Відкритий урок у 9-му класі

з теми:

 

 

 

АРИФМЕТИЧНА ТА ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСїЇ                             НАВКОЛО НАС

 

 

 

Мета:

Навчальна:  узагальнити знання учнів з теми «Арифметична та геометрична        прогресії»; продемонструвати практичне застосування даної теми в різних галузях; закріпити навички обчислення елементів прогресії; провести тестовий контроль з метою встановлення  рівня  усвідомлення навчального матеріалу.

Розвивальна: логічне мислення , пам'ять , увагу.

Розвивати вміння:

- аналізувати інформацію,

- робити висновки;

- систематизувати, узагальнювати вивчений матеріал;

- самостійно працювати з додатковою літературою;

- самостійно працювати над творчими завданнями;

- здійснювати організовану, пошукову, дослідницьку діяльність на основі спільної праці.

 Виховна: акуратність, працьовитість, відповідальність, дисциплінованість вміння працювати в колективі, повагу один до одного, власну життєву позицію, інтерес до математики, позитивне ставлення до навчання.

Тип уроку: Урок систематизації і корекції знань і вмінь. 

« Недостатньо мати добрий розум, головне – це раціонально застосувати його».

Р. Декарт

Хід уроку: 

 

І. Організаційний момент.

   Вчитель Шановні друзі! Ми завершуємо з вами вивчати тему « Арифметична і геометрична прогресії». Мета нашого уроку – узагальнити і систематизувати знання з теми. Повторити означення арифметичної і геометричної прогресій. Перевірити знання формул по даній темі. Показати вміння використовувати ці знання при розв’язувані вправ. Показати практичне застосування теми на прикладах життєвих ситуацій. Запишіть число і тему уроку.

ІІ.Мотивація навчальної діяльності

     Ми вивчаємо одну з найцікавіших тем математики – прогресїї. Латинське слово « прогресія», в переводі означає « рух уперед». Девізом нашого уроку будуть слова видатного  французького математика Рене Декарта: « Недостатньо мати добрий розум, головне – це раціонально застосувати його».І сьогодні на уроці ми побачимо, як можна застосувати вивчене вами з даної теми в різних галузях.

ІІІ. Актуалізація опорних знань учнів.

1 Аукціон формул і означень.

    Для початку повторимо теоретичний матеріал.

Пригадаємо основні поняття і формули арифметичної та геометричної прогресії.  На аркушах паперу записано питання. Учень навмання бере один аркуш, читає запитання та відповідає на нього. Якщо немає відповіді відповідає інший учень.

1. Означення арифметичної прогресії.
2. Означення геометричної прогресії.
3. Формула n-го члена арифметичної прогресії.
4. Формула n-го члена  геометричної прогресії.
5. Сума n перших членів арифметично прогресії.
6. Сума n перших членів геометричної прогресії.
7. Рекурентна формула арифметичної прогресії.
8. Рекурентна формула геометричної прогресії.
9. Як знайти різницю арифметичної прогресії і знаменник геометричної прогресії.
10. За яких умов арифметична прогресія зростає, спадає, стала.
11. За яких умов геометрична прогресія зростає, спадає.
12. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії.

2. Усні вправи.

1)Визначте вид послідовності:

а) 2;4;6;8;...

b) 2;4;8;16;…

Знайдіть різницю кожної з них.

2) Задано три послідовні члени арифметичної прогресії: 15; х; 25. Знайти х.

3) Задано три послідовні члени геометричної прогресії: 4; х; 16. Знайти х.

4)Перший член арифметичної прогресії дорівнює 2, різниця дорівнює4. Знайдіть восьмий член прогресії.

5) Перший член геометричної прогресії дорівнює 2, знаменник -2. Знайдіть восьмий член цієї прогресії.

     3. Екскурсія в історію.

Задача дуже нелегка.

Як швидко розв`язать її?

Від одиниці і до ста

Додати швидко числа ці?

Давно сказав один мудрець:

„ У числовому ряді

Зв`яжи початок і кінець,

І суму враз ти знайдеш.”

    З ім`ям якого видатного математика пов`язана задача на знаходження суми ста перших натуральних чисел?

    Учень надає короткі відомості про Карла Гауса.

ІV. Робота в групах.

    Знаючи ці формули, можна розв’язувати багато цікавих задач. На останньому етапу підготовки до уроку клас був поділений на групи. Кожна група вибрала собі тему для презентації по застосуванню прогресій в різних галузях. Слово надається учням для захисту презентацій:  «Прогресії в біології», «Прогресії  в житті та побуті», «Прогресії в фізиці».

1 Група „ Прогресії в біології”.

      Задача: Бактерія, якщо вона потрапляє до організму людини, до кінця 20 хвилини ділиться на дві, кожна з яких до кінця 20 хвилини знову ділиться на дві і т. д. Скільки бактерій утвориться в організмі через добу?

      Для розв’язання цієї задачі було використано:

1. Означення геометричної прогресії.
2. Формула для знаходження знаменника.
3. Формула для знаходження суми.

Висновок: Якщо бактерії  помістити в сприятливе середовище, то чисельність бактерій швидко зростає, тому кожна людина повинна дотримуватись санітарних норм. „ Мийте руки перед їжею.”

2 Група „ Прогресії в фізиці.”

       Задача: Гальмуючи, автомобіль за першу секунду проїхав 15км, а за кожну наступну – на 3 м менше ніж за попередню. Знайдіть гальмівний шлях автомобіля?

       Для розв`язання цієї задачі було використано:

1. Означення арифметично прогресії.
2. Формула загального члена арифметично прогресії.
3. Формула для знаходження суми перших n членів.

Висновок: Треба бути уважними на дорозі.

3 Група „Прогресії в житті.”

Задача: Вам потрібно дійти до дверей, відстань до яких дорівнює 3 метри, але використовуючи такі умови: перший крок дорівнює один метр, другий --- 1/2м; третій ---  1/4м; і т.д., кожен наступний крок у два рази менший від попереднього. Чи зможете ви це зробити?

Для розв`язання цієї задачі було використано:

1. Означення нескінченно спадної геометричної прогресії.
2. Формула для знаходження знаменника.
3. Формула для знаходження суми.

     Після перегляду ваших презентацій, ми знову переконуємося в тому, що прогресії – одна з найцікавіших тем математики. Вони є відображенням фундаментальних властивостей об’єктивного світу, що існує незалежно від нас.

Додаткові завдання групам:

1. Або отримати 100000S прямо зараз, або на протязі 28 днів отримувати монету в один цент, якій кожний день подвоюється. Що краще?    ( 2 684 354,55S)

2. У шкільній ідальні кожний місяць обід дорожчий на 2грн.Скільки буде коштувати обід через 7 місяців при початковій ціні у 250грн? Яку суму треба буде заплатити за 7 місяців? (262грн, 1792грн)

V. Контроль знань.

Тестування:

Тестові завдання

1.     Послідовність задано формулою а_п = 5п + 2. Знайдіть а₃.

а) 3;                     б) 17;                             в) 5;                     г) 8.

2.     В арифметичній прогресії (а_п) різниця дорівнює 2. Знайдіть а₁₀, якщо      а₁ = 3.

а) 1536;               б) 18;                             в) 21;                   г) 15.

3.     Знайдіть суму перших п'яти членів арифметичної прогресії (а_п), якщо  а₁ = - 10, а різниця дорівнює 10.

а) 0;                     б) 50;                             в) 100;                 г) -100.

4.     Чому може дорівнювати знаменник геометричної прогресії (b_п), якщо    b₁₀ = 10; b₁₂ = 40?

а) 2;                     б) ±2;                            в) 4;                     г) 15.

5.     Чому дорівнює сума п'яти перших членів геометричної прогресії (b_п), якщо b₁ = 1, а знаменник дорівнює -2 ?

а) 11;                    б) -17;                 в) 17;                   г) 21.

6.     Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії (а_n), якщо а₁ = 3,      а₂ = 0,3.

        

Самоперевірка

1-Б, 2-В, 3-Б, 4-Б, 5- А, 6- Б.

VІ.  Оцінювання

 VІІ. Домашнє завдання:

1. повторити теоретичний матеріал.

2.  підготувати презентації  «Прогресії  будівництві», «Прогресії в архітектурі», «Прогресії в мистецтві»

VІІІ.  Підведення підсумку уроку

Рефлексія. Тест.

1. Результатом своє роботи вважаю, що я...

А) розібрався в теорії

Б) навчився розв`зувати задачі

В) повторив весь раніше вивчений матеріал.

2. Що вам не вистачало на уроці при розв`зуванні задач?

А) знань ;Б) часу ;В) бажання ;Г) розв`зував нормально.

3.Хто допомагав вам у подоланні труднощів на уроці?

А) однокласники

Б) учитель

В) підручник

Г) ніхто. 

    Отже, на сьогоднішньому уроці ми узагальнили і систематизували знання з теми «Арифметична та геометрична прогресії», закріпили навички обчислення елементів прогресій.  Показали їх практичне застосування в різних галузях. Під час роботи над уроком ви дізналися багато нового. Я надіюся, що отримані знання стануть вам в нагоді у майбутньому.

 На цьому наш урок закінчено, спасибі вам за співпрацю.

 

    Історичні відомості з життя Карла Фрідріха Гауса

    Карл Фрідріх Гаусс народився 30 квітня 1777 р. у Брауншвейгу  — одному з німецьких князівств.  Батько Карла спочатку працював слюсарем, а згодом став садівником, суміщаючи це заняття з обов'язками рахівника в торговельній конторі якогось купця. Він був людиною суворою, навіть грубою. Мати Карла була дочкою каменяра; від природи вона була жінкою розумною, розважливою, доброю і веселою. Карл був її єдиною дитиною, і вона безмежно та щиро любила його. Син відповідав їй такою самою гарячою любов'ю. Від матері він успадкував розважливість і м'яку вдачу.

      Читати і писати Карл навчився сам: йому досить було знати лише кілька букв, підказаних матір'ю, щоб цілком оволодіти технікою читання. Вже в ранньому дитинстві у хлопчика виявились особливі здібності до математики. Пізніше він сам жартома говорив: «Я навчився рахувати раніше, ніж розмовляти». Розповідають про такий випадок. Якось до батька Карла зібралися товариші по роботі, щоб розподілити зароблені за тиждень гроші. Тут же був і трирічний Карл. Коли батько закінчив розрахунки, які він проводив уголос, щоб усі чули їх, і оголосив наслідки, Карл вигукнув: «Татку, ти помилився!» Присутні були вражені заявою малої дитини, але батько підрахував усе спочатку. Коли він назвав нову цифру (а раніше він справді зробив помилку), Карл радісно вигукнув: «Тепер правильно!»

     У 1784 р. Карла віддали до народної школи. Перші два роки навчання він нічим не відзначався серед товаришів, його виняткові здібності до арифметики виявилися у третьому класі. Якось учитель дав учням досить складне завдання з арифметики: відшукати суму деякої кількості натуральних послідовних чисел. Учитель вважав, що учні досить довго шукатимуть відповідь. Але через кілька хвилин Карл розв'язав задачу. Коли вчитель проглянув розв'язання, то побачив, що малий Гаусс винайшов спосіб скороченого знаходження суми членів арифметичної прогресії.

    Приголомшливі здібності Гаусса так вразили герцога Брауншвейгського, що він відправляє Карла на навчання в Карловому колегіум (нині – Брауншвейзький технічний університет), який Гаусс відвідує з 1792 р. по 1795 р. В 1795-1798 р. р. Гаусс переходить в Геттингский університет. За свої університетські роки математик довів чимало значущих теорем.

     Він вніс значний вклад у багато областей . так як алгебра, теорія чисел, статистика, геофізика, аналіз, диференціальне числення, астрономія, геометрія, геодезія, електростатика і оптика. Карла Гаусса часто називають — «принц математиків», «передовий математик» або «найбільший математик з давніх-давен».

     Гаусс помер 23 лютого 1855 в Геттінгені, Ганновер (нині — Нижня Саксонія в Німеччині). Згідно з результатами вивчення його мозку було доведено, що Гаусс був генієм.