Урок з алгебри для 9 класу на тему "Геометрична прогресія"

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           РОЗРОБКА УРОКУ З АЛГЕБРИ ДЛЯ УЧНІВ 9 КЛАСУ З ТЕМИ: «Геометрична прогресія»

 

Мета уроку:

     формувати в учнів вміння знаходити члени прогресії за формулою n-го члена;

     навчати знаходити невідомий член прогресії;

     удосконалювати обчислювальні навички;

 

 

Учні повинні:

     знати властивості геометричної прогресії, формулу n-го члена геометричної прогресії;

     свідомо застосовувати вищезазначені формули та властивості до розв’язування різнорівневих вправ.

 

 

Тип уроку: закріплення знань і формування вмінь.

 

Очікувані результати:

     вміння застосовувати формули знаходження n-го члена геометричної прогресії;

     вміння знаходити невідомий член прогресії; знаменник геометричної прогресії.

 

Девіз уроку: “Око бачить далеко, а розум ще дальше.” (Народна мудрість)

      

 

 

                       Структура уроку.

1. Організаційний момент.
2. Актуалізація опорних знань.   
3. Усні вправи.
4. Розв’язування задач.
5. Підсумок уроку.
6. Домашнє завдання.

 

 

                          

 

 

 

 

Хід уроку

 

І. Організаційний момент.

Повідомлення теми, мети, девізу уроку.

-         Добрий день!

 

Тема нашого сьогоднішнього уроку „Розв’язування текстових задач з теми:

 „ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ.” ”

Яка, ви вважаєте, ціль нашого уроку?

Ціль нашого уроку: застосування формул n-го члена геометричної  прогресії, визначення геометричної прогресії, а також властивостей членів геометричної прогресії для розв’язування задач.

 Будемо розвивати творчі здібності, шляхом розв’язання задач творчого характеру.

Виховувати любов і повагу до предмету математики.

План проведення уроку, я пропоную, такий:

Організаційний момент.

Актуалізація опорних знань (на якому ми пригадаємо теоретичні відомості про геометричну прогресію).    

Усні вправи ( де ми застосуємо теоретичні відомості про геометричну прогресію для розв’язання усних задач).    

   Розв’язування задач (на даному етапі уроку, ми розважимо задачі 

   творчого характеру).

    Підсумок уроку (на при кінці уроку відзначимо найбільш активних учнів, підведемо підсумок уроку).

Загадаємо домашнє завдання на наступному етапі уроку

     Домашнє завдання.

 

 ІІ. Актуалізація опорних знань.

  Щоб досягти поставленої цілі, систематизуємо теоретичний матеріал і дамо відповідь на слідуючи запитання..

Інтерактивна гра „Мікрофон”

 

1. Яка числова послідовність називається геометричною прогресією?
2. Серед наведених послідовностей виберіть геометричну прогресію, назвіть її знаменник. З’ясуйте, яка вона зростаюча чи спадна?:

      а) 5, 8, 10, 15,.........;

      б) 3, 6, 12, 24,.........;

      в) 4,  9, 16, 25,........;

      г) 81, 27, 9, 3,.........;

3.  Назвіть формулу n-го члена геометричної прогресії.

4.  Сформулювати властивості геометричної прогресії.

 

 

ІІІ.  Усні вправи.

Інтерактивний метод „Мозковий штурм”.

  Застосуємо даний теоретичний матеріал для розв’язання усних вправ. При проведенні, яких я пропоную дотримуватись такого по­рядку проведення:

 

-  не кажіть усе, що спаде вам на думку;

-  не обговорюйте і не критикуйте висловлювань інших;

-  можна повторювати ідеї, запропоновані іншими;

-  розширення запропонованої ідеї заохочується.

 

Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?

 

 

А) 2; 6; 18; 36;                                    В) 4; 8; 16; 32;

Б) 80; 40; 20; 5;                                   Г)2; -10; 50; 250.

 

 

Укажіть серед наведених послідовностей  геометричну  прогресію?

 

 

А) 6; 18; 54; 162;                                В) 3; 8; 13; 18;

Б) 1; 2; 3; 5;                                         Г) 21; 19; 17; 15.

 

 

Знайдіть знаменник геометричної прогресії  (bn), якщо b6 = 14 / 15    

    b7 =2 /3.

 

 

А) 3/7;                   Б) 5/7;                В) 7/5;              Г) 7/3.

 

 

Знайдіть перший член  геометричної прогресії, якщо її другий член      b2 =12, знаменник q = -3.

 

 

А) 4;                      Б) -4;                  В) 36;               Г) -36.

 

 

Чому дорівнює п’ятий член  геометричної прогресії, якщо її перший член b1 = 405, а знаменник q = -⅓?

 

 

А)-5;                      Б) 5;                   В)-3;                 Г) 3.

 

Знайти невідомий член геометричної прогресії: 3;  х; 27; 81.

 

 

А)9;                      Б) 9;                   В)3;                 Г) 343.

 

  ІV.  Розв’язування задач.            

 

Інтерактивний метод” Робота в групах”

 

Застосуємо дані теоретичні відомості для розв’язування задач творчого характеру.

 

 Клас розбивається на три групи, кожна група на дві підгрупи. У кожній підгрупі є учні, які навчаються на високому або на достатньому рівні. Кожна група отримує однотипні завдання, але різні методи розв’язання.

 Перша група розв’язує задачу, застосовуючи формулу n-го члена геометричної прогресії. Друга на застосування властивості  геометричної прогресії, яка має обмежену кількість членів. А  третя на застосування формули n-го члена геометричної прогресії.

 

На виконання завдання відводиться 10 хв.

Час відведений на виконання завдання минув. Представник ІІІ групи розписує своє виконання на дошці, а представники І  і ІІ груп розповідають, по черзі, про свої розв’язки біля екрану. Усі учні уважно слухають і доповняють або виправляють відповідь, учня відповідаючого біля дошки. Слово надається представнику І групи.

 

 І група

  Між числами 5 і 1280 вставте три таких числа, щоб вони разом із даними числами утворювали геометричну прогресію.

 

 Розв’язання

Нехай ( bn  ) – дана  геометрична прогресія.

     b1 = 5,  b5 = 1280

Знайти  b2; b3; b4

Застосуємо формулу n-го члена геометричної прогресії  bn  = b1 × q

                         b5 = b1 × q⁴      

                         5 × q⁴ =1280     

                           q⁴ = 1280: 5

                         q⁴ = 256

                         q⁴ = 4⁴

                         |q| = 4                                  

                  q = 4 або q = -4                                      

      Якщо    q = 4,     то                               b2 =  b1 × q         b2 =  5 × 4 = 20,                

                                                                     b3 =  b2 × q         b3 =   20 × 4 = 80,

                                                                     b4 =  b3 × q         b4 =  80 × 4 = 320;

 

      Якщо   q = -4,    то                                b2 =  b1 × q         b2 =  5 × (-4)= -20,                

                                                                     b3 =  b2 × q         b3 =   -20 ×(-4) = 80,

                                                                     b4 =  b3 × q         b4 =  80 ×(-4) = -320.

 

                                                                               Відповідь: 20, 80, 320;

                                                                                             або                                                            

                                                                                               - 20, 80, -320.

 

Діти, у вас така відповідь?

Слово надається представнику ІІ групи.

ІІ група

Між числами 4 і 2500 вставте три таких числа, щоб вони разом із даними числами утворювали геометричну прогресію.

 

Розв’язання

Нехай ( bn  ) – дана  геометрична прогресія.

  b1 = 4,  b5 = 2500

Знайти  b2; b3; b4

Застосуємо властивість  геометричної прогресії, яка має певну кількість членів:

b1× b5 = b2 × b4 = b3²     

b3²  = 4 × 2500

b3² = 10000

  |b3| = 100

    b3 = 100 або  b3 = - 100

     Якщо b3 = 100, то застосуємо формулу n-го члена  геометричної прогресії  bn  = b1 × q

  b3 =  b1 × q ²          100 =  4 × q ²,                

                                 q ² = 25                   

                                 |q| = 5                     

                          q  = 5 або q  = -5 

          

             Якщо q  =5, то b2 =  b1× q      b2 =   4 × 5 = 20,   

                                      b4 =  b3 × q      b4 =  100 × 5 = 500;

 

             Якщо q  = -5, то  b2 =  b1× q      b2 =   4 × (-5) = -20,   

                                         b4 =  b3 × q      b4 =  100 × (-5) = -500

 

       Якщо b3 = -100, то застосуємо формулу n-го члена геометричної прогресії  bn  = b1 × q

  b3 =  b1 × q ²         - 100 =  4 × q ²,                

                                  q ² =-25     немає розв’язку              

                                                                 Відповідь: 20, 100, 500;

                                                                             або

                                                                                    -20, 100, -500.

 

Діти, у вас така відповідь?

 

Слово надається представнику ІІІ групи.

 

 ІІІ група         

                                                              

Знайдіть перший член геометричної прогресії, яка складається з шести членів, якщо сума трьох її членів з непарними номерами дорівнює 546, а сума трьох інших членів дорівнює 182.

 

Розв’язання                                                                          

Нехай ( bn  ) – дана  геометрична прогресія.

b1 +  b3  +  b5 = 546

b2  +  b4 + b6 = 182

Знайти b1.

Застосуємо формулу n-го члена геометричної прогресії  bn  = b1 × q

b2 = b1 × q              

b3 = b1 × q²

b4 = b1 × q³            b1 + b1 × q² + b1 × q⁴ = 546              b1× ( 1+ q² +q⁴ ) =546

  b5 = b1 × q⁴            b1 × q + b1 × q³ + b1 × q⁵ =182         b1 × q ×( 1+ q² +q⁴ ) =182  

  b6 = b1 × q⁵            Поділимо друге рівняння на перше      

                            q = 182: 546

                            q =⅓

Підставимо значення   q =⅓ у перше рівняння системи

  b1×( 1+ (⅓)² +(⅓)⁴ )  =546                                                       

  b1 =  546: ( 1+ (⅓)² +(⅓)⁴  )                             

  b1 = 6×81

  b1 =  486                                                        Відповідь: 486.

 

Перевірте чи така відповідь?

При розв’язанні даних задач, ми застосували різні методи розв’язання.

Застосували формулу n- го члена геометричної прогресії, застосували властивості  геометричної прогресії, яка має обмежену кількість членів,  застосували формулу  n- го члена геометричної прогресії.

 

 

 

 

 

Інтерактивний метод „ Метеоритний дощ ”

У курсі математики зустрічаються задачі, де членами геометричної прогресії являються не числа, а буквені вирази. Розв’яжемо одну з таких задач.

Перед нами ставиться нове завдання, Розв’язати задачу творчого характеру, для розв’язання, якої необхідно застосувати властивість геометричної прогресії.

Кожна група учнів отримує завдання  на картках. На виконання даного завдання відводиться 10 хв. Представник групи, яка першою виконала завдання, розповідає і заповнює на дошці, змите дощем розв’язання.

 

 

При якому значенні х числа 2х – 1, х + 3, х + 15 будуть послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

 

 

 

Розв’язання

 

За властивістю геометричної прогресії: будь-який член прогресії, крім першого, є середнє геометричне між сусідніми членами.

        х + 3 =√ (2х – 1) × (х + 15)

 

    ( х + 3)² = (2х – 1) × (х + 15)

 

     х² + 6х + 9 = 2х² + 30х – х –15

 

     х²– 2х² + 6х – 30х + х + 9 + 15 = 0

 

-х² – 23х + 24 = 0  поділимо дане рівняння на -1

 

 х² +23х - 24 = 0 

За теоремою Вієта   х1 + х2 = -23 і  х1 × х2 =-24,  то     х 1 =-24 ;  х 2= 1

 

Якщо  х = -24,

                          то  2х – 1 = 2 ×(-24) - 1 = - 48 - 1 =- 49,

                                х + 3 = - 24 + 3 = - 21,

                                х + 15 = - 24 + 15 = - 9.

 

Якщо  х = 1,

                      то 2х – 1 = 2 × 1 – 1 =2 – 1 = 1,

                           х + 3 =1 + 3 = 4,

                           х + 15 = 1 + 15 = 16.

 

                                                       Відповідь:  х = -24,

                                                                               - 49, - 21, - 9.

                                                                         або

                                                                             х = 1;

                                                                                   1, 4, 16.

V. Підсумок уроку.

-         Що нового дізнались на уроці?

-         Чим займались ми сьогодні на уроці?

-         Яку історичну інформацію про геометричну прогресію ви можете повідомити?

  

Виставляються оцінки найбільш активним учням.

Аналізується девіз уроку

  Читається вірш „ Треба вчити математику”. 

           

VІ. Домашнє завдання.

 

 Параграф  23

     Розв’язати 

  

    Початковий і середній рівень.

     № 795; № 797 А.Г.Мерзляк; В.Б.Полонський; М.С.Якір. Алгебра. Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Харків, «Гімназія», 2009.

 

 

    Достатній і високий рівень

     № 797; №808 А.Г.Мерзляк; В.Б.Полонський; М.С.Якір. Алгебра. Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Харків, «Гімназія», 2009.

                          ВІРШ-ПІДСУМОК

          Треба вчити

                      математику

 

 

Якщо хочеш досягнути

У житті своїх вершин,

Математику збагнути

Мусиш тонко до глибин.

 

     Калькулятор і      комп’ютер –

     Хто сьогодні їх не знає.

     Та за пояс їх заткнути

     Може світла голова

 

Якщо хочеш бізнесменом

Після школи, друже, стати,

Аксіоми й теореми

Мусиш добре пам’ятати.

 

     Якщо лікарем ти станеш,

     То добре тут затям,

     Коли десь помилишся –

     Хтось поплатиться життям.

 

Не кажу про космонавтів

Вчителів і моряків.....

То, коли чогось не знав ти,

Швидко починай і вчи.

 

     Не махай на все рукою,

     Не лінуйся, а учись

     Бо чого навчишся в школі

     Знадобиться ще колись.  

 

                                                                           Г. Охотська.