Збірник логічних завдань "Цікава математика "

Цікаві моменти з життя відомих математиків 

 Давньогрецький математик Піфагор брав  участь у кулачному бою на 58 Олімпіаді, яка  проходила в 548 р. до н. е. Він був чемпіоном з цього  виду спорту і утримував цей титул ще на кількох  олімпіадах. Чи знаєте ви, що теорему Піфагора  називали «ослячим мостом»? Учнів, що  запам’ятовували теорему без розуміння, називали  віслюками, оскільки вони не могли перейти через  міст — теорему Піфагора.

 А чи знаєте ви, що знаменитий Фалес був  уболівальником і помер на трибуні Олімпійського  стадіону, спостерігаючи за кулачним боєм Піфагора?

 Геніального математика Франсуа Вієта ледве  не відправили на вогнище за те, що йому вдалося  розшифрувати таємне листування іспанського уряду  з командуванням своїх військ. Іспанські інквізитори  вважали, що розкриття їх шифру для людського  розуму неможливе. А це означало, що Вієту  допомагав сам сатана.  

 А чи знаєте ви, що першим запропонував  метод нумерації стільців у театрі за рядами і  стільцями Рене Декарт? Аристократи-театрали не  переставали докучати королю з проханнями  нагородити вченого. Але той опирався, відповідаючи:  «Так, те що придумав Декарт - чудово, так, воно  достойне ордена! Але дати його філософу?! Ні, це :  занадто!»

6

 Микола Іванович Лобачевський мріяв про  професію лікаря і, будучи студентом першого курсу  Казанського університету, вивчав медицину. Але перша  лекція з історії математики, прочитана професором  Бартельсом, так полонила юнака, що він сказав: «Так  ось яка вона, математика!» З того часу М.І.  Лобачевський почав вивчати цю науку.

 Якось Леонард Ейлер висловив припущення, що

1 000 009 - просте число. Щоб перевірити, чи це справді  так, учений виявив, що воно є добутком двох чисел; 293  і 3413. Указані обчислення Л. Ейлер виконував у 70 років,  коли він був сліпий. Розрахунки він робив усно.

 Леонард Ейлер мав надзвичайну пам'ять на числа.  Він пам'ятав, наприклад, шість степенів перших ста  натуральних чисел.

 На полях «Арифметики» Діофанта (III ст.) французький  математик П’єр Ферма (1601—1665) записав твердження,  яке потім стали називати великою теоремою Ферма:  рівняння хⁿ + уⁿ = zⁿне має цілих розв'язків для жодних  значень п таких, що n>2. Далі Ферма записав: «Я знайшов  дивне доведення цього твердження, але поля книги надто  вузькі, щоб воно могло на них уміститися».

 Відтоді не припинялися численні спроби знайти втрачене  доведення Ферма. Доведенням теореми займалися визначні математики. Тисячі  любителів математики і ті, хто не має навіть уявлення про суть задачі,  безперервно засипають наукові установи світу своїми «доведеннями» цієї  теореми. Особливо зросла кількість «фермістів» після того, як 27 червня  1908 р. Геттінгенське наукове товариство оголосило, що інженер, доктор  Пауль Вольфскел заповів величезну, як на той час, суму - 100 000 марок — тому, хто перший знайде доведення великої теореми Ферма.

 Відомий німецький математик Едмунд Дандау заготовляв друковані  формуляри для розсилання відповідей авторам доведень великої теореми  Ферма: «На сторінці..., у рядку ... є помилка».

 

7

 А чи знаєте ви , що Шарль Перро , автор «Червоної  Шапочки» ,написав казку «Любов циркуля і лінійки».

 А Наполеон Бонапарт писав математичні  роботи і один геометричний факт називається  «Задача Наполеона».

 

 А чи знали ви , що квітку гортензію назвали на  честь Гортензії Лепот, відомої обчислювальниці , що  складала математичні таблиці ? 

Вона привезла цю квітку з Індії.

 

Олександр Сергійович Пушкін написав такі рядки :  « Натхнення потрібно в геометрії , як і в поезії» . А чи  відомо вам про це ?

 

А чи знаєте ви , що англійська королева , прочитавши  книгу Льюїса Керрола « Аліса в країні чудес» , так  зацікавилась нею , що наказала принести їй всі книжки  цього письменника , але була розчарована , тому що в  інших книгах були математичні формули.

 

 Чи знаєте ви, про перше знайомство Ковалевської 

з математикою? Ковалевська Софія Василівна

(російський математик) познайомилася з 

математикою в ранньому дитинстві, коли на її 

кімнату не вистачило шпалер, замість яких були 

наклеєні листи з лекціями Остроградського по 

диференціальному і інтегральному численні.

 

Задачі-загадки

1. Летіли галки і побачили палки. Якщо на кожну палку сяде одна галка, то  для однієї галки не вистачить палки. Якщо на кожну палку сяде по дві  галки, то одна з палок залишиться без галок. Скільки було галок і скільки  було палок? (4 галки і 3 палки)

2. Два автомобілі їхали по шосейній дорозі і проїхали 120 км. Скільки  кілометрів проїхав кожний автомобіль? (120)

3. Двоє батьків і двоє синів поділили між собою порівну 30 грн., причому  кожен одержав по 10 грн. Як це могло трапитись? (Було 3 особи: батько, син і  внук)

4. Який знак треба поставити між записаними цифрами 2 і 3, щоб мати  число більше за 2, але менше за 3? (Кому.)

5. Один учень писав про себе: «…Пальців у мене двадцять п’ять на одній  руці, стільки ж на другій, на ногах десять…» Чому він такий потворний?  (Учень після слова «двадцять» не поставив дві крапки.)

6. Швачка має кусок сукна 18 м і щодня відрізає по 3 м. На який день вона  відріже останній раз? (На п’ятий.) 

7. Летіла група качок. Одна попереду, дві позаду; одна позаду і дві  попереду; одна між двома і три в ряд. Скільки летіло качок? (Летіли одна за  одною три качки.) 

8. Розділити 10 апельсинів порівну між 12-ма особами, при умові, що різати  кожний апельсин можна не більш як на 3 рівні частини. (6 апельсинів ріжемо 

пополам, а кожний з решти — на 3 рівні частини, після чого даємо кожній особі по половині і  одній третині апельсина.) 

9. На дереві сиділо 6 горобців. Стрілець, вистріливши, влучив у двох із них.  Скільки горобців залишилося на дереві? (Жодного, — всі інші полетіли.)

10. У кошику лежать 5 яблук. Чи можна поділити їх порівну між 5  товаришами так, щоб одне яблуко залишилося в кошику? (Можна. Одному з  товаришів дають яблуко з кошиком) 

11. Півтори курки за півтора дня знесуть півтора яйця. Скільки яєць знесуть  3 курки за 4 дні? (8)

12

12. Одне яйце варять протягом 4 хв. Тоді воно вважається звареним. За  скільки хвилин можна зварити 5 яєць? (За 4 хв.) 

13. Щука важить стільки, скільки важить кілограм та півщуки. Яка вага  щуки? ( 2 кг.)

14. Пішов батько з чотирма синами в ліс по ягоди. Батько знайшов 45 ягід  тоді, коли жодний з його синів, не знайшов жодної ягоди. Роздав батько всі  зібрані ним ягоди дітям і всі знову розійшлися по лісу. Коли зібралися йти  додому, виявилося, що один із синів знайшов ще стільки ягід, скільки  одержав від батька, другий знайшов 2 ягоди, третій дві з’їв, а четвертий, не  знайшовши жодної, з’їв половину того, що одержав від батька, після чого  виявилося, що в усіх ягід стало порівну. Скільки ягід дав батько кожному з  синів? (5, 8, 12, 20.) 

15. У пастуха, який вів 70 биків, запитали: «Яку частину биків своєї  численної череди ти ведеш?» Він відповів: «Я веду дві третини від третини  худоби». Скільки биків було у всій череді? (Позначимо кількість худоби в череді  через x. Тоді за умовою задачі матимемо рівність: 2/3*(1/3 *x) = 70. Розв’язавши рівність  отримаємо відповідь — 315 биків.)

16. Перед вами стоять в ряду 6 склянок, з яких перші 3 з водою, а решта 3  пусті. Що потрібно зробити, щоб склянки пусті і з водою чергувались між  собою при умові, що із всіх склянок можна брати лише 1 і всього 1 раз? (Відповідь: взяти другу склянку, перелити з неї воду у п'яту і поставити на місце).  17. Два чоловіки підійшли до річки. Біля пустого берега стояв човен, в  якому міг поміститися тільки один чоловік. Обидва без всякої допомоги  переправилися на цьому човні через річку і продовжили свій шлях. Як вони  це зробили? (Відповідь: двоє підійшли до різних берегів річки). 

18. Два батьки і два сини з’їли 3 апельсини. По скільки з’їв кожний з них? (Відповідь: по одному). 

19. В клітці знаходилося 4 кролики. Четверо дітей купили по одному із цих  кроликів і один кролик залишився в клітці. Як це могло статися? (Відповідь:  один кролик був куплений з кліткою). 

20. 6 штук картоплин зварилося в каструлі за 30 хвилин. За скільки хвилин  зварилась одна штука? 

21. Скільки кінців у 10 палок? А у десяти з половиною? 

22. Якщо о 12 годині дня іде дощ, то чи можна ждати через 36 годин  сонячної погоди? 

23. У суботу, стомившись від занять і ігор у школі, Костя ліг спати о 9-ій годині вечора. Щоб не вставати рано-вранці, але і не проспати , він завів  будильник на 11-у годину наступного дня. Скільки всього часу він

13

проспить, перш ніж розбудить його будильник? (Відповідь: Костя проспить всього  2 години, тому що об 11 годині вечора того ж дня, тобто о 23 годині, будильник його розбудить).  24. На березі сиділи дві ворони і дивилися в різні сторони: одна на південь,  а друга на північ. «А у тебе, - говорить перша ворона, - лапки в багні». «А  у тебе, - відповідає друга, - дзьоб у землі». Як же так? Дивляться в різні  сторони, а одна одну бачать? (Відповідь: вони дивляться одна на одну, а це і є різні  сторони). 

25. Що дорожче – кілограм гривенників чи півкіло двогривенників? (Відповідь: кілограм гривенників дорожче чим півкіло двохгривенників, оскільки вартість  металічних монет зв'язана з вагою витраченого на них металу). 

26. Хто назве п'ять днів підряд, не користуючись вказівкою чисел місяця, не  називаючи днів тижня? (Відповідь: позавчора, вчора, сьогодні, завтра, післязавтра). 

 

                                                                             Софізми

 Софізм - це міркування, яке 

формально здається абсолютно 

бездоганним, але насправді містить 

помилку, в результаті чого кінцевий 

висновок є абсурдним.

Вміння вести суперечку

 Ця ідея зародилась в Древній Греції . Софісти навчали людей вести  суперечку з метою довести свою думку за допомогою завідома  неправдивих аргументів, які виглядали, як правдоподібні. Наприклад, "Те,  чого ти не втратив, у тебе є. Ти не втратив роги, значить, у тебе вони є»,  «Напівпорожнє відро - те ж саме, що і напівповне. Значить, порожнє відро - те ж саме, що і повне ».

П'ять дорівнює шести.

 Візьмемо тотожність 35 + 10 - 45 = 42 +12 - 54.

У кожній частині цієї тотожності винесемо за дужки спільний множник: 5 • (7 + 2 - 9) = 6 • (7 + 2 - 9).

Тепер, розділивши обидві частини отриманої рівності на їх спільний  множник (7 +2 - 9), отримаємо, що 5 = 6. Де помилка?

Чотири дорівнює п’яти

Розглянемо правильну числову рівність: 4 : 4= 5 : 5 

Винесемо за дужки спільний множник 4 ( 1 : 1) = 5 ( 1 : 1) Звідси 4 = 5 . Де помилка?

Два дорівнює трьом.

 Розглянемо очевидну рівність (2 - 5/2)2 = (3 - 5/2)2.

Звідси, добувши квадратний корінь, маємо: 2 - 5/2 = 3 - 5/2.

Додаючи до обох частин цієї рівності по 5/2, отримуємо, що 2 = 3. Де  помилка?

15

Чотири більше дванадцяти

 Додаючи до обох частин очевидної нерівності 7> 5 число - 8, маємо (7- 8)> (5 - 8), тобто -1 > -3. Помноживши обидві частини цієї нерівності на (-4),  отримуємо (-1) • (-4) > (-3) • (-4), тобто 4 >12. Де помилка?

З «Арифметики» М. П. Магніцького

Дехто продав коня за 156 крб. Однак покупець, придбавши коня, передумав  його купувати і повернув продавцеві, кажучи:

– Нема рації мені купувати за цю ціну коня, бо він таких грошей не вартий. Тоді продавець запропонував інші умови:

– Якщо, на твою думку, ціна коня надто велика, то купи лише цвяхи, що у  його підковах, а коня дістанеш тоді на додачу безплатно. Цвяхів у  кожній підкові 6. За перший цвях дай мені лише копійки, за другий – копійки, за третій 1 копійку і т. д.

Покупець, спокушений низькою ціною, бажаючи даром дістати коня,  прийняв умови продавця, розраховуючи, що за цвяхи доведеться заплатити  не більше як 10 карбованців. Скільки повинен заплатити покупець.

Ігри із сірниками

Перші у світі сірники - фосфорні - винайшов у 1831 році  дев'ятнадцятирічний француз Шарль Соріа. Сірникову коробку зручно  використовувати для вимірювання. Якщо тримати коробку на відстані 50 см  від ока, то її довше ребро закриватиме предмети, висота чи ширина яких  становить ₁₀¹відстані, ширина коробки закриває ₁₄¹, а висота (товщина) -

¹відстані. Залишається запам'ятати розміри сірникової коробки: довжина  30

— 50 мм, ширина — 37 мм, висота (товщина)— 16 мм.

1.Спробуй з 10 сірників скласти два квадрати, 3 квадрати.

2. Фігура із 24 сірників містить 9 квадратів. Вилучи 4 сірники так, щоб  залишилося 5 квадратів.

 

3.Із восьми сірників і ґудзика склади рибку. А тепер переклади 3 сірники і ґудзик  так, щоб рибка попливла у протилежному напрямку.

 

4. Цей будинок складений з 10 сірників. Потрібно повернути його до нас  іншою стороною, переклавши лише 2 сірники.

 

5. Перекласти 6 сірників так, щоб з двох бокалів отримати дім.

6. На малюнку ви бачите корову, у якої є все, що належить: голова, тулуб,  ноги, роги і хвіст. Корова на малюнку дивиться вліво.

Перекладіть рівно два сірники так, щоб вона дивилася вправо.

7. Як з шести однакових сірників зробити 4 рівносторонніх трикутники  однакових розмірів?

Є два рішення, в одному випадку сторони трикутників не рівні довжині  сірників, в іншому – рівні.

 

 

Математичні фокуси

Багато хто вважає математику нудною і важкою наукою: складні  задачки, рівняння, формули… Голова обертом. Проте світ чисел і прикладів  набагато цікавіший, ніж здається на перший погляд. Хочеш відчути себе  фокусником і викликати захоплення та здивування у друзів? Тоді вперед! 

Відгадати дату народження.

Фокус навчить, як відгадати дату народження.

Секрет фокусу: Отже, для початку треба обрати "жертву", після чого  попросити її «про себе» порахувати:

1. День свого народження (про себе) помножити на два.

2. До результату додати 5.

3. Отриманий результат помножити на 50.

4. Додати номер місяця, в якому народився.

Попросіть людини сказати число. Потім просто відняти 250 від отриманого, і готово. Вийде 4 або 3 цифри. Перші 2 (може бути і одна цифра) - день, а дві останні – місяць народження.

Повна сума.

Для фокусу потрібні лише два гральних кубики. Киньте їх на стіл. Нижні межі кубиків вам не видно. Візьміть кубики і покажіть ці грані глядачеві. Нехай він складе невидимі вам очки. Відкладіть кубики в сторону  і правильно назвіть шукану суму двох нижніх граней.

Секрет фокусу:

Для цього вам потрібно знати, що на гральних кубиках сума протилежних сторін дорівнює семи. Якщо з одного боку 2 очки , значить, з  іншого – буде 5. Вам видно верхню сторону кубиків. Припустимо, з вашого  боку 4 і 1, тобто в сумі - 5. А загальна сума двох протилежних сторін на

 

обох кубиках дорівнює 14. Значить, щоб назвати суму, відому глядачеві, від  14 відніміть 5. Назвіть її 9. Адже на гранях кубиків, які бачив глядач, було 3 і 6 очок.

Сума непарних чисел.

Просіть глядача за 1 хвилину порахувати суму всіх непарних чисел від 0 до 20 (без калькулятора). Швидше за все він не встигне. Говорите:

- Ну ти і черепаха, спробуй ще раз, тільки хутчій, яка сума непарних від 0 до 45 включно?

Швидше за все глядач відмахнеться, мовляв я до 20 то не зміг, а тут до  45 (тут уже можна і з калькулятором, але знову таки зробити обмеження в  часі, щоб він ну ніяк не встиг). Ви ж легко рахуєте суму всіх непарних,  навіть багатозначних чисел (тільки хто перевіряти буде).

Секрет фокусу:

 Потрібно до останнього (заданого) непарного числа додати 1, поділити на 2 і піднести до квадрату.

Приклад: від 1 до 49 включно 49 +1 = 50 , 50/2 = 25, 25 * 25 = 625.

Якщо Вас попросять порахувати вже дуже велике число, то Вам доведеться таки скористатися калькулятором, але оскільки рахувати дуже мало, Ви це зробите за 10-15сек.

Знову і знову П'ЯТЬ.

Простенький і коротенький фокус, де фокуснику навіть не треба нічого рахувати і думати. Просіть задумати будь-яке число (хоч 50-ти значне),  потім просите додати до нього наступне по порядку, потім хай додасть до  суми 9, розділить отримане навпіл і відніме від результату задумане ним число. Ви легко називаєте число, яке у нього вийшло!

Секрет фокусу:

Ви легко вгадуєте скільки у нього вийшло, тому що, яке б він число не загадав, після всіх підрахунків у нього завжди буде 5.

Приклад: загадали 26, 26 +27 = 53, 53 +9 = 62, 62/2 = 31, 31-26 = 5.

Загадали 565, 565+566 = 1131, 1131 + 9 = 1140, 1140/2 = 570, 570- 565 = 5. Загадали 44444, 44444+44445 = 88889, 88889 +9 = 88898, 88898/2 = 44449, 44449-44444 = 5.

Живий комп'ютер

Ви просите когось із глядачів написати в стовпчик два десятизначних числа (чим більше значення числа, тим ефектніший фокус), потім під ними пишете своє число, підводите риску і миттєво записуєте відповідь.

Другий варіант цього фокусу: після того, як Ви написали своє число просите глядача, щоб під Вашим числом він написав ще десятизначне  число, а потім знову пишіть своє і миттєво видаєте результат.

Секрет фокусу:

Коли Ви пишете своє число, то обираєте його не довільно - сума  кожної цифри цього числа повинна скласти з кожною цифрою числа глядача 9. Таким чином у Вас виходять не три різних десятизначних числа, а два, з яких одне матиме всі дев'ятки. А значить Ви миттєво можете написати результат: треба просто переписати перше число глядача і поставити перед ним одиницю, а від останньої цифри відняти одиницю!

Приклад: 4563843274 + 7498854231 + 2501145768 = 14563843273 Математичне чаклунство

За допомогою цього фокусу Ти зможеш безпомилково порахувати,  скільки братів і сестер у твоїх знайомих, не питаючи їх про це. Необхідно,

щоб спочатку твій друг (чи подружка) до кількості своїх братів додав число  3 (але тобі результат поки не каже).

Потім отримане число помножить на 5, приплюсує 20, суму помножить  на 2. До результату необхідно додати ще й кількість сестер, плюс число 5.

Він чи вона називають остаточний результат. Тоді справа за тобою!

Від отриманого числа відніми 75 (звісно, другу про це нічого не кажи). Двозначне число, яке ти отримаєш, вкаже на склад сім'ї: перша цифра – кількість братів, друга – сестер.

Ось як усе просто!

 

Загадки

Від цієї точки промінь починається  І далеко в нескінченність 

простягається.

Кожен з хлопців і дівчаток

Скаже: точка ця - …

***

З двох променів складається, Далеко простягається.

В загадках є і там , і тут,

А називається він ..

***

Як довідатись мені:

Є цей кут прямим чи ні?

Допоможе тут в момент

Цей чудовий інструмент.

Це прямих кутів супутник

Називається він…

***

Як назвати кут такий,

Що є меншим, ніж прямий? Відгадати дуже просто:

Називається він …

***

Ці числа є великі,

А є і малюки,

Проте з них кожне має 

Лише два дільники.

Як відомо, числа ті 

Називаються …

***

Ці числа не прості, а інші,

В них дільників не два, а більше. Для них теж назву знайдено, Ці числа звуться …

***

У фігури є початок,

А кінця в неї нема

І неважко здогадатись, Що фігура ця - …

***

У дробі десятиковому Цей знак перебуває

І цілу від дробової

Частину відділяє.

Придивись ти зблизька: Знак цей зветься…

***

Це один відсоток метра І сказати легко вам,

Що така ось одиниця Має назву…

***

До числа звернись такого: Три є дільники у нього. Як відомо, число те Називається…

***

Дріб цей нескінченний, Ім’я у нього є .

Можливість площу круга Знайти число дає.

***

 

Не є число складним, Не є воно простим,

До того ж дії деякі

Робити легко з ним. Така вже особлива,

Своя у нього роль,

Число це натуральне, А зветься воно…

***

Із сумою цих чисел

Немає в нас проблем: Сума цих двох чисел  Є у нас нулем.

***

Є у нас число в квадраті – Одиниця в результаті. То яке ж воно було, Початкове це число? ***

Ось я два відношення Поруч записала,

Знаком рівності їх

Зразу об’єднала

Така рівність 

моя

Має власне ім’я.

***

Частини дві у нього,

У числа такого –

Це ціла і дробова…

То про що розмова?

***

Чисельник і знаменник  Місцями поміняємо –

Новий отримаємо дріб,

Ще й назву пригадаємо. ***

Щоб кути побудувати,

Транспортир нам треба мати, А як цей будуєш кут,

І лінійки досить тут.

***

Під час множення число це Визначає результат,

Як між множників потрапить – Знищить інші всі підряд. ***

Рівнобедрений трикутник: Є дві рівні сторони.

Як відомо нам, бічними Називаються вони.

І для третьої є слово:

Це в трикутнику

 

Задачі-казки та стародавні історії

1.Як гусак з журавлем задачу розв’язували.

 Летіла зграя гусей, а на зустріч їм летів один гусак і каже:  «Здрастуйте, сто гусей!” А вожак йому відповідає : ”Ні, нас не сто гусей! Ось якби нас було ще стільки, та ще наполовину стільки, та ще четвертина і  ти, гусак, а тепер … Ось і поміркуй, скільки нас?”

 Полетів одинокий гусак і задумався. Насправді, скільки ж гусей він  зустрів? Думав він, думав і з якого боку не брався, не міг розв’язати задачу.  Ось побачив гусак на березі ставка журавля: ходить довгоногий і жаб  шукає. Журавель – птах поважний і користується серед інших птахів славою  математика: годинами стоїть на одній нозі і все думає, напевно задачі  розв’язує. Зрадів гусак і прилетів до журавля і розказав йому, як він зграю  гусей зустрів і яку йому вожак задачу задав, він ніяк не може її розв’язати.

 – Гм!.. – відкашлявся журавель, – попробуємо розв’язати. Тільки  будь уважним і постарайся зрозуміти.

 – Уважно слухаю, – відповів гусак.

 – Ну, ось. Як тобі сказали? Якби до гусей, що летіли додати ще  стільки, та ще половину їх, та ще четвертину та тебе одного, то було б сто?  Так?

 – Так ! – відповів гусак.

 – Тепер дивись, – сказав журавель. – Ось я тобі накреслю на піску.  Журавель зігнув шию і дзьобом провів риску, поруч таку саму, потім  наполовину коротшу, а потім четвертину риски, а потім ще маленьку,  майже точку.

Гусак приплив до самого берега, вийшов, перевалюючись на пісок,  довго дивився , але нічого не зрозумів.

– Розумієш? – спитав журавель.

– Ні, – відповів сумно гусак.

– Давай разом міркувати. Як тобі сказали, – зграя, та ще зграя, та  половина зграї, та четвертина зграї, та ти сам, – так я зобразив: риску та ще  таку риску, та півриски, та четвертину цієї риски, та ще малесеньку риску,  тобто тебе. Зрозумів?

– Зрозумів ! – весело закричав гусак.

– Якщо до цієї зграї додати ще таку саму зграю, та ще півзграї, та  четвертинку зграї та тебе, гусака, то скільки стане ?

– Стане 100 гусей !

 – А без тебе скільки ?

 – Дев’яносто дев’ять.

– Добре! Відкинемо на нашому рисунку рисочку, що зображає тебе,  залишиться 99 гусей. 

– Тепер поміркуй! – продовжив журавель, – четвертина зграї та  півзграї, скільки це буде четвертин?

Гусак задумався, подивився на лінії на піску і сказав:

 

– Лінія, яка зображає півзграї, в два рази більша за лінію, що зображає  четвертину зграї, тобто в половині міститься 2 четвертинки. Отже, це три  четвертинки зграї!

– Молодець! – похвалив гусака журавель. – Ну, а в цілій зграї скільки  четвертинок?

– Звичайно, чотири! – відповів гусак.

– Так, але ми маємо тут зграю, та ще зграю та півзграї та четвертину  зграї і це все становить 99 гусей. Значить, якщо перевести все на  четвертинки, то їх всього буде?

Гусак подумав і відповів: 

– Зграя – це все одно, 4 четвертинки зграї, та ще зграя – ще 4  четвертинки зграї, всього 8 четвертинок; та в половині зграї 2 четвертинки  зграї: всього 10 четвертинок; та ще четвертинка зграї: всього 11 четвертинок  зграї, а все це – 99 гусей.

– Так! – сказав журавель. – Тепер скажи, що ти, нарешті, отримав? – Я одержав, – відповів гусак. – що в 11 частинах зграї – 99 гусей. – А, значить, в одній четвертині зграї скільки гусей?

Гусак поділив 99 на 11 і відповів:

– В четвертині зграї - 9 гусей.

– Ну, а в цілій зграї скільки?

– В цілій зграї 4 четвертинки … Я зустрів 36 гусей! – радісно закричав  гусак.

2.Селянин і чорт

Іде селянин і плаче: «Гірка моя доля! Замучили злидні! В кишені тільки  декілька монет, і ці зараз потрібно віддати. Хоч би хтось допоміг». Тільки промовив це селянин, як перед ним чорт стоїть.

– Що ж, – каже, – якщо хочеш, я тобі допоможу. І зовсім не важко.  Бачиш цей міст через ріку?

– Бачу! – сказав селянин .

– Як тільки ти перейдеш через міст – у тебе буде у два рази більше  грошей, ніж у тебе є. Перейдеш назад, знову стане грошей більше, ніж було.  І кожного разу, як ти будеш переходити через міст , у тебе буде у два рази  більше грошей, ніж було до переходу.

– Справді ? – зрадів селянин.

– Правда! – завірив чорт. – Тільки , невеликий договір! За те, що я тобі  подвоюю гроші, ти кожного разу, перейшовши через міст, мені платиш по  24 копійки. Інакше не згодний.

– Ну, що ж це не біда! – сказав селянин. – Якщо гроші кожного разу  будуть подвоюватися, то можна кожного разу по 24 копійки віддавати.  Візьму і попробую!

Перейшов він через міст один раз, порахував гроші, подвоїлися.  Кинув він 24 копійки чорту і пішов через міст 2 раз. Знову грошей стало  вдвічі більше, ніж до того. Відрахував він 24 копійки і знову кинув під міст  чорту і пішов через міст третій раз. Грошей знову стало вдвічі більше. Але

27

стало їх тільки 24 копійки, які він повинен віддати чорту. Віддав він їх і  залишився без копійки. Скільки у селянина було грошей спочатку?  Програв селянин! Зрозуміло, що на чужу пораду завжди треба свій  розум мати. (21 копійка)

3.Селяни і картопля.

 Йшло троє селян і вирішили зайти пообідати і відпочити. Замовили на  обід вареної картоплі, а самі заснули. Шинкарка зварила картоплю, але не  стала будити селян, а поставила миску зі стравою на стіл і пішла. Проснувся  один селянин, побачив картоплю і, щоб не будити інших, порахував її, з’їв  свою частину і знову заснув. Невдовзі проснувся другий; він не  здогадувався, що один із них уже з’їв свою частину, тому він порахував  картоплю, з’їв свою частину і теж заснув. Після того проснувся третій;  подумав, що він проснувся першим, він теж порахував картоплю і з’їв третю  частину. Тут проснулися двоє інших побачили, що в мисці залишилося 8  картоплин. Тоді все стало зрозуміло.

 Подумайте і скажіть, скільки картоплин подала на стіл господиня.  Скільки кожний уже з’їв, а скільки ще повинен з’їсти, щоб всім дісталося  порівну. (27, 9, 3, 5картоплин)

4.Два пастухи.

 Зустрілися два пастухи, Іван і Петро. Іван і каже Петрові: « Віддай  мені одну вівцю, тоді у мене буде овець вдвічі більше, ніж у тебе!»А Петро  йому відповідає: «Ні, краще ти мені віддай одну вівцю, тоді у нас буде  овець порівну!» Скільки овець було у кожного? (7 і 5 овець)

5.Поділ верблюдів.

Один багатий чоловік, у якого було 3 сини, заповів, щоб після його  смерті поділили стадо верблюдів так, щоб старшому дісталося половину  всіх верблюдів, середньому – третина, а молодшому – дев’яту частину всіх  верблюдів. Сини почали ділити і виявилося, що число 17 не ділиться ні на 2,  ні на 3, ні на 9. Тоді брати вирішили звернутися до мудреця. Він приїхав до  них на своєму верблюді і поділив все згідно із заповітом. Як він це зробив?

 (9, 6 і 2 верблюди)

6.Лев, вовк і собака(старовинна російська задача)

Лев може з’їсти вівцю за 2 години, вовк – за 3 години, а собака – за 6  годин. За скільки годин лев, вовк і собака з’їли б вівцю разом? (1 годину)

7.У млині.

Вівса дванадцять мірок без упину

Розмеле млин за півтори години.

Тепер скажи-но ,за який же час

Шістнадцять мірок змеле млин для нас?(2 години)

8.Розміщення вартових.

Вздовж стін квадратного об’єкта потрібно було розставити вартових.  Комендант розмістив їх так, як показано на малюнку, по 5 чоловік з кожної  сторони. Потім прийшов полковник і незадоволений тим, як розмістили  вартових, розпорядився розставити солдат так, щоб з кожної сторони було  їх по 6. Потім прийшов генерал, розсердився на полковника за його  розпорядження і розмістив солдат по 7 чоловік з кожної сторони. Зобразити  за допомогою малюнка розміщення солдат у двох останніх випадках.

 

1 3  1 33 1 3  1

 

 

 

 

9. Обдурений господар.

 

 Господар зробив у своєму погребі полицю у формі квадрата з 9  відділеннями. В середині він залишив місце для пустих пляшок, в інших  розмістив 60 пляшок олії так, як показано на малюнку. Таким чином , на  кожній стороні квадрата було по 21 пляшці. Слуга помітив, що господар  кожного разу перевіряє тільки кількість пляшок на кожній стороні квадрата  і слідкує за тим, щоб не було пустих відділень і на кожній стороні квадрата  було по 21 пляшці. Тоді слуга виніс 4 пляшки олії, а решту розставив так,  що знову вийшло по 21 пляшці на кожній стороні. Господар порахував  пляшки своїм способом і подумав, що пляшок залишилася та сама кількість  і що слуга тільки переставив їх. Слуга скористувався неуважністю  господаря і знову виніс 4 пляшки, розмістивши решту так, що на кожній  стороні квадрата виходило знову по 21 пляшці. Так він повторював поки  було можливо. Зобразити всі можливі варіанти і скільки всього пляшок  виніс слуга?

 

10. Казка про Івана-царевича і Чахлика Невмирущого, який вмів  рахувати тільки до десяти.

З цієї казки ми розглянемо тільки уривки. Казка дуже цікава, але нас  цікавлять в ній тільки математичні задачі, з якими довелося зустрітися  казковим героям.

«В деякому царстві жив-був Іван-царевич. У нього було три сестри:  одна Мар’я-царівна, друга Ольга-царівна, третя Анна-царівна. Батько й мати  у них померли.

Віддав Іван-царевич сестер своїх заміж за царів мідного, срібного і  золотого царств, залишився один. Цілий рік він прожив без сестер і стало  йому сумно. Вирішив він піти до них у гості».

Далів казці розказується, як зустрів Іван-царевич Олену Прекрасну, як  полюбили вони один одного, як вкрав її Чахлик і вирішив зробити своєю  дружиною. Відмовилася Олена Прекрасна бути дружиною Чахлика  Невмирущого, і перетворив він її в тоненьку берізку.

«Іван-царевич зібрав воїнів і поїхав шукати свою наречену. Довго  ходив він, аж поки не прийшов до Баби Яги. Розповів він їй, куди і чого іде.  Баба Яга давно посварилася з Чахликом і вирішила допомогти Івану царевичу:

- Щоб зняти чари Чахлика, потрібно зібрати біля воріт його палацу  царів трьох царств: мідного, срібного і золотого. Рівно опівночі повинні  вони і ти разом з ними сказати чарівне слово. Тоді чари пропадуть і Чахлик  Невмирущий не зможе вже нічого зробити. 

Чорний ворон підслухав цю розмову Баби Яги з Іваном-царевичем і  розказав все Чахлику.

Прощаючись з Іваном-царевичем, дала йому Баба Яга чарівний  перстень.

- Він приведе тебе до Чахлика. А якщо потрібно буде тобі, Іване-– царевичу, якийсь замок відімкнути або замкнути, проси перстень. Зразу  виконає.

Чахлик впіймав Івана-царевича і кинув його разом з воїнами в глибоке  темне підземелля.

- Не бачити тобі Олени Прекрасної як своїх вух - , сказав Чахлик  Іванові.

Далі в казці йде опис підземелля. В квадратній печері було 8 погребів,  розміщених вздовж стіни, як показано на малюнку. Підвали були з’єднані  між собою, а все підземелля мало один вихід, який був закритий 7 замками.  Всіх воїнів разом з Іваном-царевичем було 24, і Чахлик розмістив їх у 8  підвалах порівну.

Кожного вечора приходив він у підземелля, знущався над Іваном царевичем і перераховував своїх полонених. Рахувати він вмів тільки до  десяти, тому він рахував ув’язнених, які знаходилися вздовж кожної стіни,  порахувавши до 9 біля кожної стіни й виходив.

Труднощі не зламали Івана-царевича. За допомогою чарівного персня  він відімкнув всі сім замків і відправив трьох воїнів до мідного, срібного і  золотого царств. А щоб нічого не запідозрив Чахлик, Іван-царевич розсадив  решту воїнів по-іншому, але зберігши вздовж кожної стіни по 9 воїнів. Як  завжди ввечері прийшов Чахлик, перерахував воїнів вздовж стіни і нічого  не запідозрив.

Через деякий час воїни добралися до царів мідного, срібного і золотого  царств, розповіли їм про свою історію і разом з ними повернулися в  підземелля. Якраз в цей час Чахлик вирішив оглянути підземелля. Іван царевич розсадив своїх воїнів і трьох царів так, що знову у підвалах вздовж  кожної стіни сиділо по 9 чоловік. І знову йому вдалося обдурити Чахлика.

Після цього в казці розповідається, як рівно опівночі три царі разом з  Іваном-царевичем підійшли до воріт палацу Чахлика, сказали чарівне слово  і спали чари з Олени Прекрасної, як вдалося вибратися їм всім з царства  Чахлика Невмирущого і про весілля Івана-царевича та Олени Прекрасної.

Казка закінчилася, але залишається питання: як розсаджував полонених  Іван- царевич? 

11. Задача гнома

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гном розкладає коштовне каміння по скринях – порівну у кожну  скриню. Якщо він розкладе каміння по 5 скринях, то 4 каменя залишиться,  якщо по 4 скринях, то 3 каменя залишиться, якщо по 3 скринях, то 2 каменя  залишиться, якщо по 2 скринях, то 1 камінь залишиться. Скільки коштовних  каменів у гнома, якщо відомо, що у нього їх менше 60. (59 каменів)

12. По гриби

Дідусь пішов з 4 внуками по в ліс гриби. В лісі вони розійшлися в різні  сторони шукати гриби. Через півгодини дідусь сів під дерево відпочити і  полічив всі гриби: їх виявилося 45 штук. Тут прибігли до нього внуки, та всі  з пустими руками, ніхто нічого не знайшов.

- Дідусю, - просить один онук, - дай мені своїх грибів, щоб корзинка  пустою не була. Може, я з твоєї легкої руки багато грибів наберу.

 

- І мені, дідусю!

- І мені дай!

Дав дідусь кожному і … роздав всі свої гриби. Всі знову розбіглися в  різні боки. Один хлопчик знайшов ще 2 гриби, другий 2 загубив, третій  знайшов ще стільки, скільки одержав від дідуся, а четвертий загубив  половину грибів, що одержав від дідуся. Коли діти прийшли додому,  виявилося , що у всіх грибів порівну

Скільки кожний одержав від дідуся грибів і скільки було у кожного,  коли вони прийшли додому ?

 

13. Скільки було яєць?

Жінка несла продавати кошик яєць. По дорозі вона зіткнулася з  перехожим і впала, всі яйця розбилися. Перехожий захотів заплатити за  яйця і спитав, скільки їх всього було. «Я не пам’ятаю цього, - сказала жінка,  - знаю тільки добре, що коли я клала яйця по 2 , то залишилося 1 яйце. Так  само завжди залишалося по 1 яйцю, коли я їх перекладала по 3, по 4, по 5  ,по 6. Коли я перекладала по 7, то не залишилося жодного яйця». Скільки  яєць було у кошику? (301)

14.Золото царя Додона

6 грабіжників пограбували царя Додона. Здобич була великою – майже  сотня однакових золотих злитків. Почали розбійники ділити награбоване  порівну і виявилося, що один злиток зайвий. Розбійники почали битися – в  бійці вбили одного розбійника. Тоді 5 розбійників взялися за розподіл  награбованого, але знову один злиток виявився лишнім і знову в бійці  загинув 1 розбійник. І так продовжувалося щоразу: один злиток був зайвим,  а в бійці вбивали одного грабіжника. І нарешті залишився 1 грабіжник,  який зразу ж помер від ран. Скільки злитків золота не могли поділити між  собою грабіжники? (61) 

15. Хитра лисичка

Наловив дід риби повний віз. Їде додому і бачить: лисичка на дорозі  лежить. 

Дід зліз з воза, підійшов, а вона не ворушиться. Дід подумав, що  лисичка мертва.

- Гарна знахідка! Буде моїй бабі тепла шубка.

Взяв він лисичку і закинув на віз, а сам пішов попереду. А лисичка  вибрала зручний момент і почала викидати рибку за рибкою. Спочатку

лисичка була обережною, а потім стала сміливішою. За першу хвилину вона  викинула 1 рибку, за другу – 2 рибки, за третю – 4 рибки і так через кожну  хвилину вона викидала вдвічі більше рибки. Через 7 хвилин лисичка  викинула всю рибу і сама втекла. Скільки риби дісталося хитрій лисиці? 

 (127 штук)

16. Як лисиця і вовк рибу ділили

Нечесним шляхом лисиця і вовк здобули цілу купу риби. Лисиця  ризикувала своїм хутром. І вовку добряче дісталося – болять боки від  побоїв.

Лисиця каже:

- Давай, вовче, поділимо рибу порівну.

- Давай! Слабкий я в математиці, діли ти, лисичко.

Кинула лисиця вовку 1 рибину, а собі 2:

- Ось тобі 1 рибка, а мені 2.

- Мені замало.

- Слухай далі. Тобі 3 рибки…

- Це можна !

- А мені 4, тобі 5, а мені 6, тобі 7 ...

І так далі…

Поділила лисиця рибу, кожний раз, додаючи на 1 рибину більше. Останній раз лисиця кинула собі 20 штук і на цьому риба закінчилася. Задоволений вовк, думає, що він одержав риби стільки, скільки й лисиця.

Як ви вважаєте, хто більше одержав рибок: лисиця чи вовк і на скільки?   (на 10 штук) 17. Поле чудес

Лисиця Аліса та кіт Базиліо привели Буратіно на пустир і розповіли:

- Це поле Чудес: якщо закопаєш тут золоті монети, то вранці виросте  дерево, на якому буде в 3 рази золотих монет більше. Потім знову можна  золоті монети закопати в землю і знову виросте дерево із золотими  монетами . Так можна кожного разу збирати урожай. Закопай свої монети , а  ми їх будемо охороняти.

Як винагороду за послугу лисиця і кіт попросили 9 монет після  кожного урожаю. Трохи подумавши, Буратіно не погодився з їхніми

3

умовами. Він заявив, що після двох урожаїв у нього зовсім не залишиться  монет. Скільки золотих монет було у Буратіно?(4 монети)

 

Про математику

1. Алгебра і геометрія — єдині країни, де панують тиша й  мир.

 М. Аньєзі

2. Те, що не може геометрія, не можемо й ми (XVII ст.).

 Б. Паскаль

3. Нічого немає більш практичного, ніж хороша теорія.

 Л. Больцман

4. Алгебра — це лише писана геометрія, а геометрія — зображена алгебра.  С. Жермен

5. Геометрія є пізнання всього існуючого (IV ст. до н. е.).

 Платон

6. Числа — це невід’ємне знаряддя сучасної цивілізації, що  використовується для впорядкування сфери її діяльності.

 Ф. Дейвіс

7. Арифметика — це лічильна мудрість. Без цієї мудрості ні філософа, ні  лікаря не може бути.

 Л. П. Магницький

8. ... нуль багатший на зміст, ніж усяке інше число.

 Ф. Енгельс

9. Цілі числа — першоджерело математики.

 Г. Мінковський

10. Усе впорядковується відповідно до чисел (VI ст. до н.е.).  Піфагор

11. І, дуже полюбивши мистецтво числове, я подумав, що без числа ніяке  міркування філософське не можна вивести і його слід вважати матір’ю всієї  мудрості.

 Ананія Ширакаці

12. В арифметиці ставити питання важливіше за вміння їх розв’язувати.  Г. Кантор

 

13. ...принципи геометрії є принципами всієї математики.

 О. Хайям

14. Невигадливі головоломки про цілі числа протягом віків були джерелом  оновлення математики.

 Г. Біркгоф

15. ...спробуємо на хвилину уявити собі, що ми всі втратили елементарні  арифметичні знання. Адже це приведе до справжньої суспільної катастрофи,  бо арифметичний розрахунок супроводить нас на кожному кроці.

 Б. В. Гнєденко

16. Найдосконаліший мозок іржавіє без дії.

 Шерлок Холмс

17. Справа не в тому, що вони не бачать розв'язку. Справа в тому, що вони  не бачать проблеми.

 Г. К. Честертон

18. Що ж, якщо вам відома краща роль, займіться нею.

 Брюс Бейрнсфатер

19. Те, що сьогодні доведено, колись існувало тільки в уяві.  Вільям Блейк

20. Все найважливіше раніше сказав той, хто цього не зрозумів.  А. Н. Уайтхед

21. Нехай той, хто не математик, не читає мене.

 Леонардо да Вінчі

22. Найкращий спосіб вивчити що-небудь – це відкрити самому.  Д. Пойа

23. Через рівняння, теореми

 Я всякі вирішував проблеми.

 Джеффі Чосер

24. Те, що я встиг пізнати, - чудово.

 Сподіваюся, таке ж чудове те,

37

 Що мені ще доведеться пізнати.

 Сократ

25. Математика – це наука про величини; вона виходить із поняття  величини.

 Ф. Енгельс

26. Математик в душі має бути поетом.

 С. Ковалевська

Список літератури 

1. Ізюмова А.В. Математична скарбничка//Математика.-2001.-№ 14-15 2.Буковська О. І. Математична логіка.5-9 класи.-Х.:Основа, 2005 3.Конфорович А.Г. Математичні софізми та парадокси.-К.:Радянська школа,  1983

4.Лоповок Л. М. Збірник математичних задач логічного характеру.-К.:  Радянська школа, 1972 (стор. 80 - 84).

 

39

40