняння - це відшукання всіх точок координатної прямої, що розташовані на відстані семи одиничних відрізків від точки 3. Рухаючись уздовж координатної прямої на сім одиничних відрізків у додатному, потім у від’ємному напрямку, отримуємо розв’язки
|
Розв’яжіть самостійно:
Підсумковий тест
а) 10; б) ; в)
; 10; г) розв’язків немає; д) 100
а) ; б) розв’язків немає; в
; г)
; д)
а) б)
в)
г)
; д)
а) ; б)
; в) 7; г)
; д) 0
а) ; б)
; в)
; г)
; д)
Завдання для самостійного розв’язання
|
Відповідь: |
|
Відповідь: |
|
Відповідь: |
|
Відповідь: |
|
Відповідь: |
|
Відповідь: |
|
Відповідь: |
|
Відповідь: |
|
Відповідь: |
|
Відповідь: |