Урок." Тіла обертання"

                  Автор: Кондратьєва М. Ю., вчитель математики

Бахмутська ЗОШ I-III ступенів №18 ім. Дмитра Чернявського

11 клас      ГЕОМЕТРІЯ  

Тема уроку: Повторення. Тіла обертання в повсякденному житті.

Мета уроку:  Узагальнити та систематизувати знання учнів з  теми. Розширити коло задач. Стимулювати особисту творчу активність. Показати застосування тіл обертання у побуті, науці та техниці. Розвивати логічне мислення і науковий світогляд, просторове уявлення, спостережливість, вміння знаходити помилки та похибки  в міркуваннях, записах і відповідях.

Структурою и чіткістю уроку виховувати організованність і дісциплину розумової праці.

Формувати вміння застосовувати математичні методи для вирішення прикладних завдань, наукове розуміння природи, здатність спостерігати, аналізувати, формулювати гипотези, збирати дані, аналізувати результати, вміння навчатись  впродовж життя.

Тип уроку: Урок узагальнення і систематизації. Урок - експериментальна лабораторія

Хід уроку:

І. Організаційний етап.

ІІ. Етап аналіза контрольної роботи.

Особистий та загальний  моніторинг.

ІІІ. Етап  актуалізації знань

        Французський архитектор Ле Корбюзьє казав «Ми живемо в геометрічний період. Все навколо нас – геометрія».

        Дійсно, світ, в якому ми живемо, наповнений геометрією будинків, вулиць, творіннями природи та людини.

        Геометрія – могутній інструмент пізнання навколішнього світу та творінь техніки. Вона виявляється всюди, де потрібна точність у визначенні форм та розмірів. Техніку, інженеру, токарю, архитектору – всім необхідне геометрічне уявлення.

        Таке ж широке застосування знаходять в щоденному житті саме тіла обертання. Сьогодні ми узагальнемо знання про тіла обертання, формули площ поверхонь, об’ємів, а також продемонстрируемо з’вязок математичної науки з практикою.

 ІV. Этап узагальнення і систематизації знань.

   1.   Яка геометрична фігура  має назву: тіло обертання?

(  Укр. вчений – математик Михайло Остроградський надав наступне   пояснення: Обертання пласкої фігури навколо осі – це одночасне описування всіма її точками кіл у площинах, перпендикулярних до осі.)

   2.  Які тіла обертання вам відомі?

         Велика кількість тіл обертання оточує нас у побуті.

На кухні більшість  посуду має циліндрічну форму.  Ви бачили колись квадратні каструли? Чому ні? В них повільніше прогрівається вода, їх важче мити. Картопляне пюре роблять за допомогою циліндрічної товкушки, тісто розкочують скалкою тієї ж форми. А, торти частіше вього роблять у вигляді циліндра або конуса. Просіяне борошно расподіляється на столі у вигляді конуса. На кухні  нас оточують тіла обертання. Та не тільки на кухні.

Робота з формулами ( завдания на відповідність) + картки лото

V. Етап  розв’язання задач

   Пізнавальні та цікаві задачі:

1)  Дано куля, циліндр та конус з площєю поверхні 36   см². Визначити, яке з тіл має найбільший об’єм. Зробити висновок про те, яке з тіл обертання має найбільший

об’єм    при  заданій площі поверхні.

 (Відповідь: при заданій величині  площі  поверхні найбільший об’ем має куля).

2)  Дано куля, циліндр та конус з  об’ємом 36 см³. Визначити, яке з тіл має найменьшу площу поверхні. Зробити висновок про те, яке з тіл обертання однакового об’єму має найменьшу площу? 

 (Відповідь:  з заданих тіл обертання однакового об’єму найменьшу поверхню  має куля)

      Ці властивості мають значення в повсякденному житті людини.

Самовар у формі кулі має меншу площу поверхні, ніж циліндрічний або будь-якої іншої форми, що вміщує стільки ж склянок води. Якщо тіло втрачає тепло тільки з поверхні, то самовар у формі кулі охолоджується повільніше, чим інший такого ж об’єму. А резервуар градусника навпаки скоріше нагрівається та охолоджується, тобто приймає температуру оточуючих предметів, коли має форму циліндра, а не кульки.

      Дещо про форму сира.

Рецептура виготовлення сиру та його смакові якості у великій мірі визначаються формою. При цьому сироварам відомо, що при однаковому об’ємі сири у формі кулі мають меньшу площу поверхні, ніж сири циліндричної форми, тому на прилавках магазинів вони з’являються все частіще.

 3)  Обчисліть об’ем  футбольного м’яча за допомогою нитки та вимірювальної лінійки.

4)    За допомогою мензурки визначити радіус  кульки, що в неї вміщюється.

5)

6) Кругле бревно важить 30 кг. Скільки важить бревно, яке вдвічі товше, але вдвічі коротше?

7)  М’якоть вишні оточує  кістку такої ж товщини, як  і сама кістка. Будемо вважати, що і вишня і кістка мають форму кульок. Визначите, у скільки разів об’єм соковитої частини вишні більше об’єма кістки.

8)  Нехай  земна куля по екватору щільно обтягнута мотузкою. Її  довжину збільшили на 1 м і «зазор», що утворився   рівномірно розподілили по всьому екватору. Чи зможе  в цей «зазор» протиснутись миша? (відповідь   обгрунтувати розрахунками).

 9)  В конус  радіуса 3см та висотою 4см вписано циліндр, висота якого в два рази меньша висоты конуса. В циліндр вписано конус. Знайти відношення площі поверхні зовнішнього конуса до площі поверхні внутрішнього конуса.

          Конуси в природі

Всі сипкі матеріали в природі мають форму конуса, але, що цікаво, ці конуси завжди мають визначений кут нахилу твірної до площини Земли – кут природнього нахилу. Для бульби він 45°, вугілля – 42°, грунта – 40°, глини – 30°, піску - 25°.

Про пожежне циберко

Чому на пожежному щиті циберко конічне?

Сперше це пішло з флоту. На кораблях циберка були зроблені з багатошарової парусини и сшивались в формі конуса (так простіше). Протягом часу таку форму циберка перейняли в Англії перші пожежні бригади, в яких було багато відставних моряків Королівського флоту. Адже конусу також легше впоратисья з кромкою льоду на воді.

Також існують і такі версії:

•                     конічне циберко не вкрадуть з пожежного щита, бо для побутового використання воно не годиться
•                     така форма циберка дозволяє в зимовий час робити лунки в пожежних водоймах
•                     особлива форма пожежного циберка дозволяє запобігти розплеску води під час тушіння
•                     таким циберком зручніше  зачерпувати воду, особливо, якщо його на мотузці  опускати в яму або колодязь
•                     таким циберком зручніше зачерпувати пісок, бо в цьому випадку треба підтримувати циберко за дно

А в дійсності конічна форма обрана для того, щоб навіть під час падіння пожежного бійца вода вилівалась на вогонь.

Габаритні розміри

10)

«… Я читав,
Що якось грізний цар своєму війську
Звелів знести землі по жмені в купу,
І горб високий виріс там — і цар
З вершини міг велично оглядати
І доли, вкриті білими шатрами,
І море, де снували кораблі.»
  (О. С. Пушкін «Скупий лицар»)

 Припустимо, що чисельність війська складає 100 000 чоловік, об’єм жмені дорівнює 0,2дм³, а кут при основі пагорба 45⁰. Знайдіть об’єм та висоту конуса.

VІ. Етап  поглиблення теоретичних знань

Циліндр, куля та сфера – слова грецького походження, конус – латинське слово, що теж має грецьке коріння.

У перекладі  цилиндр – валік, каток; конус – затичка, втулка, соснова шишка.

Куля та сфера – походять  від одного й того ж грецького слова «сфайра» - м’яч.

Задача обчислення об'ємів, що йдеться з практичних потреб, була одним зі стимулів розвитку геометрії. Математики Сходу давніх часів  (Вавилон, Єгипет) оперували низкою  правил для обчислення об’ємів. В книзі «Початки» Евкліда та в творах Архімеда є в наявності правила обчислення об’ємів циліндра, кулі та їх частин.

Формулу обчислення об’єму конуса дає Герон Олександрійський. Бічна поверхня циліндра, конуса, об’єми кулі та сферичного сегменту  знайдені Архімедом.

Доведення формули об’єму кулі та площі поверхні сфери – одне з величних відкриттів Архімеда. В його роботі «Про кулю та циліндр» є теореми:

1. Об’єм кулі дорівнює  об’єму конуса, множеному на чотири, основою якого є великий круг, а висотою – радіус кулі, тобто

                V=πR³

2. Об’єм циліндра у півтори рази більше об’єму вписаної в нього кулі.

Циліндр з вписаною кулею – символ одного з величних відкриттів Архімеда – було зображено на його могильному камені в Сіракузах.

Аналітично об’єм можна підрахувати за допомогою кратних інтегралів. Історично задовго до створення інтегрального обчислення операція інтегрування фактично застосовувалась для  обчислення об’ємів деяких тіл обертання, чим  була підготована основа для розвитку інтегрального обчислення у 17-18 століттях.

У середині 18 століття Ейлер і Лагранж вільно володіли подвійними та потрійними інтегралами. У 1756 році Лагранж записав за допомогою інтегралів об’єми циліндрічних тіл, площі криволінійних поверхонь.

VІІ. Підсумок уроку.

Висновок про необхідність геометричних знань в житті людини, а також знань про тіла обертання.

Людство давно оцінило красу та практичність точних геометрічних форм: давні гончарні круги, глиняні ємності, які знаходять археологи, стародавня і сучасна архитектура, домашнє і церковне начиння - це не тільки предмети  повсякденного  вживання, але й безцінна краса, створена людськими руками.

Творчі роботи учнів.

Відомі архитектурні споруди, створені  з конусов та циліндрів.