Урок в 10 класі "Степенева функція з натуральним показником"

Слайд1  СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

Доброго дня.

В повсякденному житті нам часто доводиться спостерігати процеси, у яких зміна однієї величини приводить до зміни іншої. Вивчення цих процесів потребує створення їхніх математичних моделей. Однією з таких найважливіших моделей є функція.

На минулих уроках ми з вами повторили означення, основні властивості функції, навчилися досліджувати функції та будувати їх графіки. Сьогодні на уроці ми пригадаємо великий клас функцій, які мають назву степеневі. Усі згадані властивості функцій будуть нам в нагоді для описання властивостей степеневих функцій.

Клик Функції виду де будь-яке дійсне число, називаються степеневими функціями.

Степеневі функції можна поділити на два класи: степенева функція з натуральним показником де , та степенева функція з цілим показником де .

Властивості й графіки деяких з них (наприклад,  та ) добре відомі вам з курсу алгебри попередніх класів. Ці функції є  окремими випадками степеневої функції.

Слайд 2

Сьогодні на уроці ми розглянемо степеневу функцію з натуральним показником.

Клик Отже, функції виду де , називаються степеневими функціями з натуральним показником.

Клик Подальше дослідження властивостей степеневої функції з натуральним показником будемо проводити для двох випадків:

1. коли , , тобто – парне натуральне число
2. , тобто – непарне натуральне число.

Слайд 3

Розглянемо перший випадок. Якщо парне натуральне число, то функція де , має властивості і графік, повністю аналогічні властивостям і графіку функції

Клик Дійсно, область визначення функції , оскільки значення цієї функції можна обчислити при будь-яких значеннях

Клик Функція парна: бо Отже графік функції   симетричний відносно осі Оу.

Оскільки при значення , то графік функції завжди проходить через початок координат.

Клик  На проміжку функція зростає, а на проміжку . З доведенням цих властивостей ви можете ознайомитися самостійно у ваших підручниках

Для знаходження області значень функції складемо рівняння Воно має розв’язки для всіх невід’ємних .

Клик Тобто область значень заданої функції .

Клик Враховуючи всі наведені властивості функції де , одержуємо її графік. За графіком наведеної функції бачимо, що найменше значення функції дорівнює нулю, найбільшого не існує.

Слайд

Розглянемо другий випадок, якщо непарне натуральне число. Нехай . Якщо парне натуральне число, то графік і властивості функції аналогічні графіку і властивостям функції

Клик Область визначення степеневої функції з непарним показником – множина всіх дійсних чисел, оскільки значення цієї функції можна обчислити при будь-яких значеннях

Клик Функція непарна: бо Отже графік функції   симетричний відносно початку координат. Оскільки при значення , то графік степеневої функції з непарним показником завжди проходить через початок координат.

Клик Дана функція на всій області визначення зростає, найбільшого та найменшого значення немає.

Клик Відповідно область значень даної функції множина всіх дійсних чисел, тобто .

Клик  Проміжки знакосталості: при значення функції  додатні, а при   - від’ємні.

Клик Враховуючи всі наведені властивості функції одержуємо її графік.

Хочу зауважити, що графіком функції є пряма, яка проходить через початок координат, а при всіх інших непарних натуральних функція де , має графік аналогічний графіку функції

Слайд 5

Узагальнюючи усе вище викладене складемо таблицю властивостей функції де . Її ви бачити на своїх екранах

Розв’яжемо декілька прикладів

Слайд 6

Приклад 1. Через які з даних точок проходить графік функції :

1) А (‒1; 1);   2) В (2; 32).

Клик Якщо графік функції проходить через задану точку, то координати цієї точки задовольняють рівнянню даної функції.

Клик Підставимо в рівняння функції координати точки А: замість х підставимо    ‒1, замість у ‒ один. Отримаємо

Використовуючи властивості непарного степеня, отримуємо що

Отримали невірну числову рівність. Це означає, що точка А (‒1; 1) не належить графіку функції , тобто Клик  графік даної функції не проходить через точку  А.

Аналогічно перевіряємо точку В (2; 32). Маємо: Клик , – отримали вірну числову рівність, тобто Клик графік функції проходить через точку В.

Слайд Приклад 2 При якому значенні а графік функції проходить через точку В (‒3; ‒3)

Клик Якщо графік функції проходить через задану точку, то координати цієї точки задовольняють рівнянню даної функції.

Клик Підставимо в рівняння функції координати точки В.  Маємо:

Клик 

   клик: Відповідь:

Слайд Приклад 3. Функцію задано формулою Порівняйте:

1. і   2) і   3) і

1) і

Для порівняння значень функції в заданих точках скористаємося властивостями степеневої функції. Функцію задано формулою .

Клик Графік степеневої функції з парним натуральним показником на проміжку спадає, а на проміжку зростає.

Клик Значення аргументу і належать проміжку зростання функції. Відповідно означення зростаючої функції, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто

Клик >

Клик 2) і  

Графік степеневої функції на проміжку спадає, а на проміжку зростає. Значення аргументу

Клик і належать проміжку спадання функції. Відповідно означення спадної функції, більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто

Клик <

Клик 3) і

Функція – парна, тобто її графік симетричний відносно осі Оу, тобто значення функції в точках . Тоді . Звідси маємо, що  

Клик <

Для порівняння значень степеневої функції з непарним натуральним показником будемо користуватися тільки означенням зростаючої функції, тобто більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Слайд 8 Приклад 4 Знайдіть найбільше та найменше значення функції на проміжку [‒1; 2]

Клик Функція зростає на всій області визначення, тобто більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Клик Відповідно найбільшого значення функція набуває в точці х = 2, найменшого  ‒ в точці х = ‒1.

Підставимо х = 2 та  х = ‒1 у функцію та отримаємо:

Клик ,        

Слайд Приклад 5 Розташуйте в порядку спадання значення виразів

Клик Значення даних виразів запишемо у вигляді функції, тобто , де значення виразу, х – основа степеня.

Функція зростає на всій області визначення, тобто більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Порівняємо основи степенів. Для цього зведемо дроби до спільного знаменника 60:

клик .

Враховуючи правило порівняння від’ємних чисел отримаємо:

клик .

Поставивши кожному дробу у відповідність значення степеня запишемо відповідь:

Клик 

Слайд Приклад 6 Розташуйте в порядку зростання значення виразів

клик Значення даних виразів запишемо у вигляді функції, тобто , де значення виразу, х – основа степеня.

клик Функція парна, тобто значення функції в точках        ‒1,06 та 1,06; ‒0,48 і 0,48; ‒2,12 і 2,12; ‒3,25 и 3,25 рівні. Тоді вирази у порядку зростання будуть розташовані наступним чином:

клик

Слайд Приклад 7 Знайдіть точки перетину графіків функцій  та .

Обидві функції записані у вигляді . Якщо ліві частині функцій рівні, то праві частини теж рівні. Користуючись цим правилом запишемо:

клик .

клик Розв’яжемо отримане рівняння

  або  

Знайдемо значення у, підставивши отримані значення х у будь-яке рівняння функції.

клик

клик Точки перетину графіків функцій (0; 0), (; 8), (

Слайд Приклад 8 Визначте графічно кількість коренів рівняння .

клик У правій та лівій частині даного рівняння стоять функції: та . Для визначення кількості коренів рівняння побудуємо в одній системі координат графіки обох функцій.

Опишемо дані функції.

клик 1) степенева функція з парним показником. Її графік симетричний відносно осі Оу, проходить через початок координат.

клик Складемо таблицю значень функції. Виберемо з області визначення декілька значень аргументу, наприклад х = 0, х = 1, х = 2. Підставимо ці значення у функцію та отримаємо точки з координатами (0; 0), (1; 1), (2; 16).

Відмітимо ці точки у системі координат та з’єднаємо їх плавною кривою. Отримали праву частину графіка. Для побудови лівої частини побудуємо точки, симетричні точкам (1; 1), (2; 16) відносно осі Оу і також з’єднаємо їх плавною лінією.

клик Отримали графік функції 

клик 2) пряма. Для її побудови достатньо двох точок. Виберемо з області визначення декілька значень аргументу, наприклад х = 0, х = ‒2. Підставимо ці значення у функцію та отримаємо дві точки (0; 5) і (‒2; 3).

клик Відмітимо ці точки у системі координат та проведемо пряму.

Як бачимо, графіки даних функцій перетинаються у двох точках,

клик тобто рівняння має два кореня

Слайд Приклад 9 Розв’язати рівняння

Дане завдання відноситься до завдань підвищеного рівня складності. Для розв’язання цього рівняння використовуються властивості спадної (або зростаючої) функції та наступні теореми

Клик

Теорема 1. Якщо функції та є зростаючими (спадними) на множині М, яка є підмножиною перетину множин і , то функція є зростаючою (спадною) на множині М.

Теорема 2. Якщо функція є зростаючою (спадною), то рівняння  де а – деяке число, має не більше одного кореня.

Слайд Розглянемо дане рівняння.

Клик У його лівій частині стоїть функція , де та .

Клик Обидві ці функції – степеневі з непарним натуральним показником, тобто зростаючі на всій області визначення.

Клик Відповідно до теореми 1 функція зростає на всій області визначення.

Клик Тоді рівняння має не більше одного кореня, який знаходимо методом підбору.

Клик Маємо .

Аналогічно розв’язуються рівняння, які містять степені з парним натуральним показником

Сьогодні на уроці ми розглянули степеневі функції з натуральним показником та навчилися використовувати їхні властивості для розв’язування вправ. На наступному уроці ми продовжимо вивчення степеневих функцій, але розглянемо степеневі функції з цілим від’ємним показником. Рекомендую вам повторити властивості степеня з цілим показником. А на сьогодні все. Бажаю вам успіху і до наступної зустрічі