Урок "Розв’язування задач прикладного змісту на прогресії"

Тема: Розв’язування задач прикладного змісту на прогресії

Мета: поглиблювати знання учнів про арифметичну і геометричну прогресії

- навчати застосовувати отримані знання для розв’язування прикладних задач;

- розвивати вміння чітко та правильно висловлювати власну думку;

- виховувати інтерес до математики.

Тип уроку:  застосування знань, удосконалення умінь.

Хід уроку

Жодна інша наука не навчає так ясно розуміти гармонію природи, як математика…

(П. Карус)

І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ

ІІ. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ

Вчитель перевіряє наявність домашньої роботи та відповідає на запитання, які виникли в учнів при підготовці.

ІІІ. ОГОЛОШЕННЯ МЕТИ І ЗАВДАНЬ УРОКУ

Запитання до учнів:

Що ви чекаєте від сьогоднішнього уроку?

На уроці ми узагальнимо ті знання і вміння, які ви отримали під час вивчення теми «Числові послідовності». А також будемо використовувати їх при розв’язуванні задач прикладного змісту.

ІСТОРИЧНА ДОВІДКА

Числові послідовності – явище, без перебільшення, унікальне. Історія їх виникнення губиться в глибині віків. Вже у клинописних табличках вавилонян, у єгипетських папірусах, датованих ІІ тисячоліттям до н.е., зустрічаються задачі на арифметичну і геометричну прогресії.

Вперше цей термін як математичний вживається у працях римського вченого Боеція в Ѵ ст..

Термін «прогресія» від лат. « рух уперед» або «успіх» .

(Можна запропонувати учням підготувати інформацію про історію виникнення поняття прогресії)

ІV.  АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ

Розумова розминка

Розгадати кросворд.

По вертикалі:

1.Послідовність, у якій кожний наступний член менший за попередній.

2.Послідовність чисел, у якій кожний член, починаючи з другого, утворюється множенням попереднього на стале число.

3. Нескінченна або скінченна сукупність чисел.

4.Слово „прогресія” у перекладі з латинської означає „рух вперед” або...

5. Знаменник геометричної прогресії -3; -9; -27; -81;... дорівнює...

6. Стале число, множенням на яке утворюється кожний наступний член геометричної прогресії.

7.Різниця арифметичної прогресії 15,21, 27,...33,...

8. Число, додаванням якого утворюється кожне наступне число у арифметичній прогресії.

V. РОЗВЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОГО ЗМІСТУ

Історична задача. Шахову гру винайшли в Індії. Індійський цар Шерам, захоплений дотепністю і різноманітністю можливих в ній ситуацій, покликав до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав йому:

"Я хочу гідно нагородити тебе, Сета за прекрасну гру, яку ти придумав. Я досить багатий, щоб виконати будь-яке твоє бажання."

"Володарю, - відповів Сета, - накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу - 2 зернини, за третю - 4, і так за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню".

"Ти одержиш свої зерна. Але знай, що твоє прохання не варте моєї щедрості. Іди. Слуги мої винесуть тобі твій мішок із пшеницею".

На другий день придворні математики з'явились до царя.

"Ми ретельно обчислили, - говорили вони йому, - усю кількість зерна, що бажає одержати Сета. Число таке велике, що зерен не вистачить ні в яких коморах, навіть цілого царства. Не знайдеться такої кількості зерен і на всьому просторі Землі. І якщо ти обов'язково хочеш видати нагороду, то накажи перетворити всі царства в поля, висушити всі річки та озера, розчинити криги та сніги. Увесь цей простір засій пшеницею й усе, що виросте на ньому за 5 років, накажи віддати Сеті. Тоді він одержить свою винагороду."

Зі здивуванням слухав цар Ширам слова вчених. "Напишіть же мені це дивовижне число"- сказав він.

Кількість зернин, про які йдеться в задачі, є сумою 64 членів геометричної прогресії, у якої ,

=18446744073709551615, що приблизно становить 13,8 млрд. 40-тонних вагонів.

Якщо таку кількість зернин рівномірно розсипати по всій земній поверхні, то утвориться шар пшениці товщиною 9-мм.

Прогресії в літературі

Давайте розглянемо віршові розміри.

Ямб:  з наголосом на парних складах вірша, тобто наголошеними є 2-й, 4-й, 6-й, 8-й і т.д. склади. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію з первим членом 2 і з різницею також  2:   2, 4, 6, 8, 10…

Старі  дуби,  спасибі  вам  за  осінь,

За  відлітання  радості  і  птиць.

Ще,  певно,  я  затуркана  не  зовсім,

Що  чую  шурхіт  княжих  багряниць.

Ліна Костенко

Хорей: наголос на непарних складах вірша. Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 1, а різниця дорівнює 2:  1, 3, 5, 7, 9…  

Дощ полив, і день такий полив'яний.

Все блищить, і люди як нові.

Лиш дідок старесенький, кропив'яний,

блискавки визбирує в траві.

Ліна Костенко

Прогресії у фізиці

Задача. Гальмуючи, автомобіль за першу секунду проїхав 15 м, а за кожну наступну – на 3 м менше, ніж за попередню. Знайдіть гальмівний шлях автомобіля.

Розв'язання

15, 12, 9, 6, 3, 0 – скінченна арифметична прогресія

а₁ = 15, d = -3, а_n = 0, n = 6.

Відповідь: гальмівний шлях 45м.

Ця задача застерігає кожного з нас, що треба бути уважним на дорозі.

Задача.  Один з учнів, якого викликали до дошки має йти від свого місця до дошки по прямій. Перший крок він робить довжиною 1 м, другий  1/2 м, третій 1/4 м і т. д., тобто довжина наступного кроку в два рази менша за довжину попереднього. Чи дійде учень до дошки, якщо відстань від місця учня до дошки по прямій дорівнює 3 м.

Розв’язання

• нескінченна геометрична прогресія.

Відповідь: учень до дошки не дійде.

Прогресії в біології

Задача. Бактерія, потрапивши в організм, до кінця 20-ї хвилини ділиться на дві, кожна з них до кінця 20-ї хвилини знов ділиться на дві і т.д. Скільки бактерій стане в організмі через добу?

Розв’язання

1;2;4;8;… - геометрична прогресія

b₁=1,   q=2

1доба  =  24год  =  60 * 24год  =  1440хв;          n = 1440:20 = 72

Відповідь: в організмі за добу буде  2⁷²   бактерій.

Ця задача закликає вас не нехтувати правилами власної гігієни.

Прогресії у банківській сфері

Задача. Уявіть, що вам деяка фірма пропонує свої послуги. Щодня ви можете брати у фірми по 100 грн. Але за перший день ви зобов'язані заплатити фірмі 1коп., за другий - 2коп., за третій - 4коп. і т. д. Чи укладете ви з цією фірмою договір не менш ніж на 20 днів за таких умов?

Розв'язання

За 20 днів отримуємо  2000 грн., а повинні будемо заплатити за це суму, що дорівнює S₂₀  для геометричної прогресії, де b₁ = 1, q = 2. Тобто:

1048575 коп. = 10485 грн. 75 коп.

Учні повинні бути компетентними у фінансових питаннях, і тому дана задача є досить актуальною.

VІ.  ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ 

VІІ. ПІДСУМОК УРОКУ

РЕФЛЕКСІЯ    Продовжити речення:

Під час роботи я:

дізнався ...

навчився ...

повторив ...

закріпив ...