Загальні відомості про рівняння

Загальні відомості про рівняння. Лінійне рівняння з однією змінною. Підготувала учитель математики. Тальнівської гімназії № 3 Тальнівської міської ради Черкаської області Марусенко Леся Григорівна

Алгебра - наука про рівняння Це твердження дуже близьке до істини! Хоча сучасна алгебра охоплює набагато більше (матриці, вектори, групи та поля), історично вона справді зародилася і розвивалася саме як наука про розв'язування рівнянь. Перша сторінка книги Аль-Хорезмі «Кітаб аль-джебр ва-ль-мукабала», з якої наука отримала свою назву «алгебра»

Від "науки про перенесення" до теоріїНазва походить від арабського слова «аль-джебр» (відновлення). У IX столітті математик Аль-Хорезмі описав це як процес перенесення від'ємного доданка з однієї частини рівняння в іншу, щоб він став додатним. Це був перший крок до створення універсальних алгоритмів. Цей вчений відомий як батько алгебри. Слово “алгебра” походить від назви однієї з його найвідоміших книг

Мова символів. Розв'яжемо задачу: «Вік трьох братів 30, 20 і 6 років. Через скільки років вік старшого дорівнюватиме сумі віку обох молодших братів?» Позначимо шукану величину як х, складемо рівняння: 30+x=(20+x)+(6+x)звідки x=4 Отримана рівність називається рівнянням. А́лгебра (від араб. الجبر аль-джебр — «відновлення розрізнених частин») -розділ математики, що вивчає математичні операції і відношення, та утворення, що базуються на них: многочлени, алгебраїчні рівняння, алгебраїчні структури.

Рівняння та його розв’язки. Рівнянням називається рівність, яка містить змінну. Основні відомості про рівняння ви вже знаєте з попередніх класів. Вираз, записаний у рівнянні ліворуч від знака “дорівнює”, називають лівою частиною рівняння, а вираз, записаний праворуч, - правою частиною рівняння.30+x=(20+x)+(6+x)Ліва частина. Права частина. Будь-яке рівняння — це як речення, складене спеціальною математичною мовою. Щоб вільно нею володіти, потрібно розуміти, з яких «цеглинок» воно будується.

Якщо в рівняння 30+x=(20+x)+(6+x) замість х підставити число 4, то одержимо числову рівність: 30+4=(20+4)+(6+4). У такому разі про число 4 кажуть, що воно є коренем рівняння. Значення змінної, яке перетворює рівняння в правильну числову рівність, називають коренем (або розв’язком) рівняння . Розв’язати рівняння - означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.

Рівносильні рівняння Розглянемо рівняння х+1=5 і 3х=12. Кожне з них має єдиний корінь - число 4. Ці рівняння є рівносильними. Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені. Рівносильними вважають і такі рівняння, які коренів не мають.

Приклад 1. Чи є рівносильними рівняння:х + 3 = 4 і 5х = 10;х + 2 = х і 2 - х = 5 - х;18 - х = 11 і 21 : х = 3 Розв’язання. Коренем рівняння х + 3 = 4 є число 1, а коренем рівняння 5х = 10 - число 2. Отже, ці рівняння не рівносильні. Кожне з рівнянь х + 2 = х і 2 - х = 5 - х не має коренів, тому ці рівняння рівносильні. Коренем рівняння 18 - х = 11 є число 7. Коренем рівняння 21 : х = 3 також є число 7. Тому ці рівняння рівносильні. Відповідь: 1) ні; 2), 3) так.

ВЛАСТИВОСТІ РІВНЯНЬякщо в будь-якій частині рівняння розкрити дужки або звести подібні доданки, то одержимо рівняння, рівносильне даному;якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши знак на протилежний, то одержимо рівняння, рівносильне даному; якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме відмінне від нуля число, то одержимо рівняння, рівносильне даному.

Приклад 2. З’ясувати, чи є рівносильними рівняння:2(х - 1) = 5х і 2х - 2 = 5х Розв’язання: Використовуючи властивості рівнянь, розкриємо дужки у першому рівнянні: 2(х - 1) = 5х 2х - 5х = 2 2х - 2 = 5х - 3х = 2 2х - 5х = 2 - 3х = 2 Відповідь: так, рівняння рівносильні

2) 3а + 2 = 5а - а - 7 і 3а + 2 = 4а - 7 За властивостями рівнянь, зведемо подібні доданки. Розв’язання: 3а+ 2 = 5а - а - 7 і 3а + 2 = 4а - 7 3а + 2 = 4а - 7 3а + 2 = 4а - 7 Відповідь: так, рівняння рівносильні

3) 5х = 2х + 9 і 5х - 2х = 9 Розв’язання: Рівняння рівносильні, оскільки друге отримуємо з першого перенесенням доданка з правої частини в ліву змінюючи знак на протилежний5х = 2х + 9 5х - 2х = 95х - 2х = 9 5х - 2х = 9 Відповідь: так, рівняння рівносильні.

4) 0,5b = 1,5 b - 3,5 і b = 3b - 7 Розв’язання: Домножимо обидві частини першого рівняння на 2 і одержимо такі рівняння: 0,5b = 1,5 b - 3,5/ *2 і b = 3b - 7 b = 3b - 7 b = 3b - 7 Отже, рівняння рівносильні. Відповідь: так, рівняння рівносильні.

Розв’язування задач. N92. Доведіть, що: корнем рівняння 2(х - 3) = 2х - 6 є будь-яке число;рівняння у - 7 = у не має коренів. Розв’язання: Розкриємо дужки у лівій частині рівняння 2(х - 3) = 2х - 6 2х - 6 = 2х - 6 Обидві частини тотожно рівні, отже х може бути будь-яке число.

2) у - 7 = у. Розв’язання: Використаємо властивості рівнянь, перенесемо доданки з однієї частини в іншу, змінюючи знаки на протилежні у - у = 7 0 = 7 Рівність є хибною, отже рівняння коренів немає. Відповідь: 1) х - будь-яке число; 2) коренів немає.

Тест: Рівносильні рівняння 1. Які два рівняння називають рівносильними?А) Ті, що мають однакові коефіцієнти. Б) Ті, що мають одні й ті самі корені (або обидва не мають коренів). В) Ті, що записані з однією і тією ж змінною.2. Яке з тверджень є правильним при перенесенні доданка з однієї частини рівняння в іншу? А) Знак доданка змінювати не потрібно. Б) Потрібно змінити знак доданка на протилежний. В) Доданок завжди стає від’ємним.

3. Рівняння 5x = 10 та x = 2 є рівносильними. Яку властивість було використано?А) Перенесення доданків. Б) Додавання до обох частин одного й того самого числа. В) Ділення обох частин рівняння на одне й те саме число, відмінне від нуля.4. Чи є рівносильними рівняння x + 3 = 7 та x = 4? А) Так. Б) Ні. В) Неможливо визначити.

5. Оберіть рівняння, яке рівносильне рівнянню 2x - 4 = 6: А) 2x = 2 Б) 2x = 10 В) x - 4 = 36. Якщо обидві частини рівняння 0 * x = 5 помножити на 2, чи отримаємо ми рівносильне рівняння? А) Так, бо ми множимо на число. Б) Ні, бо початкове рівняння не має коренів. В) Так, будь-які перетворення зберігають рівносильність, якщо ми не множимо на нуль. (Підказка: зверніть увагу на визначення — якщо обидва рівняння не мають коренів, вони рівносильні).

7. Яке з рівнянь рівносильне рівнянню 1 : 3x = 9?А) x = 3 Б) x = 27 В) x = 12.