Урок "Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу"

Про матеріал

Мета: 1) познайомити учнів з основними тригонометричними тотожностями, показати як застосовувати отриманні знання для виконання завдань, які містять тригонометричні функції; 2) розвивати в учнів уміння аналізувати, виділяти головне і робити висновки; у своїх роздумах користуватися дедуктивним методом від складного до простого; графічні навички; 3) виховувати в учнів наполегливість у подоланні труднощів, активну життєву позицію, здатність робити самооцінку своєї роботи.

Зміст архіву

Презентація.pptx pptx
Хід уроку.docx docx

Перегляд файлу

Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу

Попередній слайд 1 / 31 Наступний слайд

Зміст слайдів

Номер слайду 1

Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу

Номер слайду 2

Результати домашнього тестування

Номер слайду 3

Яблуко тегів. The apple you eat is the landscape you create

Номер слайду 4

13sin(π/2)11234567891011121415☺sin(-π/6)cos(-π/4)sin(π/4)√2/2sin(-π)cos(3π/2)sin(π/3)cos(π/6)sin2πsin0°sin(3π/2)cos(2π)cos(-π/2)cos(π/3)cos(‒π)-1/200√3/2√3/2-1011/200-1«Мозаїка»√2/2

Номер слайду 5

Коло одиничного радіусухy11-1-1 P(x;y)α𝒙𝟐+𝒚𝟐=𝟏 = P( ; )cosαsinα𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶+𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶=𝟏 0хy0°90°180°270°Тригонометричне коло360°тригонометрична одиниця

Номер слайду 6

𝑐𝑜𝑠2𝛼+𝑠𝑖𝑛2𝛼=1 | ÷𝑐𝑜𝑠2𝛼, 𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼+𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼=1𝑐𝑜𝑠2𝛼; 1+𝑡𝑔2𝛼=1𝑐𝑜𝑠2𝛼 при α ≠ π/2 + πk,k є Z cosα ≠0, Основні тригонометричні тотожності

Номер слайду 7

𝑐𝑜𝑠2𝛼+𝑠𝑖𝑛2𝛼=1 | ÷𝑠𝑖𝑛2𝛼, 𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼=1𝑠𝑖𝑛2𝛼; при α ≠ πk,k є Z sinα ≠0, 𝑐𝑡𝑔2𝛼+1=1𝑠𝑖𝑛2𝛼 Основні тригонометричні тотожності

Номер слайду 8

𝑡𝑔𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝛼=1 𝑐𝑡𝑔𝛼=𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼 Оскількито,,xy𝜋2 3𝜋2 0𝜋 при α ≠ , k є Z Основні тригонометричні тотожності𝛼≠𝜋2+𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍 𝛼≠𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍 𝜋𝑘2

Номер слайду 9

Встановити відповідність𝟏) 𝟏𝟐𝒕𝒈𝟔𝟎°∙𝒄𝒕𝒈𝟔𝟎°−𝟏𝟗 𝟐) 𝟑𝟖+𝟒𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝟑𝟎°+𝟒𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝟑𝟎° 𝟑) 𝟏+𝒄𝒕𝒈𝟐𝝅𝟒−𝟏𝒔𝒊𝒏𝟐𝝅𝟒 А) 0 Б) 70 В) -7 Г) 80

Номер слайду 10

Цікавинка: тригонометрія на долоні𝒔𝒊𝒏𝜶=𝒏𝟐, де 𝒏 −номер пальця:𝟎 −мізинець,𝟏 −безіменний,𝟐−середній,𝟑−вказівний,𝟒 −великий

Номер слайду 11

Номер слайду 12

Інформаційний кущ. Види завдань. Спрощення виразів. Обчислення значення виразів. Доведення тотожностей. Розв’язування рівнянь. Розв’язування нерівностей. Розв’язу-вання задач. Побудова графіків функцій

Номер слайду 13

Розв’язування завдань𝒔𝒊𝒏𝜶=𝟑𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜶=𝟏𝟐 1. Чи можуть одночасно виконуватись рівності: А) і ;Б) і ;Обоснуйте𝒕𝒈𝜶=𝟑+𝟏 𝒄𝒕𝒈𝜶=𝟑−𝟏 ТАКНІВідповідь: А)Б)(достатній рівень)

Номер слайду 14

Розв’язування завдань2. Знайти значення тригонометричних функцій аргументу α, якщо sinα = -0,6 і𝟑𝝅𝟐<𝜶<𝟐𝝅 Відповідь:𝒄𝒐𝒔𝜶=𝟎,𝟖; 𝒕𝒈𝜶=−𝟑𝟒; 𝒄𝒕𝒈𝜶=−𝟏𝟏𝟑. (достатній рівень)

Номер слайду 15

Розв’язування завдань3. Обчислити:𝒔𝒊𝒏𝜶−𝒄𝒐𝒔𝜶𝒔𝒊𝒏𝜶+𝒄𝒐𝒔𝜶 , якщо tgα =−𝟎,𝟓 𝟏𝟑 Відповідь:(підвищений рівень)

Номер слайду 16

Розв’язування завдань4. Побудуйте графік функції:𝒚=𝒕𝒈𝟐𝒙−𝟏𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 хy-1π𝟐 π 𝟑π𝟐 −π𝟐 −π −𝟑π𝟐 0 Відповідь:пряма у=-1 з «виколотими» точками виду(π/2 + πk;-1), k є Z.(підвищений рівень)

Номер слайду 17

Розв’язування завдань(достатній рівень)5. Тестування

Номер слайду 18

Тригонометрія в навколишньому світі та житті людини. Автори: Маринич Дар’я, Луферова Софія

Номер слайду 19

Цікавинка: тригонометрія у сьогоденніТригонометрія в астрономії. Потреба у розв’язанні трикутників раніше всього виявилася в астрономії, тому, протягом довгого часу тригонометрія розвивалася і вивчалася як один з розділів астрономії.

Номер слайду 20

Цікавинка: тригонометрія у сьогоденні Тригонометрія знаходить значне застосування в механіці, фізиці і техніці, особливо при вивченні коливальних рухів і інших періодичних процесів. Тригонометрія в науках

Номер слайду 21

Цікавинка: тригонометрія у сьогоденніТригонометрія у хіміїПеріодичний закон Д. И. Менделєєва - одне з найбільших відкриттів закону періодичності властивостей хімічних елементів і утворюваних ними хімічних сполук від атомної маси до заряду ядра атома. Дмитро Іва́нович Менделе́єв(1834 -- 1907 )

Номер слайду 22

Цікавинка: тригонометрія у сьогоденніРух риб у воді відбувається за законом синуса або косинуса, якщо зафіксувати точку на хвості, а потім розглянути траєкторію руху. При плаванні тіло риби набуває форми кривої, яка нагадує графік функції у=tqх. При польоті птаха траєкторія помаху крил утворює синусоїду.

Номер слайду 23

Цікавинка: тригонометрія у сьогоденніТригонометрія і тригонометричні функції в медицині і біологіїБагатьом людям доводиться робити кардіограму серця, але мало хто знає, що кардіограма людського серця - графік синуса або косинуса.

Номер слайду 24

Цікавинка: тригонометрія у сьогоденніСвітло і тригонометрія Заломлення світла — це зміна напрямку променя на межі двох середовищ різної щільності. Виявилося, що найпростіші тригонометричні формули і знання синуса кута падіння і кута заломлення дають можливість дізнатися постійний коефіцієнт заломлення для переходу світлового променя з одного конкретного середовища в інше.

Номер слайду 25

Цікавинка: тригонометрія у сьогоденніТеорія веселки В 1637 Рене Декарт вперше запропонував теорію веселки, яка теж виражалася за допомогою синуса. Він пояснив веселку, як явище, пов'язане з відображенням і заломленням світла в дощових краплях.

Номер слайду 26

Цікавинка: тригонометрія у сьогоденніТригонометрія в музиціМузика - це математика за обчисленнями, алгебра за абстрагуванням, тригонометрія за красою. Гармонійне коливання (гармоніка) - це синусоїдальні коливання. Графік показує, як діє повітряний тиск на барабанну перетинку слухача: вгору і вниз по дузі, періодично. Такі періодичні коливання ми сприймаємо як звук. Кожна гармоніка характеризується трьома параметрами: амплітудою, частотою і фазою. За допомогою тригонометрії можна визначити, наприклад, відстань між ладами на гітарі.

Номер слайду 27

Цікавинка: тригонометрія у сьогоденніТригонометрія в автомеханіціВ автомеханіці існує кілька способів вимірювання кутів установки коліс. Найпростіший з них не вимагає складного вимірювального обладнання і під силу багатьом автомобілістам, які знають тригонометрію

Номер слайду 28

Цікавинка: тригонометрія у сьогоденніПриклади практичного використання. За допомогою тригонометрії можна розв’язати безліч задач, наприклад, знайти:ширину болотависоту Горивисоту, на якій знаходиться літакдовжину схилів даху

Номер слайду 29

Цікавинка: тригонометрія у сьогоденніВИСНОВОК Ми взяли за приклад лише малу частину того, де можна зустріти тригонометричні функції, з'ясували, що тригонометрія була викликана до життя необхідністю робити виміри кутів, але з часом розвинулася в науку про тригонометричні функції. Побачили, що тригонометрія тісно пов'язана з фізикою, зустрічається в природі, музиці, астрономії, медицині та в багатьох інших галузях. Тригонометрія знайшла відображення в нашому житті, і сфери, в яких вона відіграє важливу роль, розширюватимуться.

Номер слайду 30

Домашнє завдання. Повт. п.22 №224(3); 22.10(1); 22.16(3); 22.18

Номер слайду 31

Закінчіть речення. Дякую за увагу!Було цікаво дізнатись…Мене здивувало…Мені сподобалось…An apple a day keeps the doctor away

Перегляд файлу

Тема: «Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу»

Мета: 1) познайомити дітей з основними тригонометричними тотожностями, показати як застосовувати отриманні знання для виконання завдань, які містять тригонометричні функції;
2) розвивати в учнів уміння аналізувати, виділяти головне і робити висновки; у своїх роздумах користуватися дедуктивним методом від складного до простого; графічні навички;
3) виховувати в учнів наполегливість у подоланні труднощів, активну життєву позицію, здатність робити самооцінку своєї роботи.

Тип уроку: урок – подання нового матеріалу.

Хід уроку: І. Організаційна хвилина.

ІІ. Оголошення балів тестового д/з на Google Class.

Д/з на сьогодні у вас було у вигляді тестів на Google Class, отже, занесіть результати до листа самооцінки. На наступному уроці ми розберемо ті завдання, в яких була найбільша кількість помилок.

ІІІ. Оголошення теми уроку.

IV. Мотивація навчальної діяльності.

Перед вами хмаринка тегів у вигляді яблучка, яке буде емблемою сьогоднішнього уроку.

Серед англійців міцно вкоренилася фраза: «The apple you eat is the landscape you create», що дослівно перекладається так: «Яблуко, яке ви їсте, є навколишнє середовище, яке ви створюєте». Інакше кажучи, яблуко – це символ того, що людина сама творить свою долю й здатна своїми вчинками впливати на перебіг свого життя.

Сподіваюсь, що сьогоднішнє наукове яблучко спонукатиме вас, любі мої діти, на гарну працю на уроці.

V. Актуалізація базових знань.

Разом скуштуємо яблучко й повторимо основні поняття, якими ми будемо оперувати.

Мозковий штурм: тригонометрія, функція, графік, синус, косинус, тангенс, котангенс, тотожність, радіан, цілі числа.

Продовжимо смакувати яблучком і виконаємо вправу «Мозаїка», де повторимо значення тригонометричних функцій деяких кутів.

VI. Пояснення нового матеріалу у вигляді евристичної бесіди.

Розглянемо коло одиничного радіуса і оберемо точку Р(х;у) на колі:

рівняння кола…(х² + у² = 1)
щоб коло стало тригонометричним, потрібно…
(в точках перетину кола з осями ординат розставити значення кутів повороту радіуса навколо початку відліку)
і ще…(замінити звичайні координати на тригонометричні функції)
абсциса точки Р…(cosα)
ордината точки Р…(sinα)
де α…
(кут повороту, в результаті якого з точки Р₀(1;0) було отримано точку Р)

Підставимо нові координати у рівняння кола:

отримаємо…(cos²α+sin²α=1) – основна тригонометрична тотожність. Використовуючи основну тригонометричну тотожність, знайдемо залежності між тангенсом і косинусом, а також між котангенсом і косинусом
щоб отримати tg²α…(поділимо рівність на cos²α ≠ 0)
ця тотожність є правильною…(при всіх α ≠ π/2 + πk, k є Z)
щоб отримати ctg²α…(поділимо рівність на sin²α ≠ 0)
ця тотожність є правильною…(при всіх α ≠ πk, k є Z)
знайдемо зв’язок між тангенсом і котангенсом…
(ця тотожність є правильною при…)

Наприклад, виконаємо вправу на встановлення відповідності:

Висновок…(я вважаю, що в даному випадку для економії часу доречніше скористуватися основними тригонометричними тотожностями, а не відомою таблицею деяких кутів тригонометричних функцій).

VII. Фізична розминка

Доречі, як ви вважаєте, чи можна визначити значення тригонометричних функцій деяких кутів, не запам’ятовуючи відому таблицю?.. А допоможе нам у цьому власна долоня! Існує так зване правило руки, або мнемонічне правило:

якщо провести лінії через мізинець і великий палець, то вони перетнуться в точці, яка називається «місячний пагорб». Утворюється кут 90°.
лінія мізинця утворює кут 0°.
провівши промені з «місячного пагорба» через безіменний, середній, вказівний пальці, отримаємо кути 30°.45°,60° відповідно.
Підставляючи в формулу замість n 0, 1, 2, 3, 4 отримуємо відповідні значення синуса кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
для косинуса відлік відбувається у зворотньому порядку.

Отже, розпочнемо нашу накопичувальну скарбничку тригонометричних формул із занесенням основних тригонометричних тотожностей до інтелект картки. За допомогою мобільних телефонів скануємо QR код. За отриманим посиланням переходимо до інтелект картки. Таку картинку ви побачите у себе на екранах. Надалі ми будемо поповнювати інтелект картку новими блоками тригонометричних формул.

VIII. Відпрацьовування нового матеріалу.

Продовжуємо відпрацьовувати набуті знання. Інформаційний кущ.

Види завдань з основними тригонометричними тотожностями:

спрощення виразу
обчислення значення виразу
доведення тотожності
розв’язування рівнянь
розв’язування нерівностей
розв’язування задач
побудова графіків функцій

Сьогодні ми опрацюємо деякі види цих завдань.

Достатній рівень:

1) Чи можуть одночасно виконуватись рівності:

і ; (ні)
і (ні)

Обоснуйте

2) Знайти значення тригонометричних функцій аргументу α, якщо
і .

Підвищений рівень:

3) Обчислити , якщо tgα = 5. (на ЗНО -1/2 = -0,5)

4) Побудуйте графік функції:

Відповідь: прямо у = -1, з якої «виколото» точки виду (π/2 + πk; -1), k є Z.

IX. Первинна перевірка засвоєного матеріалу.

Тестування за допомогою сервісу Plickers.

Переставили кількість здобутих балів до картки самооцінювання.

Х. Цікавинка.

А поки ви підсумовуєте остаточну кількість балів і переводите їх в оцінки, я запрошую до виступу дівчат з міні-проектом: «Застосування тригонометрії у сьогоденні».

ХІ. Підсумки уроку. Поурочний бал.

Д/з: повт. п.22 №224(3); 22.10(1); 22.16(3); 22.18.

Зробимо підсумки, підніміть руки, хто отримав 11?...

ХІІ. Завдання-релакс.

На завершення смакування науковим яблучком пропоную закінчити речення:

Було цікаво дізнатись…
(що окрім звичайної одиниці існує ще й тригонометрична одиниця)
(де застосовується тригонометрія у сьогоденні)
Мене здивувало…
(що існує зв’язок між розчепіреними пальцями руки і тригонометричними функціями кутів відомої таблиці)
Мені сподобалось…
(яблучко тегів красиво виходить як реклама)
(інтелект-картка, дуже зручно, а ще весела думка, що на уроці можна було скористатися телефоном, а тебе за це навіть хвалять)

Так, з вами дійсно не засумуєш!

І на останок!

У британців є ще й такий вислів: «An apple a day keeps the doctor away», що означає «Одне яблуко на день позбавить від ліків», тобто завдяки насиченості цього фрукта корисними речовинами, можна забути про хвороби.

І ще: найвідоміші яблука це:
яблуко з Дерева Пізнання;
яблуко, яке спонукало Ньютона на створення закону всесвітнього тяжіння
і те яблуко, яке стало символом компанії Apple.

Доречі, найбільше яблуко важить 1,5кг і занесене до книги рекордів Гіннеса!

Дякую вам! Урок закінчено! (підніміться будь-ласка)

Любі діти, після корисного ланчу науковим яблучком, на перерві не забудьте вдягнути захисні маски!

zip

Завантажити

Зберегти на потім

Додав(-ла)

Іванова Ірина Костянтинівна

Пов’язані теми

Алгебра, 10 клас, Розробки уроків

До підручника

Алгебра і початки аналізу (профільний рівень) 10 клас (Мерзляк А.Г., Номіровський Д.А., Полонський В.Б., Якір М.С.)