Урок "Скалярний добуток векторів. Кут між векторами"

Геометрія 10 клас

Юрченко Наталія Анатоліївна вчитель математики

КЗ «Маломихайлівська СЗШ І-ІІІ ступенів»

Розділ. Координати і вектори у просторі

Тема уроку: «Скалярний добуток векторів. Кут між векторами»

Мета: закріплення й усвідомлення раніше засвоєного матеріалу і формування нових навичок та вмінь;

• навчальна: сформулювати уявлення про вектори у просторі; дати поняття скалярного добутку векторів та кута між векторами; вивчити теорему про скалярний добуток векторів та розкрити її зміст; навчити застосовувати знання до розв’язування задач;
• розвиваюча: розвивати логічне мислення, просторову уяву, пам'ять та увагу;
• виховна: виховати інтерес до вивчення геометрії, звичку до систематичної розумової праці.

Обладнання: конспект уроку, кольорова крейда, схема «Вектори у просторі», презентація, підручник О.С. Істер Математика, 2018.

Тип уроку: осмислення нових знань, формування умінь і навичок на основі знань.

Хід уроку

І. Організаційний етап

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Завдання на картках з подальшою взаємоперевіркою.

ІІІ. Актуалізація опорних знань

1. Що таке координати вектора?
2. Який зв'язок між рівністю векторів і їх координат?
3. Як знайти модуль вектора за його координатами?
4. Який вектор називають сумою векторів   і ?
5. Що називають різницею векторів?
6. Як знайти різницю векторів ?
7. Що називають добутком вектора на число?
8. Сформулюйте ознаку колінеарності векторів.

ІV. Повідомлення теми й мети уроку

Мотивація навчальної діяльності

V. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

1. Скалярний добуток векторів.
2. Кут між векторами.
3. Теорема про скалярний добуток векторів.

1. Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів і називають число .

Так само як і на площині скалярний добуток двох векторів записують, використовуючи знак множення: або .

Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів та .

Розв’язання:

Відповідь: 13.

Знайдемо скалярний добуток рівних векторів. Нехай дано вектор . Тоді:

Добуток записують  і називають скалярним квадратом вектора.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля:

.

З означення скалярного добутку маємо його властивості.

Для будь-яких векторів і будь-якого числа :

1. , до того ж , якщо .
2. -- переставна властивість.
3. -- сполучна властивість.
4. -- розподільна властивість.

2. Кут між векторами

Кутом між двома ненульовими векторами називається кут між нарямами цих векторів.

В стереометрії так як і у планіметрії кут між векторами і називають ВАС.

                            В

       А                               С

Кутом між двома ненульовими векторами, що не мають спільного початку називають кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок.

Кут між співнапрямленими векторами дорівнює нулю,

кут між протилежно напрямленими векторами дорівнює 180.

3. Теорема про скалярний добуток векторів.

Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, яке дорівнює добутку числових значень довжин цих векторів і косинус кута між векторами:

, де =.

Наслідок 1. Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Наслідок 2. Якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то вони перпендикулярні.

Якщо з двох векторів хоча б один нульовий, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Кут між ненульовими векторами можна визначити за формулою

За значенням косинуса кута можна знайти міру цього кута (за допомогою таблиць чи калькулятора).

VІ. Виконання практичних завдань

Робота з підручником 14 вправи  14.5; 14.11; 14.13; 14.20; 14.23.

Додатково вправи 14.25; 14.28.

VІІ. Підсумок уроку

1. Чи сподобався вам урок?
2. Про що нове дізналися?
3. Що більше всього запам’ятали?
4. Як ви оцінюєте свою роботу?

VІІІ. Домашнє завдання

14 вправи 14.18; 14.21.

Додаток

Картки