Урок "Розв’язування квадратних нерівностей"

Пошук способу розв’язування квадратних нерівностей.

Тема уроку: Розв’язування квадратних нерівностей.

Мета уроку: Означити поняття квадратної нерівності, розглянути графічний спосіб розв’язування таких нерівностей та метод інтервалів. Розвивати навички аналізу, абстрагування та узагальнення.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання. ( до 3 хв.)

ІІ. Актуалізація опорних знань. Підготовка до вивчення нової теми. (7 хв).

Запитання: Як називаються вирази записані на дошці (екрані  тощо.) і які операції над ними ми вміємо виконувати?

   Квадратний тричлен.            Квадратне рівняння.           Квадратична функція.

  Розкладати на множники.       Розв’язувати.                         Будувати графік.

Завдання: (виконується по рядах, в групах тощо)

1. Розкласти на множники квадратний тричлен .
2. Розв’язати рівняння   .
3. Побудувати графік функції   у = .

ІІІ. Вивчення нового матеріалу. Розв’язування нерівностей. (30 хв.)

1. Означення квадратної нерівності (Вказується аналогічність означення з уже відомими означеннями квадратного рівняння та квадратичної функції).

Бесіда за питаннями ( вивчалось раніше):

• Що є розв’язком нерівності?
• Що означає розв’язати нерівність?

• Чому коефіцієнт а не може дорівнювати 0?
• Які знаки нерівності є строгими, нестрогими?
• Як на числовій прямій позначається точка, що належить проміжку? Не належить.
• Які дужки використовують при записі числового проміжку?
• Як записується проміжок зображений на малюнку?

                                2                                            3

2. Створення алгоритму розв’язування квадратної нерівності.

Демонструється на прикладі  ≥ 0.

І спосіб.

На дошці учні, що виконували завдання 2, записують розв’язування рівняння .

• Позначимо розв’язки на числовій прямій.
• Як встановити який з проміжків буде розв’язком нерівності? (Підставимо в нерівність по одному числу з кожного проміжку).

Запис на дошці може бути таким:

 Алгоритм розв’язування ( на екрані):

1. В разі потреби спростити нерівність.
2. Прирівняти ліву частину нерівності до нуля.
3. Розв’язати отримане рівняння.
4. Позначити корені на числовій прямій.
5. Підставити в нерівність по одному значенню змінної з кожного проміжку,
6. Проміжки на яких виконується нерівність записати у відповідь.

ІІ спосіб.

На дошці учні, що виконували завдання 3, будують графік функції  у = .

(Для побудови графіка потрібно виконати наступні операції : знайти координати вершини, знайти нулі функції, з’ясувати куди направлені вітки параболи, знайти декілька ще точок графіка, позначити знайдені точки на координатній площині і сполучити їх).

• Як встановити який з проміжків буде розв’язком нерівності? (Проміжок на якому функція невід’ємна).

Запис на дошці може бути таким:

Алгоритм розв’язування ( на екрані)::

1. В разі потреби спростити нерівність.
2. Побудувати графік функції (знайти координати вершини, знайти нулі функції, знайти декілька ще точок графіка, позначити знайдені точки на координатній площині і сполучити їх)
3. Визначити на яких проміжках функція набирає потрібних за умовою значень. (у≥0).

ІІІ спосіб.

На дошці учні, що виконували завдання 1, розкладають на множники тричлен  .

4. Створення самого раціонального способу розв’язування квадратної нерівності.

• Яку операцію ми виконували в кожному способі? ( Розвязували квадратне рівняння, малювали числову пряму чи графік).
• Абстрагуйтесь від особливостей кожного способу розв’язування (Знаходження вершини параболи, обчислення значення тричлена на кожному проміжку) і складемо найпростіший алгоритм.

Алгоритм ( на екрані)::

1. В разі потреби спростити нерівність.
2. Прирівняти ліву частину нерівності до нуля та розв’язати квадратне рівняння.
3. З’ясувати куди направлені вітки параболи.
4. Зробити схематичний малюнок.
5. Враховуючи знак нерівності вибрати проміжки, що задовольняють умову.

3. Метод інтервалів.

Усно розв’язати нерівність ( x – 2)(x – 3)≥ 0. ( Див. ІІІ спосіб).

За аналогією розв’яжіть:

• ( x + 2)(x – 3)≥ 0
• ( x + 2)(x + 3)≤ 0
• ( x – 5)(x – 10)≥ 0
• ≥0.
• (x – 2)(x – 3)(х – 4))≥ 0.

Чи всі ці нерівності - квадратні?

Нерівності, подані в такому вигляді, легко розв’язуються за  алгоритмом:

1. Знайти значення змінної при яких ліва частина перетворюється на нуль, або  не існує.
2. Позначити їх на числовій прямій, розбити її на інтервали.
3. Поставити знаки «+» чи «- « почергово з права на ліво.
4. Вибрати проміжки відповідно знаку нерівності.

Розв’язати нерівність:

(2 - x )(x – 3)≥ 0

- (x - 2 )(x – 3)≥ 0

          (x - 2 )(x – 3)≤ 0

          = 2,   = 3.

          +                                 -                                +

                           2                                    3

Відповідь : ⁅ 2 ; 3⁆

ІV.   Підсумок уроку ( 3 хв.)

5. Домашнє завдання ( 2 хв.)