Урок у 10 класі "Застосування похідної до дослідження функції та побудови її графіка"

Застосування похідної для дослідження функції та побудови її графіка

Пригадаємо основні властивості функціїФУНКЦІЯ – це залежність, при якій кожному елементу множини Х ставиться в відповідність єдиний елемент множини Y, тобто встановлена взаємно однозначна відповідність між елементами цих двох множин. Позначають функцію  𝒚=𝒇(𝒙), де х – незалежна змінна (аргумент), у – залежна змінна (функція) та кажуть, що змінна у функціонально залежить від змінної х 

1. Область визначення функції – множина всіх значень, яких набуває аргумент (тобто множина Х) і позначають D (f) або D (у). Пригадаємо…2. Область значень функції – множина всіх значень, яких набуває залежна змінна (тобто множина Y) і позначають Е (f) або Е (у). Область визначення і область значень записуються в вигляді проміжків: D (у) =𝒙 ∈(…) Е (у) =𝒚 ∈(…) 

Парність-непарність функції(симетричність функції)Щоб дослідити функцію на парність чи непарність необхідно:а) знайти область визначення даної функції та встановити, чи симетрична вона відносно початку координат, тобто чи містить область визначення значення х разом зі значенням – х

Парність-непарність функціїЯкщо область визначення симетрична. Шукаємо значення 𝒇−𝒙: для цього у рівняння функції замість 𝒙 підставимо −𝒙.- якщо 𝒇−𝒙=𝒇(𝒙), то функція – парна і її графік симетричний відносно осі ординат - якщо 𝒇−𝒙=−𝒇(𝒙), то функція – непарна і її графік симетричний відносно початку координат 

Парність-непарність функціїнесиметричнанічого шукати не потрібно симетрична,але не виконується жодна з наведених рівностей. ФУНКЦІЯ Є НІ ПАРНОЮ, НІ НЕПАРНОЮобласть визначення

Нулі функції -це значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю. Щоб знайти нулі функції, потрібно розв’язати рівняння 𝒇𝒙=𝟎. Отримані точки з координатами (х; 0) є точками перетину графіка функції з віссю абсцис. Нуль функції(х; 0)

Проміжки знакосталості -це проміжки, на яких функція набуває значень однакового знаку. Щоб знайти проміжки знакосталості достатньо розв’язати нерівності 𝒇(𝒙)>𝟎 та 𝒇(𝒙)<𝟎. 𝒚>0 𝒚>0 𝒚<0 𝒚<0 

Екстремуми функціїх0 уmax+δ–δуmin. Точка 𝒙𝟎 буде точкою максимуму, якщо знайдеться δ-окіл (𝒙𝟎+δ; 𝒙𝟎–δ) точки 𝒙𝟎 такий, що для усіх 𝒙≠𝒙𝟎, з цього околу виконується нерівність 𝒇𝒙<𝒇𝒙𝟎  та позначають її 𝒙𝒎𝒂𝒙Аналогічно точка 𝒙𝟎 буде точкою мінімуму, якщо для усіх 𝒙≠𝒙𝟎, з цього околу виконується нерівність 𝒇𝒙>𝒇𝒙𝟎  та позначають її 𝒙𝒎𝒊𝒏 Екстремуми функції – це значення функції в точках максимуму та мінімуму

Проміжки монотонності функціїх4 х3х2 х1 х

Похідна функції∆𝒚 𝒇(𝒙+∆𝒙) 𝒇(𝒙) 𝒙+∆𝒙 𝒙 ∆𝒙 𝒇′(𝒙)=𝒚′=𝒍𝒊𝒎∆𝒙→𝟎∆𝒚∆𝒙 𝒚=𝒇(𝒙) 

Якщо 𝒇′(𝒙)>𝟎 в кожній точці інтервалу (а; b), то функція 𝒇𝒙 зростає на цьому інтервалі. Умови зростання або спадання функції2. Якщо 𝒇′(𝒙)<𝟎 в кожній точці інтервалу (а; b), то функція 𝒇𝒙 спадає на цьому інтервалі. 3. Якщо 𝒇′𝒙=𝟎 в кожній точці інтервалу (а; b), то функція 𝒇𝒙 є сталою на цьому інтервалі. Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками функції.

Знайти область визначення функції 𝒇(𝒙). Знайти похідну цієї функції 𝒇′(𝒙)Знайти критичні точки функції (з’ясувати, в яких точках похідна дорівнює 0 або не існує)Розв’язавши нерівності 𝒇′(𝒙)>𝟎 та 𝒇′(𝒙)<𝟎, знайти знак 𝒇′𝒙 в кожному з отриманих проміжків (знак можна визначити, обчисливши значення 𝒇′𝒙 в будь-якій точці проміжка) Схема дослідження функції на монотонність

Дослідити функцію 𝑦=4𝑥3+6𝑥2−8 на монотонність Знайдемо область визначення функціїD (у) = R𝒚′=𝟏𝟐𝒙𝟐+𝟏𝟐𝒙=𝟏𝟐𝒙(𝒙+𝟏) 𝟏𝟐𝒙𝒙+𝟏=𝟎,  𝒙=𝟎,  𝒙=−𝟏 2) Знайдемо похідну3) Знайдемо критичні точки 4) Позначимо критичні точки на області визначення функції та знайдемо знак похідної на кожному з отриманих проміжків.𝟏𝟐𝒙(𝒙+𝟏)>𝟎, 𝟏𝟐𝒙𝒙+𝟏<𝟎 х проміжки: зростання 𝒙∈−∞;−𝟏]∪[𝟎;+∞), спадання 𝒙∈[−𝟏; 𝟎]  

Дослідження функціїРозглянемо функцію 𝒚=𝒙𝟑.  Кожна точка екстремуму функції є критичною точкою, проте не кожна критична точка є екстремумом функції. Похідна в цій точці дорівнює 0𝒚′𝟎=𝟑∙𝟎=𝟎. Її похідна 𝒚′=𝟑𝒙𝟐.  Одна критична точка х = 0.

Достатні умови екстремумуmaxmin. Якщо в критичній точці функція неперервна та її похідна міняє знак з плюса на мінус, то ця критична точка є точкою максимуму, а якщо з мінуса на плюс, то точкою мінімуму.у' ++‒х ‒1 0𝒚=𝟒𝒙𝟑+𝟔𝒙𝟐−𝟖 Знайдемо значення функції в точках максимуму і мінімуму: 𝒚𝒎𝒂𝒙 −𝟏=𝟒∙−𝟏+𝟔−𝟖=−𝟔; 𝒚𝒎𝒊𝒏 𝟎=𝟒∙𝟎+𝟔∙𝟎−𝟖=−𝟖 

Загальна схема дослідження функціїЗнайти область визначення функції 𝒇(𝒙). З’ясувати, чи є функція парною чи непарною (для тригонометричних функцій – періодичною)Знайти точки перетину з осями координат (якщо їх можна знайти)Знайти похідну цієї функції 𝒇′(𝒙) та її критичні точки (з’ясувати, в яких точках похідна дорівнює 0 або не існує)Знайти проміжки знакосталості функції та її екстремуми. У разі необхідності, знайти координати додаткових точок, щоб уточнити поведінку графіка функціїПобудувати графік функції 

Дослідити функцію 𝑦=3𝑥−𝑥3 та побудувати її графік Область визначення функціїD (у) = R2. З’ясуємо, чи є функція парною чи непарною.𝒚−𝒙=𝟑∙−𝒙−−𝒙𝟑=−𝟑𝒙+𝒙𝟑=−𝟑𝒙−𝒙𝟑=−𝒚(𝒙) – непарна, неперіодична 3. Точки перетину з осями координат. Ох: у = 0 3𝒙−𝒙𝟑=𝟎, 𝒙𝟑−𝒙𝟐=𝟎 𝒙=𝟎  або  𝟑−𝒙𝟐=𝟎 𝒙=∓𝟑 Оу: х = 0 𝒚𝟎=𝟑∙𝟎−𝟎=𝟎  𝟑;𝟎, (−𝟑;𝟎), 𝟎;𝟎 

Дослідити функцію 𝑦=3𝑥−𝑥3 та побудувати її графік 4. Знайдемо похідну цієї функції та її критичні точки𝒚′=𝟑−𝟑𝒙𝟐𝟑−𝟑𝒙𝟐=𝟎𝟑𝟏−𝒙𝟐=𝟎𝟏−𝒙𝟐=𝟎, 𝒙=∓1 5. Знайдемо проміжки знакосталості функцій та її екстремумих ‒1 1(−∞;−𝟏)  (−𝟏;𝟏)  (𝟏; +∞) 

– 32maxmin‒+‒Дослідить функцію 𝑦=3𝑥−𝑥3 та побудувати її графік {5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}х(−∞;−𝟏)−𝟏(−𝟏;𝟏)1(𝟏; +∞)𝒚′00𝒚{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}х100 Знайдемо значення функції в точках максимуму та мінімуму𝒚𝒎𝒊𝒏=𝒚−𝟏=𝟑∙−𝟏−−𝟏𝟑=−𝟑+𝟏=−𝟐𝒚𝒎𝒂𝒙=𝒚𝟏=𝟑∙𝟏−−𝟏𝟑=𝟑−𝟏=𝟐 

𝑦=3𝑥−𝑥3