Урок на тему "Історія розвитку теорії диференціального та інтегрального числення"
ТЕМА: ІСТОРІЯ РОЗВИТКУ ТЕОРІЇ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО І
ІНТЕГРАЛЬНОГО ОБЧИСЛЕННЯ
МЕТА:
1. Ознайомлення учнів з історією математики.
2. Узагальнення й систематизація знань .
ТИП УРОКУ: Урок-семінар з історії математики.
ОБЛАДНАННЯ: портрети вчених-математиків, реферати учнів.
ХІД УРОКУ:
1. ВСТУП
ІСТОРИЧНА ДОВІДКА.
1. З чим була пов'язана необхідність появи диференціального
обчислення.
2 Внесок стародавніх математиків.
3. Хто стояв на початку? Їх внесок. Які задачі привели до відкриття
нового обчислення?
Кавальєрі , Кеплер, Декарт, Барроу, Стевін, Роберваль |і інші.
На період ХУП ст.. з'явилися такі задачі, вирішити які існуючими в
той час методами було неможливо. ( Площі і об'єми довільних фігур, миттєва
швидкість і інші), До ХУП ст. було накопичено досить багато методів,
близьких до інтегральних, розв'язано значну кількість задач, і потрібен лише
поштовх розглянути усю сукупність методів з єдиної точки зору.
Такі задачі на той час були трьох видів: проведення дотичних до
кривих, знаходження максимумів і мінімумів функцій на знаходження умов
існування кратних коренів алгебраїчних рівнянь. До цієї групи тісно
прилягають запити механіки, що витікають з необхідності визначити
швидкість в будь-якій точці траєкторії у випадку нерівномірного руху, не
кажучи вже про більш складні задачі.
Науковий спадок давніх та середньовічних авторів в цій галузі не був
визначеним та значним, і у випадку інтегральних методів. Задачі про дотичні
розглядалися не систематично, єдиних прийомів вироблено не було.
Загальним було прагнення розуміти дотичну, як пряму, що має з кривою
одну спільну точку, та має властивості локальної однобічності.
Хоча честь створення інтегрального та диференціального числень
Належить математикам ХУП ст , ці питання, а точніше зразки їх,
розглядалися ще з давнини.
ІІ. ВНЕСОК СТАРОДАВНІХ МАТЕМАТИКІВ.
Ідею границі вперше було використано стародавнім грецьким
математиком Евдоксом Кнідським (ГУ ст. до н.е.). Метод Евдокса, який був
названий "методом вичерпування", використовували Евклід, Архімед та інші
вчені стародавнього світу. Суть цього метода (полягала в тому, що для
обчислення площі плоскої фігури ( об'єму тіла) навколо них описували і в
них вписували ступінчаті фігури і , збільшуючи кількість сторін
многокутника (граней многогранника), знаходили траницю, до якої
прямували площі (об'єми) ступінчатих фігур.
Проте для кожної фігури обчислення границі залежало від вибору
спільного прийому. А проблема загального методу обчислення площ і
об'ємів фігур залишалась нерозв'язаною.
Аркімед ще явно не застосовував загальне поняття границі і інтеграла,
хоча в неявному вигляді ці поняття використовувались. Архімед зумів
вирішити задачу на побудову дотичної до такої складної кривої, як спіраль, і
знайти максимум функції .
Епізодично | поняття дотичної зустрічалось в роботах італійського
математика Н. Тартольї ( біля 1500-1557 р.р.) - тут дотична з'явилась під час
вивчення питання про кут нахилу зброї, при якому досягається найбільша
дальність польоту снаряду.
Іоган Кеплер ( 1571-1630 р.р.) розглядав дотичну в процесі розв'язання
задачі про найбільший об'єм паралелепіпеда , вписаного у кулю заданого
діаметра. Крім того Кеплер успішно здійснив першу спробу розвинути ідеї
Архімеда. Він обчислив площі плоских фігур та об'єми тіл, спираючись на
ідею розкладання фігури та тіла на нескінченну кількість нескінченно малих
частин. З цих частин у результаті додавання складалася фігура, площа якої
відома і яка дає змогу обчислити площу фігури.
Слід відзначити вчення Г. Галлілея про рух, на основі якого активно
розвинулась кінематична 1 концепція (похідної. Різноманітні варіанти
викладання, що застосовувались до різних задач, зустрічаються вже у Р.
Декарта, французького математика Роберваля (1602-1675 р.р), англійського
вченого Д. Григорі ( 1638-1375 р.р.), в роботах І, Барроу
(1630-1677 р.р.) та, нарешті, І. Ньютона.
До розгляду дотичної та нормалі (прямої, перпендикулярної дотичній
що проведена в точку дотику) Декарт прийшов в процесі вивчення оптичних
властивостей лінз. За допомогою методів аналітичної геометрії та
винайденого ним метода невизначених коефіцієнтів він зумів вирішити
задачі про побудову нормалей до ряду кривих, в тому числі до еліпсу.
У 1629 р. П. Ферма запропонував правила знаходження екстремумів
многочлена. Фактично при виведенні цих правил Ферма активно
застосовував граничні переходи, користуючись найпростішою
диференційною умовою максимума та мінімума.
У 1666 р. І. Ньютон і дещо пізніше Лейбніц незалежно один від одного
побудували теорію диференціального числення. Ньютон прийшов до поняття
похідної, розв'язуючи задачі про миттєву швидкість, а Лейбніц -
розглядуючи геометричну задачу про проведення дотичної до кривої.
( Біографія І. Ньютона, В.Г. Лейбница).
У працях французького вченого Блеза Паска ля (| 1623-1662) були
закладені основи проективної геометрії, інтегрального числення. В сво
"Трактаті про арифметичний трикутник" та "Трактаті про числові порядки"
він зібрав ряд припущень та відкриттів з теорії імовірності.
Карл Вейєрштрассе ( 1915-1897) - німецький математик, протягом
багатьох років був учителем однієї З прусських гімназій , в 1856 р. став
професором математики Берлинського університету, де викладав протягом
тридцяти років. Слава про його лекції, завжди добре підготовлені, зростала:
головним чином саме завдяки цим лекціям ідії Вейєрштрасса стали
загальним здобутком математиків. За час роботи в гімназії Вейєрштрасссе
написав кілька статей про теометричні інтеграли, абелеві функції та
алгебраїчні диференційні рівняння.
Видатний французький математик Коші Огюстен-Луї був членом
Паризької АН, Лондонського королівського товариства і членом академії
наук майже всіх країн світу. Серед його праць є "Курс аналізу", "Резюме
лекцій з обчислення нескінченно малих величин", "Лекції із застосування
аналізу до геометрії", де широко застосовувалось поняття границь. Коші дав
означення інтеграла. Як границі сум, дав чітку форму для вираженні
аналітичної функції у вигляді інтегралу. У теорії диференційних рівнянь
йому належать основні теореми про існування розв'язків і методи
інтегрування рівнянь У частинних похідних першого порядку.
Михайло Васильович Остроградський ( 1801-1862 р.р.) у своїх працях
3 математики велику увагу приділяв інтегральному численню; виведена ним
формула перетворення інтеграла за об'ємів в інтеграл за поверхнею стала
класичною і внесена в курси аналізу вусіх країнах світу.
ІІІ. ЗНАЧЕННЯ ТЕОРІЇ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО І ІНТЕГРАЛЬНОГО
ОБЧИСЛЕННЯ.
Апарат математичного аналізу має значну гнучкість і припускає
застосування при рішення відповідних цьому рівню задач. Саме
математичний аналіз є тією єдиною науковою системою, яка б пояснювала б.
з однакових позицій всі природничо-наукові факти та дала б. апарат для їх
вивчення.
ІV. ЛІТЕРАТУРА.
- Журнал "Квант", № 6-1 977, 55 -1974.
- Журнал "Математика в школі", М» 5 -1989, Х» 1 -1988, Ме 6 - 1980
- Дитяча енциклопедія. Т.2
- Чистяков. Историческиє зкскурсьт на уроках математики.
- Стрейк. Очерки по истории математики
ІV. ЗАСТОСУВАННЯ ПОКАЗНИКОВОЇ І ЛОГАРИФМІЧНОЇ
ФУНКЦІЙ.
V. МАТЕМАТИЧНІ ТЕРМІНИ.
VІ. ЦІКАВІ ГРАФІКИ.
Наприклад:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
САМОСТІЙНА РОБОТА.
І ВАРІАНТ. ІІ ВАРІАНТ
1. 1). З чим була пов'язана необхідність введення логарифмів.
2). Математики, що внесли внесок у теорію про показникову функцію.
3). Застосування логарифмів ( 1 приклад).
2. Дослідити і побудувати трафік:
у=(log (х +1)) y= (log (х -2))
VІІ. ПІДСУМОК УРОКУ.
Оцінювання рефератів, підготовлених на семінар, виступів на семінарі.
про публікацію авторської розробки
Додати розробку