Урок "Узагальнення та систематизація знань.Тіла обертання"

План-конспект уроку з математики

Про матеріал:

     Розробка заняття з геометрії для студентів другого курсу аграрного фахового коледжу, що вивчають математику за програмою рівня стандарту.

Може бути використаний для уроку в 11 класі.

Автор проєкту: викладач математики ВСП «Маслівський аграрний фаховий коледж ім. П.Х. Гаркавого Білоцерківського НАУ», спеціаліст вищої категорії, старший викладач Моргун Надія Василівна.

Тема:   Тіла обертання

Тип:  узагальнення і систематизація знань.

Мета

навчальна:  систематизувати та узагальнити знання учнів з теми «Тіла обертання», підвищити рівень сформованості знань, умінь та навичок розв’язувати задачі, формувати вміння застосовувати набуті знання, підготовка до ЗНО;

розвивальна: розвивати критичне мислення, інтерес до предмету, вміння знаходити помилки і неточності у відповідях товаришів, виховувати організованість, дисципліну розумової праці, формувати  дослідницькі, соціальні компетентності, спонукати учнів до саморозвитку і `самоосвіти;

виховна: виховання графічної культури, уважності, акуратності, дисциплінованості, поваги до думки товариша.

Методи проведення: робота в малих групах, бесіда, фронтальне опитування, демонстрація.

Унаочнення: презентація, таблиці, картки із завданнями, моделі до задач.

Обладнання: проектор, екран, комп’ютер,  лінійки, олівці, презентаційні слайди,  моделі, предмети побуту, що мають форму тіл обертання.

Література:

1. Олександр Істер  «Математика. Алгебра і початки аналізу та геометрія» рівень стандарту К, «Генеза» 2019.
2. Анатолій Капіносов «ЗНО 2020-2021 Математика» Тернопіль 2020
3. О.І. Каплун «ЗНО ДПА 2020-2021 Математика» «Навчальна література» 2020
4. Энциклопедический словарь юного математика, 1985 г.
5. Електронний ресурс Prometheus, Математика. Підготовка до ЗНО.

При підготовці до заняття студенти були поділені на три групи : «Циліндр», «Конус», «Куля». Кожна група готувала презентацію по даній фігурі. Потрібно було підібрати три задачі з тестових завдань посібника А.Капіносова «ЗНО 2020-2021 Математика» та записати їх розв’язання в зошитах.

ЗМІСТ І ХІД ЗАНЯТТЯ.

І. Організаційна частина.

Девіз уроку:

     « Ми живемо в геометричний період. Усе навколо – геометрія.»

Ле Корбюзі

ІІ. Перевірка домашнього завдання. 

Перевірка готовності груп, наявності домашньої роботи у зошитах.

ІІІ. Мотивація навчання.

Вступне слово вчителя.

Як сказав видатний французький архітектор Ле Корбюзі, ми живемо в геометричний період. І навкруги нас – геометрія.

І справді, світ, в якому ми живемо, наповнений геометрією  будинків і вулиць, творінням природи і людини. Геометрія є могутнім інструментом пізнання природи і створення техніки. Архітектору, інженеру, будівельнику, техніку – всім необхідна геометрична уява.

     Тіла обертання знаходять широке застосування в науці, техніці, побуті.

Оголошення теми і мети заняття.

ІV. Актуалізація опорних знань.

Студенти груп «Циліндр», «Конус» і «Куля» по черзі демонструють презентації, висвітлюючи основні теоретичні відомості та розв’язуючи типові задачі на дошці. Якщо потрібна допомога в розв’язанні, то члени групи її надають.

Оцінювання роботи груп: за презентацію , за задачі.

V. Розв’язування задач.

ЗАДАЧА АРХІМЕДА

1. У циліндр вписано кулю. Знайти відношення обєму кулі до обєму циліндра та площі поверхні кулі до площі поверхні циліндра. 

Примітка: задача з такими даними буде тестах наприкінці заняття . Вона фігурує в посібнику ЗНО 2021р. А. Капіносова, і в посібнику О. Каплуна, і в завданнях підготовка до ЗНО Prometheus

H_ц.=2R

V_ц.=πR²H=πR²*2R=2πR³

S_ц.=2πRH+2πR²=4πR²+2πR²=6πR³

V_к.=4/3πR³

S_к.=4πR²
V_к./V_ц.=4/3πR³:2πR³=4/3*1/2=2/3

S_к./S_ц.=4πR²/6πR²=2/3

Об’єм і площа поверхні кулі становлять 2/3 від об’єму і площі повної поверхні описаного навколо кулі циліндра. За бажання Архімеда такий рисунок біло зображено на його гробниці.

Геометрія на кухні

Насипаємо у циліндричну каструлю рису. Скільки потрібно взяти води, щоб вийшла смачна каша?

Досвідчені господарки роблять так: треба перехилити каструлю, щоб крупа пересипалась і закрила половину дна, а потім відмітити точку, до якої піднялася крупа. До цього рівня треба налити води.

І хоч каструлі бувають різні і крупи можна насипати більше або менше, рецепт годиться для будь-якого випадку. Нам потрібно обґрунтувати його теоретично.

Циліндрична підківка

Її об’єм можна знайти за допомогою інтеграла або за формулою елементарної геометрії.

V_кр.=2/3R²H

V_в.=V_ц.-V_кр.=πR²H-2/3R²H=R²H(π-2/3)

V_в./V_кр.=(R²H(π-2/3))/2/3R²H=(π-2/3)*3/2=(3π-2)/2=1.5π-1=3.5

Отже, води треба взяти в 3,5 рази більше, ніж крупи.

Розв’язування задач на комбінації многогранників і кулі

Задача.

1 спосіб

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 см, висота піраміди 10 см. Знайти радіус кулі описаної навколо піраміди.

Розв’язання

АС=4

АО=2

АS=10² +(2)²=120

АS==2

SM=

Трикутник SMO₁ подібний трикутнику SOА, бо мають спільний гострий кут  S.

SO₁=(SA*SM)/SO=((2*)*)/10=6(см)

2 спосіб (прийомчик)

Продовжимо вісь піраміди SO до перетину зі сферою. SS1 – діаметр кулі. Точки А,S,S1 належать великому колу. Кут SAS1 вписаний у коло і дорівнює 90 градусів, бо спирається на діаметр SS1. AO перпендикуляр до SS1. AO – середнє пропорційне між SO i OS1.

AO²=OS₁*SO

(2*)²= OS₁*10 

OS₁=2см

D=SS₁=10+2=12(см).

R=6см.

Відповідь: 6 см.

Чи сподобався вам прийомчик?

Задача.

Дано правильну чотирикутну піраміду із стороною основи 6 см і висотою 4 см. Знайти радіус кулі, вписаної в дану піраміду.

Розв’язання.

Оскільки піраміда правильна, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу. Центр вписаної кулі лежить на висоті піраміди, в точці перетину висоти з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при основі піраміди.

ON=3см. ΔSON-єгипетський, SN=5см,

KN=ON=3 см, SK=5-3=2(см)

O₁K=O₁O=r

ΔSOK подібний ΔSON, бо S – спільний і вони прямокутні

,       ,   

Відповідь: 1,5 см

VІ. Узагальнення і систематизація знань.

ПІДГОТОВКА ДО ЗНО.

ТЕСТИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ОПРАЦЮВАННЯ

1.                   Обчислити площу поверхні кулі, вписаної в куб, ребро якого дорівнює 8см.

Важливо: діаметр кулі дорівнює ребру куба.

•                      А. 16 πсм³
•                      Б.  32 πсм³
•                      В.  64 πсм³
•                      Г.  96 πсм³
•                      Д. 128 πсм³

2.                   Обчислити площу осьового перерізу конуса, радіус основи якого дорівнює 12см, а твірна – 15см.

•                      А. 96см²
•                      Б. 108 см²
•                      В. 150 см²
•                      Г. 180 см²
•                      Д. 216 см²

3.                   Конус, радіус основи якого дорівнює 10см, а висота 24см, перетнули площиною, яка паралельна його основі і ділить висоту конуса навпіл. Утворились менший конус та зрізаний конус. Обчислити площу повної поверхні зрізаного конуса.

Нагадування: S_б.з.к.=π(R₁+R₂)*l, де l – твірна зрізаного конуса.

Важливо: обчислити твірну.

•                      А. 260 πсм²
•                      Б. 300 πсм²
•                      В. 320 πсм²
•                      Г. 385 πсм²
•                      Д. 460 πсм²

4.                   З циліндра виточено конус так, що його основа збігається з однією з основ циліндра, а вершина із центром іншої основи конуса. Знайти відношення об’єму сточеної частини циліндра до об’єму конуса.

 Важливо: R_ц=R_к, H_ц=H_к

•                      А. 2:1
•                      Б. 3:2
•                      В. 4:3
•                      Г. 2:3
•                      Д. 3:4

5.                   У циліндр вписано кулю. Обчисліть відношення обєму циліндра до обєму кулі.

•                      А. 3:π
•                      Б. 1,2
•                      В. 1,5
•                      Г. 1,8
•                      Д. 2

Студенти заповняють бланк відповідей після цього правильні відповіді проектуються на екран. Студенти звіряють свої відповіді з правильними, виставляють оцінку і здають роботу вчителю.

За вибором учнів, деякі задачі розв’язуються на дошці.

VІІ. Підведення підсумків заняття.

Застосування набутих компетентностей. Кожен студент групи отримує картку і заповнює її.

Оцінювання роботи учнів. Оголошення домашнього завдання.