Урок "Производная и её применение"

Урок по математике в 11 классе (русский язык обучения)

Тема урока:  «Производная и её применение»

Цели:

1. Обучающая. Повторение основных формул и правил дифференцирования, применение производной к исследованию функции.
2. Развивающая. Развитие самостоятельной деятельности учащихся.
3. Воспитательная. Создание положительной внутренней мотивации к изучению математики.

ХОД  УРОКА

I. Организационный момент

Цель нашего урока – повторить основные формулы и правила дифференцирования, узнать основные направления применения производной в разных областях науки и техники. Рассмотрим на примерах решения задач, как применяется производная в различных областях науки.

ІІ. Актуализация опорных знаний.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Производная позволяет нам рассмотреть вопрос насколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия, в архитектуре, при строительстве различных зданий и т.д.

Понятие производной возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач по физике, механике и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой.

Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии.

В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

1. Сформулируем понятие производной функции:

 Производной функции y = f(x) в данной точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение производной: . Тогда   или 
.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

2. Геометрический смысл производной функции заключается в том, что

значение производной функции в точке : .

А уравнение касательной к функции в точке имеет вид:     .

Если функция возрастает, то f ′(x)>0 на этом интервале.

Если функция убывает, то f ′(x)<0 на этом интервале.

3. Физический (механический) смысл производной функции:

  Если тело движется по прямой согласно закону s(t), то формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t: v (t)= s‘(t) и а(t) = v’(t).

Чтобы эффективно использовать производную при решении конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу производных элементарных функций и правила дифференцирования.

Таблица производных элементарных функций:

Знание таблицы производных - это инструмент, с помощью которого можно решать задачи, как по математике, так и по физике, химии, географии, биологии, экономике и другим наукам.

Рассмотрим на примерах решения задач, как применяется производная.

Задание 1.

1) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции   f(x) = - x²+ 4x в точке   х₀=1.

Решение:  f ′(х) = - 2х + 4;  k = f ′(1) = - 2∙1 + 4 = 2.  Ответ: 2.

2) Найти tg α, угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2x² + 8x – 3 в точке х₀₌-3                                                                   

Решение:  f ′(х) = 4х + 8;  tg α = f ′(-3) = 4∙(-3) + 8 = - 4. Ответ:  - 4.

Задание 2. 

Составьте уравнение касательной к графику функции  f(x) = x³ – 2х в точке М (3;3).

Решение: Уравнение касательной .

f ′(x) = х²- 2

f ′(3) = 3²- 2 = 7

у – 3 =7(х-3)

Ответ:  у = 7х – 18.

Задание 3.

1. Доказать, что функция   f(x) = 5x – 12  является возрастающей на всей области определения.

Решение:  D_f =R ;  f ′(x) = 5>0. Функция возрастает.

2. Доказать, что функция  f(x) = - 7x + 11  является убывающей на всей области определения.

Решение:  D_f =R ;  f ′(x) = - 7 < 0. Функция убывает.

3. Как изменяется функция?

Ответ:  а) На промежутке ( -7;1)   f ′(x) >0. Функция возрастает.

б)  На промежутке  (1;5)     f ′(x) < 0.           Функция убывает.

в)  f_max = 4.

Вывод: производная положительна на всей области определения, т.к. эта функция – монотонно возрастающая.

ІІІ.Подведение итогов занятия

ІV.Задание на дом

Какая из указанных функций возрастающая, а какая убывающая в области определения: