Урок "Правильні многокутники "

Тема уроку. Правильні многокутники.

Мета уроку: формування поняття правильного многокутника, центра і центрального кута правильного многокутника. Фор­мування вмінь застосовувати вивчений матеріал до роз­в'язування задач. Виховувати культуру записів, побудови рисунків, толерантність, повагу до думки інших.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця

Вимоги до рівня підготовки учнів: формують означення правильного многокутника; застосовують вивчені означення до розв'язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відпо­вісти на запитання, які виникли в учнів під час виконання до­машніх завдань.

ІІ. Повторення й узагальнення знань учнів про многокутники

Вправа «Мікрофон»

1. Сформулюйте означення многокутника; вершин многокутни­ка; сторін многокутника; діагоналей многокутника.
2. Які многокутники вам відомі?
3. Скільки утворюється трикутників, якщо в п-кутнику (п > 3) провести всі його діагоналі з однієї вершини?
4. Що таке кут многокутника? зовнішній кут многокутника?
5. Чому дорівнює сума кутів опуклого п-кутника?
6. Чому дорівнює сума зовнішніх кутів опуклого многокутника?
7. В опуклого многокутника всі зовнішні кути прямі. Який це многокутник?
8. Чи можна побудувати чотирикутник з двома прямими і двома тупими кутами?
9. Чи може найменший кут чотирикутника становити 91°?
10. Чи можна побудувати опуклий п'ятикутник, усі кути якого прямі? Відповідь поясніть.

IІІ. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Означення правильного многокутника

Серед розмаїття опуклих многокутників виділяють многокут­ники, у яких усі сторони рівні й усі кути рівні. Такі много­кутники називають правильними.

Фігури, що мають рівні сторони та кути, здавна зачаровували людину досконалістю форми і таємничістю, яка завжди супроводжує досконалість. Такі фігури обожнювали, приписуючи їм магічні та навіть цілющі властивості.

З такими фігурами ми зустрічаємося в повсякденному житті і навіть не задумуємося над досконалістю їх форм. Сьогодні на уроці ми розглянемо многокутники, які називають правильними. Яка мета вивчення і навіщо вони нам потрібні ви дізнаєтеся трішечки пізніше.

Завдання класу

1.     Який трикутник є правильним?
2.     Який чотирикутник є правильним?
3.     Знайдіть кути правильного шестикутника.
4.     Скільки сторін має правильний многокутник, зовнішній кут якого становить 18°?
5.     Знайдіть градусну міру кута правильного п-кутника.
6.     Знайдіть градусну міру зовнішнього кута правильного п-кутника.
7.     Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кут при його вершині дорівнює 108°?

Повторення відомостей про вписані й описані трикутники

Фронтальна бесіда

Запитання до класу з використанням таблиці

1.     Яке коло називається описаним навколо трикутника? Що можна сказати про такий трикутник (по відношенню до кола)?
2.     Чи можна описати коло навколо будь-якого трикутника?
3.     Де міститься центр кола, описаного навколо трикутника?
4.     Яке коло називається вписаним у трикутник? Що можна ска­зати про такий трикутник (по відношенню до кола)?
5.     Чи можна вписати коло в будь-який трикутник?
6.     Де міститься центр кола, вписаного в трикутник?

Означення вписаних і описаних многокутник

Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі.

Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола.

Запитання до класу

1.     Де міститься центр кола, описаного навколо многокутника? Чому?
2.     Чи завжди можна описати коло навколо даного многокут­ника?
3.     Побудуйте прямокутник та опишіть коло навколо нього.
4.     Де міститься центр кола, вписаного в многокутник? Чому?
5.     Чи завжди можна вписати коло в даний многокутник?
6.     Побудуйте ромб та впишіть у нього коло.
7.     Побудуйте правильний чотирикутник. Впишіть в нього коло й опишіть коло навколо нього.

Вивчення теореми

Теорема. Правильний многокутник є вписаним у коло й опи­саним навколо кола.

Доведення

Нехай А і В — дві сусідні вершини правильного многокутника (рис. 72).

Проведемо бісектриси кутів А і В, які перетинаються в точці О. Трикут­ник АОВ — рівнобедрений (OAB = ОВА = , де α — кут правильного многокутника). Сполучимо точку О з вершиною С, що є сусідньою з верши­ною В. ΔАВО =    = ΔСВО (за першою озна­кою рівності трикутників).

Із рівності трикутників випливає, що трикутник ОВС — рівнобедрений з кутом C = , тобто CO — бісектриса кута С.

Потім сполучимо точку О із вершиною D, що є сусідньою з вершиною С, і доводимо, що трикутник COD — рівнобедрений і DO — бісектриса кута D і т.д.

Отже, ΔABO = ΔBCO = ΔCDO = ... . Усі ці трикутники ма­ють рівні бічні сторони і рівні висоти, проведені до їхніх основ. Звідси випливає, що всі вершини многокутника лежать на колі з центром О і радіусом, що дорівнює бічним сторонам трикутни­ків, а всі сторони многокутника дотикаються до кола з центром О і радіусом, що дорівнює висотам трикутників, проведеним із вер­шини О. Теорему доведено.

Можна запропонувати учням самостійно довести цю теорему, а потім провести фронтальну бесіду за рис.

Запитання до класу

1. Чому бісектриси кутів А і В перетинаються?
2. α — кут многокутника. Чому дорівнюють кути ОАВ і ОВА?
3. Визначте вид трикутника АОВ. Обґрунтуйте відповідь.
4. Чому ΔАВО = ΔВОС, ΔBOC = ΔCOD?
5. Чому OA = OB = OC = OD? Який висновок можна зробити з цієї рівності?
6. Чому висоти трикутників АОВ, ВОС, COD, проведені з точ­ки О, рівні?
7. Як буде розташовуватися коло з центром у точці О і радіусом, що дорівнює висоті трикутника, по відношенню до многокут­ника? Чому?

Слід зазначити, що з цієї теореми можна сформулювати такі наслідки.

1.     Усі бісектриси кутів правильного многокутника перетина­ються в одній точці, яка є центром описаного кола.
2.     Усі серединні перпендикуляри, проведені до сторін пра­вильного многокутника, перетинаються в одній точці, яка є центром вписаного кола.
3.     Центри вписаного й описаного кіл у правильному много­кутнику збігаються.
4.     Відрізок, що сполучає центр правильного многокутника з серединою сторони многокутника, є радіусом вписаного кола. Цей відрізок називається апофемою правильного многокутника.

Означення центрального кута правильного многокутника

Кут, під яким видно сторону правильного многокутника з його центра, називається центральним кутом многокутника.

Завдання класу

1.     Чому дорівнює центральний кут правильного трикутника?
2.     Чому дорівнює центральний кут правильного чотирикут­ника?
3.     Чому дорівнює центральний кут правильного п-кутника?
4.     Доведіть, що центральний кут правильного п-кутника дорів­нює зовнішньому куту цього многокутника.

ІV. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Виконання вправ

1. Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із вну­трішніх кутів якого дорівнює 135°?

Розв’язання

Оскільки = 135°, то 180 ∙ (п – 2) = 135п; 180п – 360 = 135п;   180п – 135п = 360; 45п = 360; п = 360 : 45, п = 8.

Відповідь. 8 сторін.

2. Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кожний із зовнішніх його кутів дорівнює 36°?

Розв'язання

Оскільки = 36°, то 360 = 36п; п = 360 : 36, п = 10.

Відповідь. 10 сторін.

3. Доведіть, що взяті через одну вершини правильного 2п-кутника є вершинами правильного п-кутника.

Доведення

А₁А₂А₃...А_2п — даний 2п-кутник, точка О — його центр (рис. 73). Сполу­чивши вершини А₁, A₂, A₃, ..., А_2п-1, A₁, отримаємо многокутник А₁А₃А₅...А_2п-1. Доведемо, що він правильний. ΔA₁OA₃ = ΔА₃ОА₅ = ...  = ΔA_2п-1OA₁, оскіль­ки А₁О = А₃О = А₅О = ... = А_2п-1О; A₁ОA₃ = A₃ОA₅ =... = A_2n-1OA₁ = 2A₁ОA₂. Із рів­ності цих трикутників маємо: А₁А₃ = А₃А₅ = ... =  = А_2п-1А₁ і A₁A₃A₅ = A₃A₅A₇ = ... = A_2n-1A₁A₃ =   = 2OA₁A₃. Отже, много­кутник A₁A₃A₅...A_2п-1 є правильним.

V. Домашнє завдання

1. Вивчити теоретичний матеріал.
2. Розв'язати задачі.

1.     Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із вну­трішніх кутів якого дорівнює 150°?
2.     Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кожний із зовнішніх його кутів дорівнює 24°?
3.     Доведіть, що середини сторін правильного п-кутника є вер­шинами іншого правильного п-кутника.

VI. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу. Рефлексія

1. Який многокутник називається правильним?
2. Який многокутник називається вписаним у коло? Описаним навколо кола?
3. Чи завжди можна вписати коло в правильний многокутник? описати коло навколо правильного многокутника?
4. Що таке центр правильного многокутника? апофема?
5. Що таке центральний кут правильного многокутника? Чому він дорівнює?