Урок розв'язування задач на переріз циліндра

Переріз циліндра. За підручником А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір

Уявимо, що прямокутник OO1 A1 A обертається навколо сторони OO1 . Під час обертання утворюється фігура, яку називають циліндром. Круги із центрами O і O1 , які утворилися в результаті обертання сторін OA і O1 A1 , називають основами циліндра, а фігуру, яка утворилася в результаті обертання сторони A1 A, називають бічною поверхнею циліндра.

Висотою циліндра називають перпендикуляр, опущений з будьякої точки площини однієї основи на площину другої основи. Висота циліндра дорівнює його твірній. Пряму, яка проходить через центри основ циліндра, називають віссю циліндра. На рисунку пряма OO1 — вісь циліндра. Відрізки, що утворюють бічну поверхню циліндра, називають твірними циліндра. Очевидно, що всі твірні циліндра рівні та перпендикулярні до площини основи.

Якщо перетнути циліндр площиною, що проходить через його вісь, то в перерізі утворюється прямокутник, дві сторони якого — діаметри основ циліндра, а дві інші — твірні циліндра. Такий переріз називають осьовим перерізом циліндра.

Перетнемо циліндр площиною, паралельною основам циліндра. Перерізом циліндра площиною, паралельною основам (або перпендикулярною до осі циліндра), є круг, що дорівнює основі циліндра.

Уявимо собі, що поверхню циліндра розрізали по колах основ і деякій твірній, а потім розгорнули на площині. Отриману фігуру називають розгорткою циліндра на площину або просто розгорткою циліндра. Вона складається з двох кругів, які дорівнюють основам циліндра, і прямокутника, який називають розгорткою бічної поверхні циліндра

Якщо твірна циліндра дорівнює h, а радіус основи циліндра — r, то сторони розгортки бічної поверхні циліндра дорівнюють h і 2πr. Sб = 2πrh. Sосн = 2πr2 Sп = Sб + 2 Sосн,Sп = 2πrh + 2πr2

Висота циліндра дорівнює 6 см, а радіус основи — 5 см. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра.01.

ОО1 = 6 см; ОО1 = АА1 = ВВ1;ОА = 5 см;АА1 В1 В – осьовий переріз циліндра. Оскільки ОА – радіус, то ВА – діаметр і ВА = 10 см. Оскільки осьовим перерізом циліндра є прямокутник, то SАА1 В1 В = ВА * АА1, SАА1 В1 В = 60 см2 Розв’язання

Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 128 см2 . Знайдіть висоту циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 4 см.02.

ОА = 4 см; ОО1 = АА1 = ВВ1;SАА1 В1 В = 128 см2;АА1 В1 В – осьовий переріз циліндра. Оскільки ОА – радіус, то ВА – діаметр і ВА = 8 см. Оскільки осьовим перерізом циліндра є прямокутник, то SАА1 В1 В = ВА * АА1, АА1 = SАА1 В1 В / ВА, АА1 = 128 / 8 = 16 см. ОО1 = АА1 = ВВ1 = 16 см. Розв’язання

Висота циліндра дорівнює 6 см, а радіус основи — 5 см. Знайдіть площу перерізу, проведеного паралельно осі циліндра на відстані 4 см від неї.03.

ОО1 = АА1 = ВВ1 = 6 см; ОА = ОВ = 5 см; ОС = 4 см;АА1 В1 В –переріз циліндра. З ∆ ОСА (∠ ОСА = 90о), за наслідком з т. Піфагора: СА = ОА2−ОС2, СА = 3 см.∆ ОВА – рівнобедрений, ОС – висота, медіана, бісектриса, тоді АВ = 2 СА, АВ = 6 см. Оскільки перерізом циліндра є прямокутник, то SАА1 В1 В = ВА * АА1, SАА1 В1 В = 6 * 6 = 36 см2 Розв’язання

Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює 10 см, а висота — 12 см, проведено переріз, що є квадратом. Знайдіть відстань від осі циліндра до площини перерізу. 04.

ОС = ? см;АА1 В1 В –переріз циліндра ОО1 = АА1 = ВВ1 = ВА = В1 А1 = 12 см; (АА1 В1 В – квадрат)ОА = ОВ = 10 см; Розв’язання∆ ОВА – рівнобедрений, ОС – висота, медіана, бісектриса, тоді АВ = 2 СА, СА = 6 см. З ∆ ОСА (∠ ОСА = 90о), за наслідком з т. Піфагора: СО = ОА2−АС2, СО = 100−36=8 см. Відповідь. 8 см. 

Паралельно осі циліндра проведено переріз, що віддалений від неї на √3 см і відтинає від кола основи дугу, градусна міра якої дорівнює 120°. Знайдіть площу цього перерізу, якщо його діагональ дорівнює 10 см.05.

SАА1 В1 В = ? АА1 В1 В –переріз циліндра ВА1 = 10 см; ОС = √3 см; ∠ВОА = 120о (як центральний кут, що спирається на дугу АВ, що дорівнює 120о)∆ ОВА – рівнобедрений, ОС – висота, медіана, бісектриса, тоді АВ = 2 СА і ∠ ВОА = 2∠СОА, Оскільки ∠ВОА = 120о, то ∠СОА = 60о

З ∆ ОСА (∠ ОСА = 90о),𝑡𝑔 ∠𝐶𝑂𝐴= 𝐶𝐴𝑂𝐶CА = 𝑡𝑔 ∠𝐶𝑂𝐴 * ОССА = √3 * √3 = 3 см. Тоді АВ = 6 см,З ∆ А1 АВ (∠ А1 АВ = 90о), за наслідком з т. Піфагора: А1 А = ОА2−АС2, А1 А = 100−36=8 см. SАА1 В1 В = А1 А * ВА,SАА1 В1 В = 8 * 6 = 48 см2 

Дякуємо за увагу!