Урок " Правила знаходження первісних"

Про матеріал

Розробка уроку на тему «Правила знаходження первісних». Матеріал містить теоретичний матеріал, приклади розв’язування вправ, завдання різного рівня складності та вправи для закріплення навичок знаходження первісних функцій.

Перегляд файлу

11 клас Алгебра

Тема уроку: Правила знаходження первісних.

Мета уроку.

Формування предметних компетентностей:

(математична) компетентність: поглибити й розширити знання учнів про первісну та поняття невизначеного інтегралу, знання таблиці первісних, відпрацювати навички знаходження первісних, користуючись правилами, знаходження первісних та їх застосування до розв’язування задач;
формувати особисте ставлення до діяльності, яка вимагає математичних знань.

Формування ключових компетентностей:

спілкування державною мовою — уміння грамотно висловлюватися рідною мовою; доречно та коректно вживати в мовленні математичну термінологію, чітко, лаконічно та зрозуміло формулювати думку, аргументувати, доводити правильність тверджень; поповнювати свій словниковий запас;
основні компетентності у природничих науках і технологіях — усвідомлення важливості математики як універсальної мови науки, техніки та технологій;
соціальна та громадянська компетентності — уміння співпрацювати в команді;

Від того настрою, з яким ви вступаєте в день,
або в якусь справу залежать в
аші успіхи, а можливо, і невдачі

Конфуцій

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент

ІІ. Перевірка домашнього завдання та актуалізація опорних знань

1.Що називається первісною F(х) для функції f(х) на хI

2. Яка основна властивість первісної? (Нехай функція F(x) є первісною для f(х) на деякому проміжку. Тоді для довільної постійної С функція F(x) + С також є первісною для функції f(х).)

3. Який зв'язок між похідною та первісною? (Іінтегрування є оберненою операцією до операції диференціювання.)

Нагадаємо, що операція знаходження похідної для заданої функції називається диференціюванням.

Обернена операція знаходження первісних для даної функції називається інтегруванням.

4. В чому полягає геометричний зміст первісної? (Графіки будь-яких двох первісних для функції f одержуються один із одного паралельним перенесенням вздовж осі ΟΥ)

5. Відомо, що графік однієї первісних даної функції проходить через точку М(-5; 3). Яка з навединих точок ОБОВЯКОВО належить графіку якоїсь іншої первісної даної функції

Т ( 3; -5)

Р ( -3; 5)

А ( 5; -3)

О ( -5; 1)

К ( 1; 3)

Відповідь: О ( -5; 1)

6. Математичний диктант "Хрестики - нулі"

( Якщо твердження вірне - Х, якщо не вірно- 0)

1) Функція F (x) називається первісною на заданому проміжку, якщо для усіх х з цього проміжку виконується рівність Х

2) Первісна степеневої функції є поканикова функція 0

3) Первісна добутку функцій дорівнює добутку їх первісних 0

4) Первісна суми функцій = сумі первісних, таких, що розглядаються на заданому проміжку Х

5) Графіки первісних функції отримані паралельним перенесенням вздовж осі ОУ на константу С Х

6) Добуток числа на функцію дорівнює – добутку числа на первісну цієї функції 0

7) Множина первісних має вигляд Х

8) Первісна функції , 0

9) Первісна функції , Х

1	2	3
4	5	6
7	8	9

х	0	0
х	x	0
x	0	х

Індивідуальні картки (роздати роботу на місцях)

6. Встановимо відповідність між функціями

7. «Виправи помилки»

1) Відповідь:+с

2) Відповідь:

3) = Відповідь:

4) Відповідь:

5) Відповідь:

Індивідуальні картки Встановимо відповідність між функціями і первісними цих функцій

1) f(x) = 4x F(x) = 31n|х|+2 А

2) f(x) = F(x) Т

3) f(x) = F(x) = 3tg х + 5 Л

4) f(x) = F(x) І

5) f(x) = 5cosх F(x) О

6) f(x) = 2е^х F(x) = 5sin х + 8 Г

7) f(x)= F(x) Е

8) f(x) = F(x) Н

F(x) = 2е^х + 3 Р

ІНТЕГРАЛ

Сукупність усіх первісних для функції f(x) на проміжку називають невизначеним інтегралом цієї функції = F(x) + С

Наприклад: .

Історична довідка

Інтеграл одне з найважливіших понять математики, що виникло в зв’язку з потребою відшукувати функції по їх похідних (наприклад, знаходити функцію, що задає шлях рухомої точки за її швидкістю) та обчислювати площі, об’єми, довжини дуг, роботу сил за вказаний проміжок часу і ін.

Ньютон використовував як символу інтегрування значок квадрата (перед позначенням функцій або навколо нього), але ці позначення не отримали широкого розповсюдження. Сучасне позначення невизначеного інтеграла було введено Лейбніцем в 1675 році. Він утворив інтегральний символ з букви s ( "Довга s") - скорочення слова лат. summa (Тоді summa, сума). Термін «інтеграл» (від лат. integer - цілий, тобто ціла, вся - площа) був запропонований у 1696 р. Іоганном Бернуллі. Сучасне позначення певного інтеграла, із зазначенням меж інтегрування, були вперше запропоновані Жаном Батистом Жозефом Фур'є в 1819-20 роках. Операція інтегрування існує з середини XVIII століття. Ейлер написав більше ніж 800 робіт, що зайняло 72 томи. Серед його робіт є перші підручники по інтегральному численню. Для багатьох поколінь Ейлер був учителем. Основні положення інтегрального числення ввійшли у сучасні підручники. По ним ви будете навчатися у технічних вузах.

8. Сформулюємо правила знаходження первісних

Правило 1. Якщо F(x) і G(x) — первісні відповідно функцій f(x) і g(x) на деякому проміжку, то функція F(x) ± G(x) є первісною функції f(x) ± g(x).

Це правило можна сформулювати в іншій формі: первісна суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) первісних:

Приклад 1. Знайдіть первісні для функції f(x) = х + cos x.

Відповідь: F(x) = + sin х+C.

Запис через інтеграл = +

Правило 2. Якщо F(x) є первісною для функції f(x), a C — стала,

то CF(x) — первісна для функції Cf(x).

Це правило можна сформулювати в іншій формі: постійний множник можна виносити за знак первісної

Приклад 3. Знайдіть первісні для функції f(x) = 5е^x + 7sin x - 3х².

Відповідь: F(x) = 5е^x - 7cos x - x³ + C.

Запис через інтеграл = C

ІІІ.Мотивація навчальної діяльності

Застосування первісної в різних сферах життя

У фізиці трапляються задачі: відомо прискорення, треба знайти закон руху.

При вивченні теми «Похідна» ми розв'язували задачу про знаходження швидкості прямолінійного руху по заданому закону зміни координати s(t) матеріальної точки. Миттєва швидкість v(t) дорівнює похідній функції s(t), тобто v(t) = s'(t).

У практиці зустрічається обернена задача: по заданій швидкості v(t) руху точки знайти пройдений нею шлях s(t).

Задача. Швидкість тіла яке рухається прямолінійно задано рівнянням: Знайдіть закон за яким рухається тіло,якщо за час 3с. тіло перемістилось на 6м.

Відомо : У нашому випадку Отже,

Конкретно до задачі: S(t)=6м. t=3c.

Тому, 6=9-18+С.

С=15.

Маємо:

Функція виражає шуканий закон руху.

Ще М. Ломоносов зазначив: «Фізик сліпий без математики», – тож на допомогу приходять знання математики: необхідність інтегрування функції.

У біології : Як визначити приріст особин популяції бактерій, якщо відома швидкість росту популяції
за проміжок часу від t₁ до t₂ ?

У квантовій хімії за допомогою інтегралів обчислюють потенціал взаємодії електронів, діпольний момент. Такі інтеграли називаються “молекулярні інтеграли” або одноелектронні:

IV . Формування умінь учнів знаходити первісні для функцій, користуючись правилами знаходження первісних.

Виконання вправ №10.1 (2,3,5,7), №10.3 (2) колективно

Робота в парах.

Знайти первісну функції f(x) = 12х³+3х²+2 , графік, якій проходить через точку

А (-1;2) F(x) = 3х⁴ + х³+2х+2

Знайдіть невизначені інтеграл:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Самостійна робота

Завдання 1–4 мають по 5 варіантів відповідей, із яких тільки ОДНА відповідь є ПРАВИЛЬНОЮ. Виберіть правильну, на вашу думку, відповідь і позначте її в бланку відповідей.

Яке з тверджень є неправильним?

А	Б	В	Г	Д
Операція знаходження первісної називається інтегруванням.	Диференціювання і інтегрування обернені операції.	Щоб знайти закон руху, треба про інтегрувати функцію, що виражає швидкість	Первісною для функції є	Первісна добутку дорівнює добутку первісних.

Знайти загальний вигляд первісної для функції :

А	Б	В	Г	Д
				Інша відповідь

Для функції f(x) = 4х³ знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А(0;1)

А	Б	В	Г	Д
х⁴	-х⁴+1	х⁴+1	-х⁴- 1	х⁴- 1

Серед наведених нижче функцій вкажіть ту, первісною для якої є функція

F(x)=ctg х + C

А	Б	В	Г	Д
f(x) = tg х	f(x) =	f(x) = -	f(x) =	f(x) = -

Для функції знайти первісну, графік якої проходить через точку . У відповіді записати значення .

Швидкість руху точки задано рівнянням (м/с). Знайти рівняння руху , якщо відомо, що в момент часу с точка знаходилась на відстані 42,8 м. У відповіді записати значення .