Тема: Графіки та властивості тригонометричних функцій

Тип уроку: комбінований

Мета:

1. Навчальна: навчити учнів будувати графіки тригонометричних функцій та «зчитувати» з них властивості, забезпечити засвоєння функціональних понять  та розуміння кожним учнем того, що математичні поняття та їх властивості створюються в результаті ідеалізації реальних операцій над предметами та виділенні їх властивостей.

2. Виховна: сприяти формуванню наукового світогляду учнів, формувати інтерес до математики на основі зв’язку з життям.

3.Розвиваюча: сприяти розвитку таких розумових дій, як аналіз, порівняння, узагальнення, абстрагування, встановлення та використання аналогій; і таких складових математичних здібностей, як здатність усвідомлювати внутрішні зв’язки математичних відношень, самостійність мислення.

Методичне та матеріальне забезпечення урок:   свічка, ножиці, комп’ютер, проектор, демонстрації ( маятник Айрі, графіки  тригонометричних функцій)

Міжпредметна інтеграція: фізика, астрономія.

Основні знання і вміння:

Знати: означення, основні поняття та формули даного розділу.

Вміти: будувати графіки та «зчитувати» їх властивості.

Методична спрямованість: доцільність використання наочності на занятті, демонстрація міжпредметних зв’язків

Література:

1.  Підручник за 10 клас » Математика Автор: Мерзляк, Номіровський, Полонський, Якір, Нова програма 10 клас
2. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике: Книга для внеклассного чтения 9 – 10 кл.- М. Просвещение, 1985.
3. Симан С. Особливості вивчення теми «Тригонометричні функції»

// Математика в школі.- 2003 - №9

4. Смирнова И.М. Необычный способ получения синусоиды //Математика в школе. – 1993 - №3
5. Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. – 1993. - №3
6. Шенфельд Х. Что общего между заходом Солнца и функцией синус? // Математика в школе. – 1993. - №2

Хід урок

І. Організаційний момент перевірка д/з

Перевірка готовності учнів до урок.

 Коливання навколо нас. Користь та шкода від них.

Результати своїх досліджень оприлюднюють представники двох груп, які вивчали коливання, що оточують нас. Одна група представляє ті коливання, які приносять користь, інша -  ті, що шкідливі.

    Після виступу обговорюється наступне питання:

Тож коливання ,які оточують нас, корисні людству чи ні?

       Якщо учні не можуть самостійно зробити висновок, то можна задати навідне запитання: який автомобіль небезпечніший на дорозі – керований водієм чи ні?

ІІ. Мотивація навчальної діяльності учнів, повідомлення теми, мети і завдань 

Виявляється, самим зручним математичним апаратом для дослідження коливних процесів є тригонометричні функції.

План урок

1. Побудова графіків тригонометричних функцій.
2. Моделювання за допомогою комп’ютера процесу незатухаючих коливань математичного маятника
3. Періодичні процеси навколо нас
4. Про один незвичний спосіб отримання синусоїди
5. Перетворення графіків тригонометричних функцій

ІІІ. Актуалізація опорних знань (10 хв.)

1. Які функції ми з вами вивчаємо?
2. Дайте означення парної (непарної)функції. Як розташовується її графік?
3. Які тригонометричні функції відносяться до парних, а які до непарних?
4. Яка функція називається періодичною? Як побудувати її графік? Який найменший період мають тригонометричні функції?

IV. Викладення нового матеріалу

1. Побудова графіків тригонометричних функцій.

Тепер давайте побудуємо графіки тригонометричних функцій і «зчитаємо» з них властивості цих функцій.

  Учні будують графіки тригонометричних функцій, використовуючи таблиці значень для синуса, косинуса, тангенса та котангенса (на занятті будуються графіки функцій , а вдома - ). При цьому слід звернути увагу на те, щоб вони вибрали однаковий масштаб для обох координатних осей, інакше в учнів може скластися неправильне уявлення про графіки тригонометричних функцій.

Графіки тригонометричних функцій:

1) y = sin x

Нижче наведені значення косинуса й синуса для деяких значень x:

За цими значеннями будуємо графік на відрізку . Так як функція непарна, то відобразимо отриманий графік відносно початку координат на . А скориставшись періодичністю, продовжимо графік на всю область визначення.

Властивості:

 1)    D(y) =       Функція sin x неперервна на всій області визначення.

   2)     E(y) =

   3) Вона періодична;  основний період дорівнює 2.

   4) Непарна, оск sin(-x)=-sinx ( графік симетричний відносно початку координат)

    5)  Функція sin x обертається в нуль при x = πn.

    6) Проміжки монотонності :

      7) Синус досягає максимуму в точках і мінімуми в точках

2) y = cosx

Кроки побудови графіка:

1.

2.

3) y = tg x

Значення цих функцій у деяких точках наведені в таблиці.

1) D(y) = R, крім  ,   - точка розриву

2) E (y) =

3) Непарна:  tg (-x) = -tg x – симетричний відносно початку координат

4) Тангенс ( котангенс ) є періодичними функціями. Їхній основний період дорівнює .

5)  y = 0, коли

6) Зростає

 7) max,  min  відсутні

Оскільки тангенс і котангенс – непарні функції, досить побудувати їхні графіки на відрізку відбити симетрично відносно початку координат і періодично продовжити графік, що вийшов, на відрізки

1. y = ctg x

Кроки побудови графіка:

    1.

    2.

3.

  2.  Моделювання за допомогою комп’ютера процесу незатухаючих коливань математичного маятника

    До тіла, що коливається, прикріплена лійка з червоною фарбою (маятник Айрі). Під тілом розміщена паперова смужка. Якщо під час коливань маятника смужку рухати з деякою сталою швидкістю у напрямку коливань, то на смужці отримаємо криву, яка графічно зображає залежність координати від часу і наз. синусоїдою.

3.Періодичні процеси навколо нас

Періодичні процеси постійно трапляються в повсякденному житті. Наведіть приклади.

А) Залежність часу заходу Сонця від дати календаря

Багато періодичних процесів описуються за допомогою тригонометричних функцій. Так, для прикладу, розглянемо залежність часу заходу Сонця від дати календаря і побудуємо її графік (виконується практична робота).

Учні представляють випереджаюче домашнє завдання: за допомогою відривного календаря відмічають час заходу Сонця на перше число кожного місяця і будують графік залежності часу (вісь Оy) від дати (вісь Оx).

Висновок: спостерігаючи картину руху сонця по небесній сфері та фіксуючи залежність заходу Сонця від дати календаря, отримуєм картину, яка нагадує саме графік функції

Б) Чому влітку тепліше, ніж узимку і до чого тут тригонометрія?

А тепер давайте спробуємо дати відповідь на запитання: чому влітку тепліше, ніж узимку?

Учні представляють випереджаюче домашнє завдання.

Після звіту можна визначити, яка частина сонячної енергії припадає на деяку ділянку площини при падінні променів під тим чи іншим кутом.

Розглянемо виділені прямокутні трикутники: гіпотенуза, на яку потрапляють сонячні промені, одна й та сама, а катет, через який входять промені, що падають на неї, змінюється по довжині разом з кутом, який утворюють з гіпотенузою падаючі на неї промені. Частина сонячної енергії дорівнює відношенню вказаного катета до гіпотенузи і змінюється залежно від кута падіння за законом . Щоб показати це, зберемо всі прямокутні трикутники і розташуємо  їх так, як показано на рисунку.

4.Про один незвичний спосіб отримання синусоїди (практична робота)

Учні обгортають свічку кілька разів аркушем паперу і перерізають її навколо гострим ножем приблизно під кутом 45⁰, а потім розгортають папір.   Учні побачать, що крива лінія, отримана в перерізі, нагадує синусоїду.

Розглянемо приклади застосування отриманого результату на практиці. Так, наприклад, майстер, якому потрібно зробити циліндричну трубу з коліном (мал..б), бере прямокутний шмат заліза шириною , де - радіус перпендикулярного перерізу труби, і на його основі будує синусоїду (мал..а). Якщо обидві частини коліна одного радіуса, то , а тому і .

Аналогічно створюється викройка для швачки, якій потрібно зшити верхню частину рукава з вирізом для рукава в плечі.

V. Узагальнення та систематизація знань (15хв)

Побудувати графіки наступних функцій:

1.

2.

3.

V. Підсумок уроку  

Підведення підсумків роботи на занятті, аналіз одержаних оцінок, поради, зауваження. 

VI. Домашнє завдання 

        Побудувати і дослідити 

             а)

              б)

Додатки

1.Можливі виступи учнів

1. Корисні коливання

Механічні коливання застосовуються для швидкої укладки бетону спеціальними машинами, для просіювання матеріалів на вібруючих решетах і навіть для безболісного лікування зубів. Акустичні коливання потрібні для прийому та відтворення звуків, медичного діагностування (ультразвукове обстеження), для перевірки якості сплавів, залізобетонних споруд. Електромагнітні коливання є основою радіозв’язку та телебачення, за допомогою електромагнітних коливань ученими були отримані знімки зворотного боку Місяця і постійно захованої за хмарами поверхні Венери, вони дають можливість установлювати зв’язок з космічними ракетами, допомагають отримувати інформацію про складні процеси, що відбуваються в середині зірок, про вибухи у віддалених галактиках.

      Коливання також супроводжують і біологічні процеси, наприклад, слух, зір, сприйняття ультрафіолету, передачу збудження по нервовій тканині, роботу серця та мозку. Записуючі роботу серця та мозку, лікарі отримують електрокардіограми та енцефалограми відповідно.

2. Шкідливі коливання

Але коливання не завжди корисні. Так, наприклад, вібрація станка діє на деталь, що обробляється, і може призвести до браку, навіть добре затягнута гайка під впливом вібрації слабшає і станок руйнується; під дією вібрації змінюється внутрішня структура металів, що призводить до несподіваного руйнування конструкцій (руйнування мостів під час ураганів та їх падіння при резонансній взаємодії); вібрація рідини в паливних баках ракети загрожує їх цілісності, а вібрація крил літака при несприятливих умовах може призвести до катастрофи.

2.час заходу Сонця на перше число кожного місяця