Урок "Періодичність тригонометричних функцій"

Тема заняття: Періодичність тригонометричних функцій.

Мета заняття: ввести поняття періодичної функції, знаходження найменших додатних періодів тригонометричних функцій; розвивати пам'ять, логічне мислення, увагу; виховувати інтерес до предмету.

Тип заняття:  лекція комплексного характеру.

Обладнання: підручники, мультимедійна презентація.

Література:

1. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 кл. загальноосвітніх навчальних закладів, М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубинчук. – К.: Зодіак – ЕКО, 2002, - 272 с.

2. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10-11 кл. загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Освіта, 2006. – 255с.

План заняття

І. Організація початку заняття.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

• Перевірка домашнього завдання.
• Усне опитування.

ІІІ. Повідомлення теми, мети заняття.

IV. Вивчення нового матеріалу:

1. Поняття періодичної функції.
2. Найменші додатні періоди тригонометричних функцій.

V. Систематизація знань студентів.

VІ. Підведення підсумків заняття. Домашнє завдання.

Хід заняття

І. Організація початку заняття.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

• Перевірка домашнього завдання.

Відповіді на запитання студентів, які виникли у них при розв’язуванні домашнього завдання.

• Усне опитування.

1. Що таке арккосинус числа? Властивості функції .
2. Що таке арксинус числа? Властивості функції .
3. Що таке арктангенс і арккотангенс числа?

ІІІ. Повідомлення теми, мети заняття.

IV. Вивчення нового матеріалу.

У природі часто зустрічаються явища, які повторюються періодично. Наприклад, Земля при обертанні навколо Сонця періодично повертається у своє початкове положення через рік, два роки, три роки і т. д., тому говорять, що період обертання Землі навколо Сонця дорівнює одному року. Періодичний характер мають рухи маховика і колінчатого вала. Властивість періодичності мають звукові, електромагнітні явища, робота серця людини і т. д. Закономірності періодичних явищ описуються періодичними функціями, до вивчення яких ми і приступаємо.

Функція називається періодичною з періодом , якщо для будь-якого х із області визначення числа і також належать області визначення і виконується рівність

Так як одній і тій самій точці одиночного кола відповідає нескінченна множина дійсних чисел , де , то

,

Звідси випливає, що - періоди функції синус і косинус .

Доведемо, що число є найменшим додатним періодом функції . Нехай - період косинуса, тобто для будь-якого виконується нерівність . Взявши , одержимо . Звідси . Через те що , Т може дорівнювати ... і тому період не може бути меншим .

Можна довести, що найменший період функції теж дорівнює . Нехай Т — довільний період синуса. Тоді для будь-якого . Взявши , одержимо , але , якщо ,n Z, тому . Найменше додатне число виду є число .

Доведемо, що найменшим додатним періодом функції є число . Нехай Т — додатний період тангенса, тобто . Взявши , маємо . Звідси . Через те що найменше ціле додатнеп, — найменший період функції . Найменшим додатним періодом котангенса теж є число . Отже,

,

.

Як правило, слова «найменший додатний період» опускають. Прийнято говорити, що період тангенса і котангенса дорівнює , aперіод косинуса і синуса дорівнює .

Справедливе твердження.

Якщо функція періодична і має період Т, то функція , де — постійні , також періодична, причому її період дорівнює .

Доведемо це твердження.

Спочатку доведемо, що  є періодом функції :

.

Нехай — період функції , тобто

,

.

Позначивши маємо . Через те що найменшим періодом функції , то , звідси.

V. Систематизація знань студентів.

1.    Обчисліть:

a) sin 1470°;    б) tg 1860°;     в) cos 1140°;     г) ctg 1125°.

Відповідь: а)     ;     б)       ;    в)          г)1.

2.    Знайдіть значення:

a) ;           б) ;             в);             г).

Відповідь:  а);       б);           в);         г) 1.

3.    Знайдіть найменший додатний період функцій:

а);               б)y=3cos 4x;

в);         г) .

Відповідь: а) π;          б) ;         в);          г) 4π.

4.    Знайдіть значення sin α, якщо:

a) sin (α + 2π) = 0,3;    б) sin (4π - α)=0,2;

в) sin (α + 6π) = 0,5;    г) sin (α – 2π) = 0,1. 

Відповідь:  а) 0,3;       б)-0,2;         в) 0,5;                  г) 0,1.

VІ. Підведення підсумків заняття. Домашнє завдання.

Розділ І § 5. Запитання і завдання для повторення до розділу 1 № 47—49. Вправа № 24 (1—3).