Урок на тему: "Многогранники. Розв'язування вправ"

Заняття 8

Тема: Розв’язування вправ

Мета: Навчити застосовувати формулу Ейлера для визначення зв’язку між кількістю вершин, ребер і граней. Розвивати просторову уяву, вміння будувати розгортки многогранників, аналізувати їх властивості. Формувати навички розв’язування задач різного рівня складності на тему многогранників.

Пригадаємо:

1. Многогранником називають тіло, поверхня якого складається зі скінченної кількості многокутників.
2. Многокутники, які обмежують многогранник, називають гранями, сторони граней – ребрами, а їхні кінці – вершинами многогранника.
3. Відрізок,  який сполучає дві вершини, що не належать одній грані, - діагональ многогранника.
4. Найменше число граней многогранника – чотири.
5. Многогранник називають опуклим, якщо він розташований з одного боку від площини кожної його грані. В інших випадках многогранник називають неопуклим.
6. Теорема Ейлера. Нехай В – число вершин опуклого многогранника, Р – кількість його ребер, а Г – відповідно, граней.

Тоді правильна рівність В – Р + Г = 2.

Усні вправи

1. Наведіть приклади предметів побуту, що є геометричними тілами.

2. Які із зображених фігур є геометричними тілами?

3. Які із зображених тіл є многогранниками?

4. Наведіть приклади предметів побуту, які мають форму многогранника.

Розв’язування задач

1.          Опуклий многогранник має 7 вершин і 5 граней. Скільки ребер у нього?
2.          Опуклий многогранник має 10 вершин і 16 ребер. Скільки граней у нього?
3.          Побудуйте многогранник, який має 5 граней і 5 вершин. Скільки ребер він має? (8 ребер)

4.          Опуклий многогранник має 8 граней, із них 4 – це чотирикутники, а ще 4 – п’ятикутники. Скільки у нього ребер та вершин?

Розв’язання

Для опуклого многогранника із 8 гранями (4 чотирикутники і 4 п’ятикутники) можна знайти кількість ребер і вершин, використовуючи формулу Ейлера: В + Г – Р = 2.

Нам відомо, Г = 8. Кількість ребер можна також обчислити через суму ребер граней, дотримуючись того, що кожне ребро належить двом граням:

4*4 + 4*5 = 16 + 20 = 36. Оскільки кожне ребро рахуємо двічі, отримаємо:

Р = 36 / 2 = 18.

Підставляємо у формулу Ейлера: 

В + 8 – 18 = 2,  В – 10 = 2,   В = 12.

Відповідь: многогранник має 18 ребер і 12 вершин.

5.          Опуклий многогранник має 10 граней, із них 6 — п’ятикутники, а решта — квадрати. Визначте кількість вершин і ребер цього многогранника.

6.          Чи існує опуклий многогранник, кожна грань якого є шестикутником?

Розв’язання

Припустімо, що такий многогранник існує, і він має Г граней. Тоді його грані мають у сумі 6Г сторін. Але кожна з цих сторін буде ребром рівно для 2 граней, тому всього буде 3Г ребер: Р = 3Г. Тоді за теоремою Ейлера можна знайти кількість вершин:

В + Г – Р = 2

В + Г – 3Г =2 

В = 2 + 2Г

Тепер згадаймо, що в кожній вершині сходяться не менше трьох ребер. Отже, якщо ми порахуємо всі ребра, що виходять із кожної вершини, то отримаємо величину не меншу за 3В. Але, оскільки кожне ребро проходить через 2 вершини, ми підрахували ребра двічі. Тобто кількість ребер буде не менше 3/2В, або 1,5В:

Р ≥ 1,5В

Р ≤ 1,5* (2 + 2Г)

Р ≥ 3 + 3Г

Ця нерівність суперечить отриманій раніше рівності Р = 3Г. Протиріччя показує, що насправді не може існувати опуклий многогранник, кожна грань якого – шестикутник.

Тест

1. Опуклий многогранник має 8 вершин і 6 граней. Скільки ребер у нього?
   а) 12
   б) 14
   в) 10
   г) 16
2. Многогранник має 8 граней: 4 трикутники і 4 чотирикутники. Відомо, що у нього 12 вершин. Знайдіть кількість ребер многогранника.
   а) 20
   б) 18
   в) 16
   г) 14
3. Опуклий многогранник має 10 граней, 6 з яких — п’ятикутники, а решта — чотирикутники. Знайдіть кількість вершин і ребер.

а) В=16,       Р=24
б) В=20,       Р=30
в) В=18,       Р=26
г) В=24,       Р=32

Підведення підсумків заняття

•   Що таке многогранник? Назвіть його основні елементи.
•   Як пов’язана кількість вершин, ребер і граней опуклого многогранника? Назвіть формулу.
•   Що таке розгортка многогранника? Для чого її використовують?
•   Скільки ребер має куб? Скільки граней і вершин?
•   Для чого корисно будувати розгортку многогранника при розв’язанні задач?
•   Які властивості мають ребра и вершини многогранника?
•   Як визначити, чи є многогранник опуклим?