Урок з алгебри і початків аналізу 11 клас. "Показникові рівняння. Основні методи розв'язування показникових рівнянь"

Алгебра і початки аналізу. 11 клас.

Тема уроку: Показникові рівняння. Основні методи розв’язування показникових рівнянь.

Мета уроку: вивчити означення показникового рівняння, вчитися вирізняти показникові рівняння серед інших видів рівнянь. Познайомитися із основними типами і  методами розв’язування показникових рівнянь. Формувати базові знання та  вміння по темі «Розв’язування показникових рівнянь різного типу».

Розвивати мислення, вміння самостійно здобувати знання,  аналізувати і робити висновки. Виховувати інтересу до математики, почуття колективізму, відповідальності.

                                                             Епіграф.

                                                                                          Математика цікава тоді,

 коли живить нашу винахідливість

                                                                                        і здатність міркувати.

                           Д. Пойя

Хід уроку.

1.       Емоційне налаштування учнів на активну, продуктивну працю на уроці.

Вчитель. Я рада вітати вас сьогодні на нашому уроці. Завжди нелегко вести діалог з малознайомою аудиторією. Але я сподіваюся, що все у нас вийде якнайкраще, якщо кожен з нас: ви, як учні  і я, як вчитель, прикладемо до цього максимум зусиль. Ото ж  розпочинаємо наш урок.

2.       Мотивація вивчення нового матеріалу.

Вчитель. Подивіться, будь-ласка на дошку. Тут записано цілий ряд рівнянь. Давайте разом з вами пригадаємо, як називається кожне з цих рівнянь.

sin²х + sinх cosх = 0

 (2х – 1)/( х² – 4) = 7/(х – 2)

х² – х – 6 = 0

2/3х – 4 = 0

√8-7х = -х

49^х  - 6∙7^х – 7 = 0           

(2^х-1)^х+2 = 32^х∙8^х+2                  3^х = 1/27

3^х+3 + 5∙3^х-1 = 86              

2^х  + 2^2-х  = 5                   2^х = 8

(сos(П/3))^{х - 0,5} = √2

√а^{х – 1} = ⁵√а^{2 - х}

Отже. Серед запропонованих вам рівнянь є такі, з якими ви не знайомі. До речі, саме ці рівняння я брала із «Збірника завдань для державної підсумкової атестації з математики 11 клас». А називаються ці рівняння показниковими. Запишіть, будь-ласка тему уроку «Показникові рівняння. Основні методи розв’язування показникових рівнянь».  (Учні записують в зошити одночасно з вчителем, який записує тему уроку на дошці). А епіграфом до нашого уроку будуть слова Д. Пойя.

3.    Формулювання мети уроку, очікуваних результатів ( у співбесіді з учнями чітко ставляться основні завдання уроку, записати їх на дошці).

Орієнтовні варіанти відповідей:

Дати означення показникового рівняння.

Навчитися розв’язувати показникові рівняння.

Вивчити основні способи розв’язування показникових рівнянь. (Вчитель узагальнює відповіді, при потребі, уточнює).

 Вчитель: дійсно сьогодні ви маєте опанувати базовими знаннями та вміннями розв’язувати показникові рівняння. Для того, щоб вкінці уроку кожен з вас міг оцінити свої досягнення, я роздаю вам картки самоконтролю. Дивлячись в них, ви можете познайомитися із планом уроку. На уроці ми будемо розв’язувати  усні вправи, письмові завдання, над якими будемо працювати колективно, в групах  та індивідуально над тестовими завданнями на комп’ютерах.

4. Вивчення нового матеріалу з одночасною актуалізацією опорних знань.

Вчитель: Подивіться ще раз на  нові рівняння, записані на дошці. На перший погляд вони зовсім різні. Але чимось всі вони подібні. Чим?  (Тим, що змінна міститься в показнику степеня). То, чи можете ви дати означення показникового рівняння? Якщо виникнуть труднощі, сформулюйте означення,  аналогічне означенню тригонометричного рівняння.

Тригонометричними рівняннями називаються рівняння, у  яких невідоме (змінна) входить лише під знак тригонометричної функції. Аналогічно означується показникові рівняння. Спробуйте самостійно дати визначення.

Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме входить лише до показників степенів при сталих основах.

 Найпростішим показниковим рівнянням є рівняння виду: а^х = в (записати на дошці)

Вчитель. Тема показникових рівнянь тісно пов’язана з темою показникової функції, аналогічно до того, як тригонометричні рівняння пов’язані з тригонометричними функціями.

Очевидно, що необхідно пригадати графік та властивості показникової функції. Подивіться, будь-ласка на екран комп’ютера. (Демонструється слайд №1)

Ви пам’ятаєте, що показникова функція задається формулою у = а^х

Повторити, при яких значеннях а розглядається показникова функція ( а > 0, а ≠ 1).

Отже і показникові рівняння розв’язуються при умові а > 0, а ≠ 1.

Скажіть, яка область визначення показникової функції? ( Множина всіх дійсних чисел). А область значень? (у>0).

Як на вашу думку, чи будуть обмеження для значень х при розв’язуванні найпростіших показникових рівнянь? Тобто перевірка в таких рівняння необов’язкова.

Давайте дослідимо скільки розв’язків може мати найпростіше показникове рівняння (За графіком)  -- Демонструється слайд №2

Оскільки множина значень показникової функції  -- множина додатних чисел, то рівняння

1) має один корінь, якщо в>0;

2) не має коренів, якщо в≤0  (показати на графіку)

А як же розв’язуються найпростіші тригонометричні рівняння?

Вони бувають такі різні, як і тригонометричні, і для розв’язування використовують різні способи. Демонструємо на слайді №3: спосіб зведення обох частин  показникового рівняння до спільної основи; винесення за дужки спільного множника; зведення до квадратного рівняння; зведення до спільного показника; спосіб заміни; графічний спосіб.

На сьогоднішньому уроці ми розглянемо три перші способи.

Спосіб зведення обох частин  показникового рівняння до спільної основи.

Цим способом розв’язується і найпростіші показникові рівняння.

Ви знаєте, що степені з рівними основа рівні тоді, коли в них рівні показники. Тому варто звести рівняння до виду а^х = а^с  , звідки х = с (записати на дошці).  Це основа, на якій ґрунтується розв’язування показникових рівнянь. Однак

Формули могутні,  але сліпі!

                                Ф. Клейн

… При вивченні наук

 приклади корисніші від правил.

                                              І. Ньютон

Відкрийте, будь-ласка підручник на сторінці 204, розглянемо наведені приклади розв’язування найпростіших показникових рівнянь.

  Учні по черзі читають приклади 1-6 і коментують. Приклад 4 і 5 записуємо на дошці і в зошиті. Скільки розв’язків мають ці рівняння?

Якщо замість х у показнику степеня стоїть деяка функція f(х), то а^f(x) = в, а>0, а ≠ 1, в>0

( записати на дошці) . Наприклад, 3^х+3 = 3

На закріплення усні вправи (таблиця із завданнями написана на дошці).  

В залежності від f(х) таке рівняння може мати більше як один розв’язок.

Розглянемо приклади (колективно розв’язуємо на дошці і в зошитах).

Є ще іншого виду рівняння, які зводяться до спільної основи а^f(x) = а^g(x)                                                                                                              (записати на дошці)

Приклад  10^х = 0,1∙(10^х-1)³

Спосіб винесення спільного множника за дужки (пояснення  вчителя). За дужки виносимо множник з меншим показником.

Спосіб приведення рівняння до квадратного ( викликати до дошки учня)

5.                Осмислення вивченого. Розв’язування вправ самостійно. Вивішується вислів

Так звана самостійна робота – це вершки математики…

Без роботи такого характеру вивчення математики –

майже даремна річ.

                                                             Дж. В. Янг

 -- Дидактична гра «Хто більше». (Робота в групах, змагання між групами, використання учнів-помічників. На роботу відводиться певний час).

Розв’язати рівняння

1.       3^{7х – 8} - 27= 0
2.       3^х+1 + 3^х = 108
3.       4^х - 10∙2^х + 16 = 0

--  Тести на комп’ютері. (Див. додаток)

Заповнення карток самоконтролю

Картка самоконтролю

Прізвище учня_____________________________

Дайте відповіді на запитання:

1. Чи навчилися Ви розв’язувати показникові рівняння?
2. Чи справдилися Ваші сподівання на цей урок?__________________________________
3. Яка форма роботи Вам сподобалася (не сподобалася)?___________________________
4. Ваші зауваження та побажання вчителю_______________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6.    Підведення підсумків уроку.

          -- Скільки розв’язків може мати показникові рівняння? Від чого це залежить?

          --  Подивіться на окреслені вами очікувані результати уроку. Чи справдилися ваші                      сподівання?

          --  Чи знаєте ви підходи до розв’язування записаних рівнянь?

 --  А чи задумувалися ви, навіщо вивчати показникові рівняння? Де їх використовують?

         При розв’язуванні задач на радіоактивний розпад; задача про зміну атмосферного тиску;     задача про розмноження бактерій; задача про приріст деревини тощо.

7.    Цінування та оцінювання роботи учнів на уроці.

               Учні оголошують кількість набраних балів. Обираються лідери.

Хочу подякувати вам за вашу активність, взаємну повагу, взаєморозуміння. Я побачила, що ви вмієте працювати,  і не лише індивідуально, а й у групі, вмієте допомагати один одному. Хочу відмітити особливо активних учнів.

А зараз хочу, щоб кожен з вас дав оцінку тому, наскільки навчилися розв’язувати ті типи показникових рівнянь, які ми сьогодні розглянули. Якщо ви вважаєте, що досконало оволоділи новими знаннями і зможете аналогічні рівняння розв’язати, оберіть червоний кружечок, якщо у вас виникають певні труднощі – жовтий, якщо ви потребуєте допомоги – оберіть синій. Зараз вашими досягненнями ми прикрасимо новорічну ялинку, адже новий рік не за горами.

Цю ялинку залишіть собі на згадку про сьогоднішній урок. А я залишу собі ваші картки самоконтролю. Мені буде корисно прочитати ваші побажання, адже я, як  і ви хочу удосконалюватися .

8.    Домашнє завдання.

Розділ ІV, § 2 №1 (12, 13, 14, 15, 16), № 1 (17, 20, 21)*. Знайти інформацію про сфери застосування показникових рівнянь.