Урок "Прикладні задачі"

Урок з алгебри і початків аналізу, 10 клас

Тема. Розв’язування задач прикладного характеру.

Мета. Сформувати уміння учнів у застосуванні найбільшого та найменшого значень функції

           при розв’язуванні задач прикладного характеру. Виховувати увагу, чітко

           висловлювати думки. Розвивати навички та вміння знаходити похідні функцій, їх

           найбільше та найменше значення.

Тип уроку. Урок узагальнення та систематизації знань.

Хід уроку.

1. Актуалізація опорних знань.

Застосовується інтерактивна технологія „Мікрофон”. Фронтальне опитування теоретичного матеріалу проходить у формі пресконференції. Два учні, експерти з теми „Застосування похідної до дослідження функції”, дають відповіді на поставлені запитання, які підготували учні – кореспонденти.

• Що таке стаціонарні точки?
• Сформулюйте необхідну умову існування екстремуму.
• Сформулюйте достатню умову монотонності функції.
• Сформулюйте достатню умову екстремуму функції.
• Нагадайте алгоритм знаходження проміжків монотонності.
• Назвіть етапи знаходження екстремумів функції.
• Розкажіть алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значень на відрізку.

(Марченко Руслан, шкільна газета „Юний математик”. Шановні експерти, мене цікавить необхідна умова існування екстремуму.

Відповідь експерта. Необхідна умова існування екстремуму полягає в тому, що якщо точка х₀ є точкою екстремуму функції f  і в цій точці існує похідна f′, то вона дорівнює нулю:         f′(х₀)= 0.)

2. Мотивація навчання.

Проблема. Скільки коренів має рівняння х⁴ – 4х³ – 9 = 0?

Для розв’язування даного завдання використовується інтерактивна технологія колективного обговорення „Мозковий штурм”.

Учні вносять пропозиції щодо розв’язування даного рівняння.

(... – А якщо скористатися теоремою про корінь: нехай функція f  зростає (спадає) на проміжку I, число а – будь – яке із значень, яких набуває f  на цьому проміжку. Тоді рівняння f(x) = a має єдиний корінь на проміжку I.

- Врахувавши зауваження мого однокласника, розглянемо функцію f(x) = х⁴ – 4х³ – 9 та дослідимо її на монотонність. ... )

Розв’язання.

Розглянемо функцію f(х) = х⁴ – 4х³ – 9.

D(f) = R.

Знайдемо похідну функції: f′(x) = 4х³ – 12х² = 4х²(х - 3).

Знайдемо критичні точки: f′(x) = 0, 4х²(х - 3) = 0, х = 0 або х = 3.

На проміжку (- ∞; 0) функція спадає від + ∞ до -9, то на цьому проміжку рівняння f(x) = 0 має один корінь; на проміжку (0; 3) функція спадає від – 9 до – 36, то рівняння не має коренів; на проміжку (3; + ∞) функція зростає від – 36 до + ∞, а, отже, рівняння має один корінь.

Тому рівняння х⁴ – 4х³ – 9 = 0 має два корені.

Відповідь: 2.

3. Формування умінь та навичок.

Розігрується гра „Просимо розшукати”.

Роздаються ролі для учасників гри (за бажанням).

У грі беруть участь „опер”, „слідчий”, „суддя”, „прокурор”, „адвокат”.

Учитель. У чергового по відділенню продзвенів дзвінок. Схвильований голос дівчини повідомив, що потрібно серед усіх прямокутників, площа яких дорівнює 9 см², знайдіть прямокутник з найменшим периметром.

Відкрито справу по факту зникнення. До справи задіяні оперативники та слідчі прокуратури.

Опер. Оперативники працюючи над справою висунули версію про те, що оскільки задача геометрична, то потрібно шукати периметр прямокутника за формулою Р = 2(а + в). Інтуїція підказує, що найменший периметр має квадрат, Але для цього не вистачає доказів (даних) для знаходження периметра.

Слідчий. (Проводить слідчий експеримент).

Нехай х см – ширина прямокутника, а см – довжина прямокутника, тоді Р(х) = 2(+    +  х) =

А оскільки Р(х) є функцією від х, то знайдемо значення х, якому відповідає найменше значення параметра.

Запишемо область визначення функції Р(х) = + 2х:  Д(у) = (0; + ∞).

Знайдемо похідну: Р′(х) = - + 2, Р′(х) = 0, - + 2 = 0, - 18 + 2х² = 0, 2х² = 18, х² = 9,   х₁ = 3 або х₂ = - 3.

Версію, що х = - 3 відкидаємо, бо х > 0.

Перевіримо, що коли 0 < х < 3, то Р′(х) < 0; а при х > 3 Р′(х) > 0, то х = 3 – точка мінімуму.

Тоді 9 : 3 = 3 (см).

Слідчий експеримент показав, що з усіх прямокутників з площею 9 см², квадрат зі стороною 3 см матиме найменший периметр.

Учитель. Слідчо – оперативні служби своє розслідування завершили і справа передається до суду.

Вступне слово судді. Заслухаємо обидві сторони: прокурора та адвоката.

Прокурор. Ознайомившись із справою, я вважаю. Що доказів не достатньо для того. Щоб стверджувати, що квадрат зі стороною з см має найменший периметр.

Адвокат. Я представляю суду докази того, що квадрат зі стороною 3 см має найменший периметр. У мого підзахисного є алібі, що він дійсно має найменший периметр.

Скориставшись матеріалами слідчого експерименту, знайдемо найменше значення функції Р(х) = на проміжку (0; 9].

х = - 3 не входить в даний проміжок.

Знайдемо значення периметра:

Р(3) = 18 : 3 + 2 ∙ 3 = 12 (см), Р(9) = 18 : 9 + 2 ∙ 9 = 20 (см). min Р = Р(3) = 12.

Суддя. Після того, як звірили результати слідчого експеременту з алібі, що що представлене стороною захисту суд вирішив, що серед прямокутників площею 9 см² квадрат зі стороною 3 см дійсно має найменший периметр.

4. Підсумок уроку. Учні колективно складають схему розв’язування прикладних задач.

Схема розв’язування прикладних задач.

1. Задачу „перводимо” на мову функцій. Для цього вибирають зручний параметр х. Через який виражають як функцію у = f(x) величину, що нас цікавить.
2. Засобами аналізу знаходимо найбільше або найменше значення цієї функції на деякому відрізку або розв’яжемо задачу на знаходження екстремуму функції.
3. З’ясовуємо, який практичний зміст має отриманий результат.

5. Домашнє завдання.